Zadanie 5.1.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.1 Granica właściwa i niewłaściwa funkcji
  4. Zadanie 5.1.2

 Polecenie

Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnij, że dane granice nie istnieją.

 Wskazówki

Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie

Jeżeli istnieją ciągi \(x_{n}'\) oraz \(x_{n}''\) spełniające warunki:

    \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}'=x_{0},}\) przy czym \(x_{n}'\neq x_{0},\) dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) oraz  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}')=g',}\)

    \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}''=x_{0},}\) przy czym \(x_{n}''\neq x_{0},\) dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) oraz \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}'')=g'',}\)

    \(g'\neq g'',\)

wówczas granica właściwa lub niewłaściwa \({\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)}\) nie istnieje.

Uwaga!
Twierdzenie jest prawdziwe również, gdy \(g'=\pm \infty\) lub \(g''=\pm \infty.\)

Twierdzenie o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności

Jeżeli istnieją ciągi \(x_{n}'\) oraz \(x_{n}''\) spełniające warunki:

    \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}'=\infty,}\) oraz  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}')=g',}\)

    \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}''=\infty,}\)  oraz \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n}'')=g'',}\)

    \(g'\neq g'',\)

wówczas granica właściwa lub niewłaściwa \({\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)}\) nie istnieje.

Uwaga!
Twierdzenie jest prawdziwe również, gdy \(g'=\pm \infty\) lub \(g''=\pm \infty.\) Analogicznie wygląda twierdzenie dla granicy \({\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)}.\)

 Granica 1

\({\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sin 5x}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ mamy wykazać, ze nie istnieje granica funkcji \(f(x)=\sin 5x,\) dla \(x\to \infty, \) zatem skorzystamy z twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności.
Jak rozumieć to twierdzenie?
Szukamy dwóch ciągów \((x_{n}')\) oraz \((x_{n}'')\), które dla \(n \to \infty\) dążą do nieskończoności. Jednocześnie tak musimy dobrać ciągi, aby granice ciągów \((f(x_{n}'))\) i \((f(x_{n}''))\) istniały oraz były różne.
W takiej sytuacji możemy wnioskować, że nie istnieje granica funkcji \(f(x)=\sin 5x,\) dla \(x\to \infty.\)
Możemy wybrać np. ciągi:
\[\begin{array}{l}
x_{n}'=n\pi\\
x_{n}''=2n\pi+\frac{\pi}{10}.
\end{array}\]
Widać, że
  • \(x_{n}'=n\pi \stackrel{n\to \infty}\longrightarrow \infty ,\) gdyż \([\infty \cdot \pi = \infty]\)

  • \(x_{n}''=2n\pi+\frac{\pi}{10}\stackrel{n\to \infty} \longrightarrow \infty ,\) gdyż \([2\cdot\infty\cdot\pi+\frac{\pi}{10}=\infty].\)
Liczymy granice ciągów \((f(x_{n}'))\) i \((f(x_{n}'')).\)
\(f(x_{n}')=\sin 5n\pi \stackrel{n\to \infty}\longrightarrow 0\) 
_Rysunek 5.1.2.1
Dla podanych argumentów, przy \(n\) naturalnym, funkcja przyjmuje wartość \(0.\)
\(f(x_{n}'')=\sin 5\left (2n\pi+\frac{\pi}{10}  \right )=\sin \left (10n\pi+\frac{\pi}{2}   \right )\stackrel{n\to \infty} \longrightarrow 1\)
_Rysunek 5.1.2.2
Dla kolejnych argumentów, przy \(n\) naturalnym, funkcja przyjmuje wartość \(1.\)
Ponieważ \[\lim_{n \to \infty}f(x_{n}')\neq \lim_{n \to \infty}f(x_{n}'),\] zatem nie istnieje granica \({\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sin 5x}.\)

 Granica 2

\({\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}}{x-5}}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Algorytm
Aby udowodnić, że dana granica funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}}{x-5}\) nie istnieje, należy dobrać takie dwa ciągi zbieżne do \(x_{0}=5:\ x_{n}',\  x_{n}'',\) dla których granice \(f(x_{n}')\) oraz \(f(x_{n}'')\) istnieją i są różne.
W pierwszy kroku wybieramy takie ciągi, które są zbieżne do \(x_{0}=5.\)
Ciąg 1
\[a_{n}=\frac{3n-1}{4n}\]
Ciąg 2
\[b_{n}=\frac{5n-5}{n}\]
Ciąg 3
\[c_{n}=\frac{5n+1}{2n}\]
Ciąg 4
\[d_{n}=\frac{4n^{2}-2}{3}\]
Ciąg 5
\[e_{n}=\frac{5n+5}{n}\]
Ciąg 6
\[f_{n}=\frac{5n+1}{n}\]
Ciąg 7
\[g_{n}=\frac{6n-2}{n}\]
Ciąg 8
\[h_{n}=\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}\]
Ciąg 9
\[i_{n}=\frac{5n-2}{2n}\]
Ciąg 10
\[k_{n}=\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}\]

Odpowiedz na pytanie

Które z wyżej wymienionych ciągów są zbieżne do \(5\) przy \(n\to \infty\)? Wypisz numery ciągów oddzielając je spacją, w kolejności od najmniejszego do największego.

