Zadanie 5.1.2

Zadanie 5.1.2
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnij, że dane granice nie istnieją.

Wskazówki

Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie

Jeżeli istnieją ciągi

$x_{n}'$ oraz

$x_{n}''$ spełniające warunki:

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}'=x_{0},}$ przy czym

$x_{n}'\neq x_{0},$ dla każdego

$n\in \mathbb{N}$ oraz

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}')=g',}$

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}''=x_{0},}$ przy czym

$x_{n}''\neq x_{0},$ dla każdego

$n\in \mathbb{N}$ oraz

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}'')=g'',}$

$g'\neq g'',$

wówczas granica właściwa lub niewłaściwa

${\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)}$ nie istnieje.

Uwaga!
Twierdzenie jest prawdziwe również, gdy

$g'=\pm \infty$ lub

$g''=\pm \infty.$

Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności

Jeżeli istnieją ciągi

$x_{n}'$ oraz

$x_{n}''$ spełniające warunki:

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}'=\infty,}$ oraz

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}')=g',}$

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}''=\infty,}$ oraz

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}'')=g'',}$

$g'\neq g'',$

wówczas granica właściwa lub niewłaściwa

${\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)}$ nie istnieje.

Uwaga!
Twierdzenie jest prawdziwe również, gdy

$g'=\pm \infty$ lub

$g''=\pm \infty.$ Analogicznie wygląda twierdzenie dla granicy

${\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)}.$

Granica 1

${\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sin 5x}$

Rozwiązanie

Ponieważ mamy wykazać, ze nie istnieje granica funkcji

$f(x)=\sin 5x,$ dla

$x\to \infty,$ zatem skorzystamy z twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności.

Jak rozumieć to twierdzenie?

Szukamy dwóch ciągów

$(x_{n}')$ oraz

$(x_{n}'')$ , które dla

$n \to \infty$ dążą do nieskończoności. Jednocześnie tak musimy dobrać ciągi, aby granice ciągów

$(f(x_{n}'))$ i

$(f(x_{n}''))$ istniały oraz były różne.
W takiej sytuacji możemy wnioskować, że nie istnieje granica funkcji

$f(x)=\sin 5x,$ dla

$x\to \infty.$

Możemy wybrać np. ciągi:

$\begin{array}{l} x_{n}'=n\pi\\ x_{n}''=2n\pi+\frac{\pi}{10}. \end{array}$
Widać, że

$x_{n}'=n\pi \stackrel{n\to \infty}\longrightarrow \infty ,$ gdyż $[\infty \cdot \pi = \infty]$
$x_{n}''=2n\pi+\frac{\pi}{10}\stackrel{n\to \infty} \longrightarrow \infty ,$ gdyż $[2\cdot\infty\cdot\pi+\frac{\pi}{10}=\infty].$

Liczymy granice ciągów

$(f(x_{n}'))$ i

$(f(x_{n}'')).$

$f(x_{n}')=\sin 5n\pi \stackrel{n\to \infty}\longrightarrow 0$

_Rysunek 5.1.2.1 — Dla podanych argumentów, przy $n$ naturalnym, funkcja przyjmuje wartość $0.$

$f(x_{n}'')=\sin 5\left (2n\pi+\frac{\pi}{10} \right )=\sin \left (10n\pi+\frac{\pi}{2} \right )\stackrel{n\to \infty} \longrightarrow 1$

_Rysunek 5.1.2.2 — Dla kolejnych argumentów, przy $n$ naturalnym, funkcja przyjmuje wartość $1.$

Ponieważ

$\lim_{n \to \infty}f(x_{n}')\neq \lim_{n \to \infty}f(x_{n}'),$ zatem nie istnieje granica

${\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sin 5x}.$

Granica 2

${\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}}{x-5}}$

Rozwiązanie

Krok 1

Algorytm

Aby udowodnić, że dana granica funkcji

$f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}}{x-5}$ nie istnieje, należy dobrać takie dwa ciągi zbieżne do

$x_{0}=5:\ x_{n}',\ x_{n}'',$ dla których granice

$f(x_{n}')$ oraz

$f(x_{n}'')$ istnieją i są różne.

