Zadanie 4.3.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 4. Ciągi
  3. 4.3 Granica niewłaściwa ciągu
  4. Zadanie 4.3.2

 Polecenie

Oblicz granice, korzystając z twierdzeń o granicach niewłaściwych ciągów.

 Wskazówki

Symbole nieoznaczone

Symbole
\[\left[\frac00,\quad \frac{\infty}{\infty},\quad 0\cdot\infty,\quad \infty-\infty,\quad 0^0,\quad 1^\infty,\quad \infty^0\right]\]
nazywamy symbolami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci ciągów, które je tworzą.
Najczęściej przekształcamy w taki sposób wzory ogólne ciągów, które dają symbole nieoznaczone, aby je "ominąć".

Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

Prawdziwe są następujące własności, przy odpowiednich założeniach:

\(1.\ \  \displaystyle\lim_{n\to\infty} a^n=
\begin{cases}
0,&  \lvert a\rvert \lt 1\\ \\
1,& a= 1 \\ \\
+\infty,& a\gt 1 \\ \\ 
\textrm{nie istnieje },& a\leq -1 \\ \\
\end{cases}\)

\(2. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \ \ \wedge \ \ \lim_{n\to\infty} b_n = B\ \  \wedge \ \ B > 0 \ \ \Rightarrow \ \  \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_nb_n = +\infty \)

\(3. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \ \  \wedge \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = B \ \ \wedge \ \ B < 0 \ \ \Rightarrow \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_nb_n = -\infty \)

\(4. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \ \ \Rightarrow  \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = +\infty \)

\(5. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \ \ \Rightarrow \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = +\infty \)

\(6. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = -\infty\ \ \Rightarrow \ \  \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = -\infty \)

\(7. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \ \  \Rightarrow \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = +\infty \)

\(8. \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \ \ \wedge \ \   \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \ \ \Rightarrow \ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty\)

Ponadto
\(9. \ \ \left ( \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty }a_{n}= +\infty \ \vee \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}= -\infty  \right ) \ \wedge \ a\in \mathbb{R} \ \ \Rightarrow \ \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a}{a_{n}}=0\)

oraz

\(10. \ \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=a, \ \ \textrm{gdzie } 0 \lt a \leq \infty  \ \wedge \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=0, \textrm{ gdzie } b_{n} \gt 0 \textrm{dla każdego }n\in \mathbb{N} \ \Rightarrow \ \ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=\infty
\)
Podobnie dla \(-\infty.\)

W skrócie twierdzenia przedstawia poniższa tabela.
\(a+\infty =\infty \quad \textrm{ dla }\quad -\infty \lt a\leq \infty \qquad\) \(a\cdot \infty =\infty \quad \textrm{ dla } \quad 0 \lt a\leq \infty \qquad\)
\(\displaystyle\frac{a}{\infty }=0 \quad \textrm{ dla } \quad a\in \mathbb{R}\) \(\displaystyle\frac{a}{0^{+} }=\infty \quad \textrm{ dla } \quad 0 \lt a \leq \infty\)
\(a^{\infty }=0 \quad \textrm{ dla } \quad 0^{+}\leq a \lt 1\) \(a^{\infty }=\infty \quad \textrm{ dla } \quad 1\lt a \leq \infty \)
\(\infty^{b}=0 \quad \textrm{ dla } \quad -\infty \leq b \lt 0 \) \(\infty^{b}=\infty \quad \textrm{ dla } \quad 0\lt b \leq \infty\)
Twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów

 Granica 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 6n^{11}-5n^{7}+7n^{3}-n^{2}+21n-13 \right )\)

 Rozwiązanie

Uwaga
Symbol \(\infty\) będziemy uznawać za \(+\infty.\)
W pierwszym kroku wyłączamy najwyższą potęgę \(n\) przed nawias.
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 6n^{11}-5n^{7}+7n^{3}-n^{2}+21n-13 \right )=\cdots\]
Po wyłączeniu przed nawias \(n^{11}\) liczymy granice ciągów powstałych w nawiasie, korzystając z twierdzeń o granicach niewłaściwych ciągów.
\[\cdots\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } n^{11}\left ( 6-\frac{5}{n^{4}}+\frac{7}{n^{8}}-\frac{1}{n^{9}}+\frac{21}{n^{10}}-\frac{13}{n^{11}} \right )=\cdots\]
Ponieważ odpowiednie granice są równe \(0,\) mamy ostatecznie symbol \(\left [ \infty \cdot 6 \right ].\) Z twierdzenia  \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \ \ \wedge \ \ \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B > 0 \ \ \Rightarrow \ \ \lim_{n\to\infty} a_nb_n = +\infty \)  mamy:
\[\cdots\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty } n^{11}\left ( 6-\cancelto{0}{\frac{5}{n^{4}}}+\cancelto{0}{\frac{7}{n^{8}}}-\cancelto{0}{\frac{1}{n^{9}}}+\cancelto{0}{\frac{21}{n^{10}}}-\cancelto{0}{\frac{13}{n^{11}}} \right )= \left [ \infty \cdot 6 \right ]=\infty .\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 6n^{11}-5n^{7}+7n^{3}-n^{2}+21n-13 \right )=\infty\)

