Polecenie
Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu.
Wskazówki
Definicja granicy niewłaściwej ciągu
Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej ∞, co zapisujemy limn→∞an=∞, wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [(n>n0)⇒(an>ϵ)].
Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej −∞, co zapisujemy limn→∞an=−∞, wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ∀ϵ<0 ∃n0∈N ∀n∈N [(n>n0)⇒(an<ϵ)].
Granicą ciągu (an) jest +∞ (odpowiednio −∞), gdy wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem być może skończonej ich ilości (zaczynając od wyrazu n0,) są większe od dowolnie dużej liczby (odpowiednio: mniejsze od dowolnie małej liczby).
Symbolicznie, zamiast równości limn→∞an=∞(−∞) możemy zapisać an→n→∞∞(−∞).
Mówimy wtedy, że ciąg dąży do plus nieskończoności (minus nieskończoności) lub, że jest do niej rozbieżny.
Istnieją ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej. Np. an=(−1)n.
Symbolicznie, zamiast równości limn→∞an=∞(−∞) możemy zapisać an→n→∞∞(−∞).
Mówimy wtedy, że ciąg dąży do plus nieskończoności (minus nieskończoności) lub, że jest do niej rozbieżny.
Istnieją ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej. Np. an=(−1)n.
Równanie 1
limn→∞log2(4n+1)=∞
Rozwiązanie
Musimy wykazać, że spełniony jest warunek
∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0⇒log2(4n+1)>ϵ].
Oznacza to, że dla każdej liczby ϵ>0 prawie wszystkie wyrazy (z wyjątkiem skończonej ich ilości) ciągu an=log2(4n+1) są większe od tej liczby. Naszym zadaniem jest wyznaczenie takiej liczby n0, dla której wszystkie wyrazy ciągu począwszy od an0 są już większe od ϵ. Rozwiązujemy nierówność.
log2(4n+1)>ϵlog2(4n+1)>log22ϵ2>1, zatem opuszczamy logarytmy nie zmieniając znaku nierówności4n+1>2ϵ22n>2ϵ−1 /⋅log2log222n>log2(2ϵ−1)2n⋅log22>log2(2ϵ−1)2n⋅1>log2(2ϵ−1)2n>log2(2ϵ−1)n>12log2(2ϵ−1)n>log2(2ϵ−1)12n>log2√2ϵ−1
Zatem za n0 możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną, większą lub równą log2√2ϵ−1,
np. n0=[log2√2ϵ−1]+1.
∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0⇒log2(4n+1)>ϵ].
Oznacza to, że dla każdej liczby ϵ>0 prawie wszystkie wyrazy (z wyjątkiem skończonej ich ilości) ciągu an=log2(4n+1) są większe od tej liczby. Naszym zadaniem jest wyznaczenie takiej liczby n0, dla której wszystkie wyrazy ciągu począwszy od an0 są już większe od ϵ. Rozwiązujemy nierówność.
log2(4n+1)>ϵlog2(4n+1)>log22ϵ2>1, zatem opuszczamy logarytmy nie zmieniając znaku nierówności4n+1>2ϵ22n>2ϵ−1 /⋅log2log222n>log2(2ϵ−1)2n⋅log22>log2(2ϵ−1)2n⋅1>log2(2ϵ−1)2n>log2(2ϵ−1)n>12log2(2ϵ−1)n>log2(2ϵ−1)12n>log2√2ϵ−1
Zatem za n0 możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną, większą lub równą log2√2ϵ−1,
np. n0=[log2√2ϵ−1]+1.
Równanie 2
limn→∞(3n−5)=∞
Rozwiązanie
Aby równanie limn→∞(3n−5)=∞ było prawdziwe, musi być spełniony warunek:
∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0 ⇒ 3n−5>ϵ]3n−5>ϵ3n>ϵ+5n>ϵ+53
Zatem możemy przyjąć n0=[ϵ+53]+1. Istnieje więc takie n0, dla którego spełniony jest podany warunek. Równanie zatem jest prawdziwe.
∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0 ⇒ 3n−5>ϵ]3n−5>ϵ3n>ϵ+5n>ϵ+53
Zatem możemy przyjąć n0=[ϵ+53]+1. Istnieje więc takie n0, dla którego spełniony jest podany warunek. Równanie zatem jest prawdziwe.
Polecenie
Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu.
Równanie 1
limn→∞(1−n2)=−∞
Odpowiedź
Uzasadnienie prawdziwości równania wiąże się z uzasadnieniem prawdziwości warunku
∀ϵ<0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0⇒1−n2<ϵ].
Rozwiązujemy nierówność
1−n2<ϵ−n2<ϵ−1n2>1−ϵn>1−ϵ ∨ n<−1+ϵ<0n>1−ϵ
Zatem za n0 przyjmujemy dowolną liczbę naturalną, większą od 1−ϵ.
Np. n0=[1−ϵ]+1.
∀ϵ<0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0⇒1−n2<ϵ].
Rozwiązujemy nierówność
1−n2<ϵ−n2<ϵ−1n2>1−ϵn>1−ϵ ∨ n<−1+ϵ<0n>1−ϵ
Zatem za n0 przyjmujemy dowolną liczbę naturalną, większą od 1−ϵ.
Np. n0=[1−ϵ]+1.
Równanie 2
limn→∞ln(3n+6)=∞
Odpowiedź
Aby równość była prawdziwa, musi być spełniony warunek:
∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0 ⇒ ln(3n+6)>ϵ]
Wyznaczamy z nierówności zmienną n.
ln(3n+6)>ϵln(3n+6)>lneϵ3n+6>eϵ3n>eϵ−6log33n>log3(eϵ−6)n⋅log33>log3(eϵ−6)n⋅1>log3(eϵ−6)n>log3(eϵ−6)
Zatem możemy przyjąć, że n0=[log3(eϵ−6)]+1.
∀ϵ>0 ∃n0∈N ∀n∈N [n>n0 ⇒ ln(3n+6)>ϵ]
Wyznaczamy z nierówności zmienną n.
ln(3n+6)>ϵln(3n+6)>lneϵ3n+6>eϵ3n>eϵ−6log33n>log3(eϵ−6)n⋅log33>log3(eϵ−6)n⋅1>log3(eϵ−6)n>log3(eϵ−6)
Zatem możemy przyjąć, że n0=[log3(eϵ−6)]+1.