W pierwszy kroku wybieramy takie ciągi, które są zbieżne do

$x_{0}=5.$

Ciąg 1

$a_{n}=\frac{3n-1}{4n}$

Ciąg 2

$b_{n}=\frac{5n-5}{n}$

Ciąg 3

$c_{n}=\frac{5n+1}{2n}$

Ciąg 4

$d_{n}=\frac{4n^{2}-2}{3}$

Ciąg 5

$e_{n}=\frac{5n+5}{n}$

Ciąg 6

$f_{n}=\frac{5n+1}{n}$

Ciąg 7

$g_{n}=\frac{6n-2}{n}$

Ciąg 8

$h_{n}=\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}$

Ciąg 9

$i_{n}=\frac{5n-2}{2n}$

Ciąg 10

$k_{n}=\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}$

Odpowiedz na pytanie

Które z wyżej wymienionych ciągów są zbieżne do $5$ przy $n\to \infty$ ? Wypisz numery ciągów oddzielając je spacją, w kolejności od najmniejszego do największego.

Podpowiedź!
Granice ciągów

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{3n-1}{4n}=\lim_{n\to \infty}\frac{3-\frac{1}{n}}{4}=\lim_{n\to \infty}\frac{3-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{4}=\frac{3}{4}}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}b_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n-5}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\frac{5}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\cancelto{0}{\frac{5}{n}}}{1}=5}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}c_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+1}{2n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\frac{1}{n}}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{2}=\frac{5}{2}}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}d_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{4n^{2}-2}{3}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{4n^{2}}-2}{3}}=\infty$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}e_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+5}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+5}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\frac{5}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\cancelto{0}{\frac{5}{n}}}{1}=5}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{1}=5}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}g_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{6n-2}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{6-\frac{2}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{6-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{1}=\frac{6}{1}=6}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}h_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4-\frac{2}{n}}{\frac{4}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{\frac{4}{5}}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}i_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n-2}{2n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\frac{2}{n}}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{2}=\frac{5}{2}}$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}k_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4+\frac{3}{n}}{\frac{4}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4+\cancelto{0}{\frac{3}{n}}}{\frac{4}{5}}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5}$ .

Krok 2

W drugim kroku liczymy granice ciągów

$f(b_{n}), \ f(e_{n}),\ f(f_{n}),\ f(h_{n}),\ f(k_{n}).$ Dobierz właściwą odpowiedź do odpowiednich granic. Możesz sprawdzić obliczenia, klikając na przyciski z odpowiednimi granicami. Po wykonaniu zadania przejdź do następnego kroku, klikając przycisk "Krok 3".

Granicą ciągu $f(b_{n})$ jest:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(b_{n})=$

Granicą ciągu $f(e_{n})$ jest:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(e_{n})=$

Granicą ciągu $f(f_{n})$ jest:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(f_{n})=$

Granicą ciągu $f(h_{n})$ jest:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(h_{n})=$

Granicą ciągu $f(k_{n})$ jest:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(k_{n})=$

Odpowiedź 1

$\infty$

Odpowiedź 2

$0$

Odpowiedź 3

$-20$

Odpowiedź 4

$-\infty$

Odpowiedź 5

$1$

Podpowiedź!
Jak obliczyć

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(b_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{5n-5}{n} \right )^{2}}{\frac{5n-5}{n}-5}=\lim_{n\to \infty}\Big[\frac{(5n-5)^{2}}{n^{2}}\cdot \frac{n}{5n-5-5n}\Big]=\lim_{n\to \infty}\frac{25n^{2}-50n+25}{-5n}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n-50+\frac{25}{n}}{-5}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n-50+\cancelto{0}{\frac{25}{n}}}{-5}=-\infty}$ ,

$\lim_{n\to \infty}f(e_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{5n+5}{n} \right )^{2}}{\frac{5n+5}{n}-5}=\lim_{n\to \infty}\Big[\frac{(5n+5)^{2}}{n^{2}}\cdot \frac{n}{5n+5-5n}\Big]=\lim_{n\to \infty}\frac{25n^{2}+50n+25}{5n}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n+50+\frac{25}{n}}{5}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{25n}+50+\cancelto{0}{\frac{25}{n}}}{5}=\infty$ ,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(f_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{5n+1}{n} \right )^{2}}{\frac{5n+1}{n}-5}=\lim_{n\to \infty}\Big[\frac{(5n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot \frac{n}{5n+1-5n}\Big]=\lim_{n\to \infty}\frac{25n^{2}+10n+1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n+10+\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{25n}+10+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{1}=\infty}$ ,

,

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(h_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}} \right )^{2}}{\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}-5}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (4n-2 \right )^{2}}{\frac{16n^{2}}{25}} {\frac{\frac{4n}{5}}{4n-2-5n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (16n^{2}-16n+4 \right )\cdot \frac{4}{5}n}{\frac{16}{25}n^{2}(-2-n)}=}\\ {\displaystyle=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (16n^{2}-16n+4 \right )\cdot \frac{4}{5}n}{\frac{16}{25}n^{2}(-2-n)}=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}-16n+4}{\frac{4}{5}n(-2-n)}=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}-16n+4}{-\frac{8}{5}n-\frac{4}{5}n^{2}}=16\cdot \left ( -\frac{5}{4} \right )=-20}$

