Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 4.3.1

 Polecenie

Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu.

 Wskazówki

Definicja granicy niewłaściwej ciągu

Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej , co zapisujemy limnan=, wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ϵ>0  n0N  nN  [(n>n0)(an>ϵ)].
Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej , co zapisujemy limnan=, wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ϵ<0  n0N  nN  [(n>n0)(an<ϵ)].
Granicą ciągu (an) jest + (odpowiednio ), gdy wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem być może skończonej ich ilości (zaczynając od wyrazu n0,) są większe od dowolnie dużej liczby (odpowiednio: mniejsze od dowolnie małej liczby).
Symbolicznie, zamiast równości limnan=() możemy zapisać ann().
Mówimy wtedy, że ciąg dąży do plus nieskończoności (minus nieskończoności) lub, że jest do niej rozbieżny.
Istnieją ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej. Np. an=(1)n.

 Równanie 1

limnlog2(4n+1)=

 Rozwiązanie

Musimy wykazać, że spełniony jest warunek
ϵ>0  n0N  nN  [n>n0log2(4n+1)>ϵ].
Oznacza to, że dla każdej liczby ϵ>0  prawie wszystkie wyrazy (z wyjątkiem skończonej ich ilości) ciągu an=log2(4n+1) są większe od tej liczby. Naszym zadaniem jest wyznaczenie takiej liczby n0, dla której wszystkie wyrazy ciągu począwszy od an0 są już większe od ϵ. Rozwiązujemy nierówność.
log2(4n+1)>ϵlog2(4n+1)>log22ϵ2>1,   zatem opuszczamy logarytmy nie zmieniając znaku nierówności4n+1>2ϵ22n>2ϵ1   /log2log222n>log2(2ϵ1)2nlog22>log2(2ϵ1)2n1>log2(2ϵ1)2n>log2(2ϵ1)n>12log2(2ϵ1)n>log2(2ϵ1)12n>log22ϵ1
Zatem za n0 możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną, większą lub równą log22ϵ1,
np. n0=[log22ϵ1]+1.

 Równanie 2

limn(3n5)=

 Rozwiązanie

Aby równanie limn(3n5)= było prawdziwe, musi być spełniony warunek:
ϵ>0  n0N  nN  [n>n0   3n5>ϵ]3n5>ϵ3n>ϵ+5n>ϵ+53
Zatem możemy przyjąć n0=[ϵ+53]+1. Istnieje więc takie n0, dla którego spełniony jest podany warunek. Równanie zatem jest prawdziwe.

 Polecenie

Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu.

 Równanie 1

limn(1n2)=

 Odpowiedź

Uzasadnienie prawdziwości równania wiąże się z uzasadnieniem prawdziwości warunku
ϵ<0  n0N  nN  [n>n01n2<ϵ].
Rozwiązujemy nierówność
1n2<ϵn2<ϵ1n2>1ϵn>1ϵ  n<1+ϵ<0n>1ϵ
Zatem za n0 przyjmujemy dowolną liczbę naturalną, większą od 1ϵ.
Np. n0=[1ϵ]+1.

 Równanie 2

limnln(3n+6)=

 Odpowiedź

Aby równość była prawdziwa, musi być spełniony warunek:
ϵ>0  n0N  nN  [n>n0   ln(3n+6)>ϵ]
Wyznaczamy z nierówności zmienną n.
ln(3n+6)>ϵln(3n+6)>lneϵ3n+6>eϵ3n>eϵ6log33n>log3(eϵ6)nlog33>log3(eϵ6)n1>log3(eϵ6)n>log3(eϵ6)
Zatem możemy przyjąć, że n0=[log3(eϵ6)]+1.