Zadanie 4.3.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.3 Granica niewłaściwa ciągu
  4. Zadanie 4.3.1

 Polecenie

Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu.

 Wskazówki

Definicja granicy niewłaściwej ciągu

Ciąg \((a_{n})\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(\infty\), co zapisujemy \[\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty,\] wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek \[\underset{\epsilon >0}{\huge \forall }\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ (n>n_{0})\Rightarrow (a_{n}> \epsilon ) \right ].\]
Ciąg \((a_{n})\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty\), co zapisujemy \[\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=-\infty,\] wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek \[\underset{\epsilon <0}{\huge \forall }\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ (n>n_{0})\Rightarrow (a_{n}< \epsilon ) \right ].\]
Granicą ciągu \((a_{n})\) jest \(+\infty\) (odpowiednio \(-\infty\)), gdy wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem być może skończonej ich ilości (zaczynając od wyrazu \(n_{0}\),) są większe od dowolnie dużej liczby (odpowiednio: mniejsze od dowolnie małej liczby).
Symbolicznie, zamiast równości \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty (-\infty )\) możemy zapisać \(a_{n}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty (-\infty ).\)
Mówimy wtedy, że ciąg dąży do plus nieskończoności (minus nieskończoności) lub, że jest do niej rozbieżny.
Istnieją ciągi, które nie mają granicy właściwej ani niewłaściwej. Np. \(a_{n}=(-1)^{n}.\)

 Równanie 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )=\infty \)

 Rozwiązanie

Musimy wykazać, że spełniony jest warunek
\[\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ n\gt n_{0} \Rightarrow  \log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\gt \epsilon  \right ].\]
Oznacza to, że dla każdej liczby \(\epsilon \gt 0\)  prawie wszystkie wyrazy (z wyjątkiem skończonej ich ilości) ciągu \(a_{n}= \log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\) są większe od tej liczby. Naszym zadaniem jest wyznaczenie takiej liczby \(n_{0},\) dla której wszystkie wyrazy ciągu począwszy od \(a_{n_{0}}\) są już większe od \(\epsilon.\) Rozwiązujemy nierówność.
\[ \begin{array}{l}
\log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\gt \epsilon\\
\log_{2}\left ( 4^{n}+1 \right )\gt \log_{2}2^{\epsilon }\\
2\gt 1, \ \ \ \textrm{zatem opuszczamy logarytmy nie zmieniając znaku nierówności}\\
4^{n}+1 \gt 2^{\epsilon }\\
2^{2n} \gt 2^{\epsilon }-1 \ \ \ /\cdot \log_{2}\\
\log_{2}2^{2n}\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\
2n\cdot \log_{2}2\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\
2n\cdot 1\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\
2n\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\
n\gt \displaystyle\frac{1}{2}\log_{2}(2^{\epsilon }-1)\\
n\gt \log_{2}(2^{\epsilon }-1)^{\frac{1}{2}}\\
n\gt \log_{2}\sqrt{2^{\epsilon }-1}\\
\end{array}\]
Zatem za \(n_{0}\) możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną, większą lub równą \(\log_{2}\sqrt{2^{\epsilon }-1},\)
np. \( n_{0}=\left [\log_{2}\sqrt{2^{\epsilon }-1}  \right ]+1.\)

 Równanie 2

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 3n-5 \right )=\infty \)

 Rozwiązanie

Aby równanie \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 3n-5 \right )=\infty \) było prawdziwe, musi być spełniony warunek:
\[
\underset{\epsilon \gt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge\exists} \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge\forall} \ \ \left [ n > n_{0} \ \Rightarrow \ \  3n-5 \gt \epsilon \right ]\\
 3n-5 \gt \epsilon \\
 3n \gt \epsilon+5 \\
 n \gt \frac{\epsilon+5}{3}
\]
Zatem możemy przyjąć \(n_{0}=\left [ \displaystyle\frac{\epsilon+5}{3} \right ]+1.\) Istnieje więc takie \(n_{0},\) dla którego spełniony jest podany warunek. Równanie zatem jest prawdziwe.

 Polecenie

Uzasadnij podane równości, korzystając z definicji granicy niewłaściwej ciągu.

 Równanie 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-n^{2} \right )=-\infty \)

 Odpowiedź

Uzasadnienie prawdziwości równania wiąże się z uzasadnieniem prawdziwości warunku
\[\underset{\epsilon \lt 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge \exists } \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge \forall } \ \ \left [ n\gt n_{0} \Rightarrow  1-n^{2}\lt \epsilon \right ].\]
Rozwiązujemy nierówność
\[ \begin{array}{l}
1-n^{2}\lt \epsilon \\
-n^{2}\lt \epsilon -1\\
n^{2}\gt 1-\epsilon\\
n\gt 1-\epsilon \ \vee \ n\lt -1+\epsilon \lt 0\\
n\gt 1-\epsilon
\end{array}\]
Zatem za \(n_{0}\) przyjmujemy dowolną liczbę naturalną, większą od \(1-\epsilon.\)
Np. \(n_{0}=\left [ 1-\epsilon \right ]+1.\)

 Równanie 2

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\ln \left ( 3^{n}+6 \right )=\infty \)

 Odpowiedź

Aby równość była prawdziwa, musi być spełniony warunek:
\[\underset{\epsilon > 0}{\huge\forall}\ \ \underset{n_{0}\in \mathbb{N}}{\huge\exists} \ \ \underset{n\in \mathbb{N}}{\huge\forall} \ \ \left [ n > n_{0} \ \Rightarrow \ \   \ln \left ( 3^{n}+6 \right ) > \epsilon \right ]\]
Wyznaczamy z nierówności zmienną \(n.\)
\[ \begin{array}{l}
 \ln \left ( 3^{n}+6 \right ) > \epsilon\\
 \ln \left ( 3^{n}+6 \right ) > \ln e^{\epsilon}\\
 3^{n}+6 > e^{\epsilon}\\
 3^{n} > e^{\epsilon}-6\\
 \log_{3}3^{n} >\log_{3} \left (e^{\epsilon}-6  \right )\\
 n\cdot \log_{3}3 >\log_{3} \left (e^{\epsilon}-6  \right )\\
 n\cdot 1 >\log_{3} \left (e^{\epsilon}-6  \right )\\
 n >\log_{3} \left (e^{\epsilon}-6  \right )
\end{array}\]
Zatem możemy przyjąć, że \( n_{0}=\left [ \log_{3} \left (e^{\epsilon}-6  \right ) \right ]+1.\)