${\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(h_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}} \right )^{2}}{\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}-5}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (4n+3 \right )^{2}}{\frac{16n^{2}}{25}} {\frac{\frac{4n}{5}}{4n+3-5n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (16n^{2}+24n+9 \right )\cdot \frac{4}{5}n}{\frac{16}{25}n^{2}(3-n)}=}\\ {\displaystyle=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}+24n+9}{\frac{4}{5}n(3-n)}=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}+24n+9}{\frac{12}{5}n-\frac{4}{5}n^{2}}=16\cdot \left ( -\frac{5}{4} \right )=-20}$

Krok 3

Ostatecznie wybieramy dwa takie ciągi, dążące przy

$n\to\infty$ do

$5,$ które posiadają granice, różne od siebie.
Wybierz parę ciągów, spełniających podane wyżej warunki.

Ciągi $b_{n}$ oraz $e_{n}.$

Odpowiedź prawidłowa

Ciągi $h_{n}$ oraz $k_{n}.$

Odpowiedź nieprawidłowa

Ciągi $f_{n}$ oraz $e_{n}.$

Odpowiedź nieprawidłowa

Odpowiedź

Ponieważ

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}b_{n}=\lim_{n\to \infty}e_{n}=5$ oraz

$\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(b_{n})\neq \lim_{n\to \infty}f(e_{n}),$ zatem korzystając z twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że nie istnieje granica

${\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}}{x-5}}.$

Zadanie 5.1.1

Polecenie

Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnij, że dane granice nie istnieją.

Granica 1

${\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cos ^{2}\frac{x}{2}}$

Odpowiedź

Wybieramy dwa ciągi, na przykład:

$\begin{array}{l} x_{n}'=4n\pi\\ x_{n}''=\displaystyle\frac{\pi}{2}+4n\pi \end{array}$
Widać, że

$\begin{array}{l} {\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}'=\lim_{n\to\infty}4n\pi=\infty}\\ {\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}''=\lim_{n\to\infty}\left (\frac{\pi}{2}+4n\pi \right )=\infty}. \end{array}$
Liczymy więc granice ciągów

$f(x_{n}')$ oraz

$f(x_{n}'').$

$\begin{array}{l} {\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')=\lim_{n\to\infty}f(4n\pi)=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}\frac{4n\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}2n\pi=0}\\ {\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}\frac{\frac{\pi}{2}+4n\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}\left ( \frac{\pi}{4}+2n\pi \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}} \end{array}$
Widać, że

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')\neq \lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')},$ zatem na mocy twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności, nie istnieje granica

${\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cos ^{2}\frac{x}{2}}.$

Granica 2

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}2x}{\operatorname{sgn}(x+2)}$

Odpowiedź

Wybieramy dwa dowolne ciągi, które przy

$n\to\infty$ dążą do

$0,$ np.

$\begin{array}{l} x_{n}'=\displaystyle\frac{1}{2n} \stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0\\ x_{n}''=-\displaystyle\frac{1}{2n+1} \stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0 \end{array}$
Liczymy zatem granice ciągów

$f(x_{n}')$ oraz

$f(x_{n}'').$

$\begin{array}{l} {\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}(2\cdot \frac{1}{2n})}{\operatorname{sgn}(\frac{1}{2n}+2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\frac{2}{2n}}{\operatorname{sgn}\frac{1+4n}{2n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\frac{1}{n}}{\operatorname{sgn}\frac{1+4n}{2n}}=\frac{1}{1}=1 }\\ {\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\Big (2\cdot \left ( -\frac{1}{2n+1} \right )\Big)}{\operatorname{sgn}\left (-\frac{1}{2n+1}+2 \right )}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\left ( -\frac{2}{2n+1} \right )}{\operatorname{sgn}\left (\frac{-1+4n+2}{2n+1}\right )}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\left ( -\frac{2}{2n+1} \right )}{\operatorname{sgn}\left (\frac{4n+1}{2n+1}\right )}=\frac{-1}{1}=-1 } \end{array}$
Ponieważ

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')\neq \lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')},$ zatem na mocy twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie, nie istnieje granica

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}2x}{\operatorname{sgn}(x+2)}.$

Zadanie 5.1.3

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie

Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności

Granica 1

Rozwiązanie

Granica 2

Rozwiązanie

Krok 1

Odpowiedz na pytanie

Krok 2

Krok 3

Odpowiedź

Polecenie

Granica 1

Odpowiedź

Granica 2

Odpowiedź