 Granica 2

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\operatorname{arctg}{n}\)

 Rozwiązanie

Korzystając z  \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = +\infty \)  twierdzeń o granicach niewłaściwych ciągów, mamy:
\[{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=\lim_{n\rightarrow \infty }(n\cdot n)=\left [ \infty \cdot \infty \right ]=\infty.}\]
Z wykresu funkcji wynika, że
_Rysunek 4.2.4.1
Wykres funkcji \(y=\operatorname{arctg}{x}\)
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\operatorname{arctg}{n}=\frac{\pi}{2}.\]
Mamy zatem:
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\operatorname{arctg}{n}=\left [\infty \cdot \frac{\pi}{2} \right ]=\infty.\]

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\operatorname{arctg}{n}=\infty\)

 Granica 3

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2-5^{n}+7^{n}}{6^{n}+4^{n}-\sqrt{3}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby obliczyć granicę ciągu, należy licznik i mianownik ułamka podzielić przez największą potęgę z mianownika ułamka, czyli

\[7^{n}\]

Odpowiedź nieprawidłowa. Wybieramy największą potęgę z mianowika ułamka.

\[6^{n}\]

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez \(6^{n}\) i licząc granice otrzymamy

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2-5^{n}+7^{n}}{6^{n}+4^{n}-\sqrt{3}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{2}{6^{n}}-\frac{5^{n}}{6^{n}}+\frac{7^{n}}{6^{n}}}{1+\frac{4^{n}}{6^{n}}-\frac{\sqrt{3}}{6^{n}}}=\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cancelto{0}{\frac{2}{6^{n}}}-\cancelto{0}{\frac{5^{n}}{6^{n}}}+\cancelto{\infty }{\frac{7^{n}}{6^{n}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{4^{n}}{6^{n}}}-\cancelto{0}{\frac{\sqrt{3}}{6^{n}}}}=\left [ \frac{\infty }{1} \right ]=\infty
 \end{array}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2-5^{n}+7^{n}}{6^{n}+4^{n}-\sqrt{3}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{2}{6^{n}}-\frac{5^{n}}{6^{n}}+\frac{7^{n}}{6^{n}}}{1+\frac{4^{n}}{6^{n}}-\frac{\sqrt{3}}{6^{n}}}=\\ \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cancelto{0}{\frac{2}{6^{n}}}-\cancelto{0}{\frac{5^{n}}{6^{n}}}+\cancelto{0}{\frac{7^{n}}{6^{n}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{4^{n}}{6^{n}}}-\cancelto{0}{\frac{\sqrt{3}}{6^{n}}}}=\left [ \frac{0}{1} \right ]=0
 \end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3 - Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2-5^{n}+7^{n}}{6^{n}+4^{n}-\sqrt{3}}=\infty \)

Wszystkie kroki z zadania 4.2.4.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Oblicz granice, korzystając z twierdzeń o granicach niewłaściwych ciągów.

 Granica 1

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{6n-7}{12n}  \right )^{1-2n}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{6n-7}{12n}  \right )^{1-2n}=\infty\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{6n-7}{12n}  \right )^{1-2n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{12n-6n-7}{12n}  \right )^{1-2n}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left (1+\frac{-6n-7}{12n}  \right )^{1-2n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\Bigg[\left (1+\frac{1}{\frac{12n}{-6n-7}}  \right )^{{\Large\frac{12n}{-6n-7}}}\Bigg ]^{\left ( 1-2n \right )\cdot {\Large\frac{-6n-7}{12n}}}=\\
=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }e^{\left ( 1-2n \right )\cdot {\Large\frac{-6n-7}{12n}}}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }e^{{\Large\frac{12n^{2}+8n-7}{12n}}}=\\
=e\ ^{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }}(n+{\Large\frac{8}{12}-\cancelto{0}{\frac{7}{12n}}})}=
\left [e^{\infty +{\Large\frac{8}{12}}}\right ]=\infty
\end{array}\]

 Grancia 2

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3n-(n+1)!}{2n+n!}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3n-(n+1)!}{2n+n!}=-\infty \)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3n-(n+1)!}{2n+n!}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3n-n!(n+1)}{2n+n!}=\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{3n}{n!}-(n+1)}{\frac{2n}{n!}+1}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cancelto{0}{\frac{3n}{n!}}-(n+1)}{\cancelto{0}{\frac{2n}{n!}}+1}=\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{-(n+1)}{1}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left (-n-1  \right )=\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left [-n\left (1+\frac{1}{n}  \right )  \right ]=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\left [-n\left (1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}  \right )  \right ]=\left [-\infty \cdot 1  \right ]=-\infty
\end{array}\]

 Granica 3

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos \frac{\pi}{2n}}{ \frac{\pi}{2n}}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos \frac{\pi}{2n}}{ \frac{\pi}{2n}}=\infty\)

 Rozwiązanie

Ponieważ
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\pi}{2n}=0\\
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\cos \cancelto{0^{+}}{\frac{\pi}{2n}}=1\\
\end{array}\]
Zatem
\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos \frac{\pi}{2n}}{ \frac{\pi}{2n}}=\left [ \frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty. \]