Szacujemy ciąg \((b_{n})\) z dołu, korzystając z własności funkcji \(y=\sin x,\) tj. \(\color{#F57C00}{-1\leq \sin x} \leq 1.\)
\[\underbrace{n-4}_{{\Large a_{n}}}=n-3-1\leq \underbrace{n-3+\sin 2n}_{{\Large b_{n}}}\]
Liczymy granicę ciągu \((a_{n}).\)
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left (  n-4 \right )= \left [ \infty -4 \right ]=\infty .\]
Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach możemy wnioskować, że
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( n-3+\sin 2n \right )=\infty .\]
Na rysunku widzimy jak zachowują się wyrazy obu ciągów.

Szacujemy ciąg \((b_{n})\) z dołu.
\[\sqrt[2n+1]{10^{3n^{2}-2}} \leq \sqrt[2n+1]{10^{3n^{2}-2}+6}.\]
Liczymy granicę powstałego ciągu, korzystając na końcu z  twierdzenia o granicy potęgi \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a^n= +\infty,\ \ \textrm{ dla } a\gt 1 \) .
\[ \begin{eqnarray}
&& \lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[2n+1]{10^{3n^{2}-2}}=
\lim_{n\rightarrow \infty }10^{{\Large\frac{3n^{2}-2}{2n+1}}}=\\
&& \lim_{n\rightarrow \infty }10^{{\Large\frac{3n-\frac{2}{n}}{2+\frac{1}{n}}}}=
\lim_{n\rightarrow \infty }10^{{\Large\frac{\cancelto{\infty}{3n}-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{2+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}}}=\left [ 10^{\infty } \right ]=\infty.
\end{eqnarray}\]
Zatem z twierdzenia o dwóch ciągach wynika, że
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[2n+1]{10^{3n^{2}-2}+6}= \infty .\]

Szacujemy ciąg \({\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}}}\) z dołu. Korzystamy z metody zastosowanej wcześniej w zadaniu 4.2.4 - Ciąg 2. Ponieważ najmniejszym składnikiem sumy jest ostatni jej składnik, więc suma wszystkich \(n\) - składników jest na pewno większa od \(n\) - najmniejszych składników. (Wszystkie składniki zastępujemy tym najmniejszym, z wyjątkiem jego samego lub inaczej - mnożymy najmniejszy składnik przez ich ilość czyli \(n\).)
\[n\cdot \frac{1}{\sqrt{2n}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}}\]
Liczymy granicę powstałego przez oszacowanie ciągu, korzystając z  twierdzenia \(\infty^{b}=\infty \textrm{ dla } 0\lt b \leq \infty\) .
\[
\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{n}{\sqrt{2n}}\cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=
\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{n\sqrt{n}}{n\sqrt{2}}=
\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}=
\lim_{n\rightarrow \infty } \sqrt{\frac{n}{2}}=\left [ \left (\frac{\infty }{2}  \right )^{\frac{1}{2}} \right ]=\infty
\]
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}}  \right )=\infty .\]