Musimy wykazać, że spełniony jest warunek
$$\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ n\gt n_{0} \Rightarrow  \log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\gt \epsilon  \right ].$$
Oznacza to, że dla każdej liczby $\epsilon \gt 0$  prawie wszystkie wyrazy (z wyjątkiem skończonej ich ilości) ciągu $a_{n}= \log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )$ są większe od tej liczby. Naszym zadaniem jest wyznaczenie takiej liczby $n_{0},$ dla której wszystkie wyrazy ciągu począwszy od $a_{n_{0}}$ są już większe od $\epsilon.$ Rozwiązujemy nierówność.
$$\begin{array}{l} \log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\gt \epsilon\\ \log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\gt \log_{2}2^{\epsilon }\\ 2\gt 1, \ \ \ \textrm{zatem opuszczamy logarytmy nie zmieniając znaku nierówności}\\ 4^{n}+1 \gt 2^{\epsilon }\\ 2^{2n} \gt 2^{\epsilon }-1 \ \ \ /\cdot \log_{2}\\ \log_{2}2^{2n}\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\ 2n\cdot \log_{2}2\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\ 2n\cdot 1\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\ 2n\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\ n\gt \displaystyle\frac{1}{2}\log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\ n\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)^{\frac{1}{2}}\\ n\gt \log_{2}\sqrt{2^{\epsilon }-1}\\ \end{array}$$
Zatem za $n_{0}$ możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną, większą lub równą $\log_{2}\sqrt{2^{\epsilon }-1},$
np. $n_{0}=\left [\log_{2}\sqrt{2^{\epsilon }-1}  \right ]+1.$

Aby równanie $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 3n-5 \right )=\infty$ było prawdziwe, musi być spełniony warunek:
$$\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge\exists} \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge\forall} \ \ \left [ n > n_{0} \ \Rightarrow \ \  3n-5 \gt \epsilon \right ]\\  3n-5 \gt \epsilon \\  3n \gt \epsilon+5 \\  n \gt \frac{\epsilon+5}{3}$$
Zatem możemy przyjąć $n_{0}=\left [ \displaystyle\frac{\epsilon+5}{3} \right ]+1.$ Istnieje więc takie $n_{0},$ dla którego spełniony jest podany warunek. Równanie zatem jest prawdziwe.