Podpowiedź!
Granice ciągów
 \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{3n-1}{4n}=\lim_{n\to \infty}\frac{3-\frac{1}{n}}{4}=\lim_{n\to \infty}\frac{3-\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{4}=\frac{3}{4}}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}b_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n-5}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\frac{5}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\cancelto{0}{\frac{5}{n}}}{1}=5}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}c_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+1}{2n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\frac{1}{n}}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{2}=\frac{5}{2}}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}d_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{4n^{2}-2}{3}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{4n^{2}}-2}{3}}=\infty\) ,  \( {\displaystyle\lim_{n\to \infty}e_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+5}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+5}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\frac{5}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\cancelto{0}{\frac{5}{n}}}{1}=5}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n+1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{5+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{1}=5}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}g_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{6n-2}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{6-\frac{2}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{6-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{1}=\frac{6}{1}=6}\) ,  \( {\displaystyle\lim_{n\to \infty}h_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4-\frac{2}{n}}{\frac{4}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{\frac{4}{5}}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}i_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5n-2}{2n}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\frac{2}{n}}{2}=\lim_{n\to \infty}\frac{5-\cancelto{0}{\frac{2}{n}}}{2}=\frac{5}{2}}\) ,  \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}k_{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4+\frac{3}{n}}{\frac{4}{5}}=\lim_{n\to \infty}\frac{4+\cancelto{0}{\frac{3}{n}}}{\frac{4}{5}}=\frac{4}{\frac{4}{5}}=5}\)  .

 Krok 2

W drugim kroku liczymy granice ciągów \(f(b_{n}), \ f(e_{n}),\ f(f_{n}),\ f(h_{n}),\ f(k_{n}).\) Dobierz właściwą odpowiedź do odpowiednich granic. Możesz sprawdzić obliczenia, klikając na przyciski z odpowiednimi granicami. Po wykonaniu zadania przejdź do następnego kroku, klikając przycisk "Krok 3".

Granicą ciągu \(f(b_{n})\) jest:

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(b_{n})=\)

Granicą ciągu \(f(e_{n})\) jest:

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty}f(e_{n})=\)

Granicą ciągu \(f(f_{n})\) jest:

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(f_{n})=\)

Granicą ciągu \(f(h_{n})\) jest:

\( \displaystyle\lim_{n\to \infty}f(h_{n})=\)

Granicą ciągu \(f(k_{n})\) jest:

\(\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(k_{n})=\)
 








Odpowiedź 1
\(\infty\)
Odpowiedź 2
\(0\)
Odpowiedź 3
\(-20\)
Odpowiedź 4
\(-\infty\)
Odpowiedź 5
\(1\)
Podpowiedź!
 Jak obliczyć

 \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(b_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{5n-5}{n} \right )^{2}}{\frac{5n-5}{n}-5}=\lim_{n\to \infty}\Big[\frac{(5n-5)^{2}}{n^{2}}\cdot \frac{n}{5n-5-5n}\Big]=\lim_{n\to \infty}\frac{25n^{2}-50n+25}{-5n}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n-50+\frac{25}{n}}{-5}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n-50+\cancelto{0}{\frac{25}{n}}}{-5}=-\infty}\) ,

 \({\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(e_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{5n+5}{n} \right )^{2}}{\frac{5n+5}{n}-5}=\lim_{n\to \infty}\Big[\frac{(5n+5)^{2}}{n^{2}}\cdot \frac{n}{5n+5-5n}\Big]=\lim_{n\to \infty}\frac{25n^{2}+50n+25}{5n}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n+50+\frac{25}{n}}{5}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{25n}+50+\cancelto{0}{\frac{25}{n}}}{5}=\infty}\) ,

 \({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(f_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{5n+1}{n} \right )^{2}}{\frac{5n+1}{n}-5}=\lim_{n\to \infty}\Big[\frac{(5n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot \frac{n}{5n+1-5n}\Big]=\lim_{n\to \infty}\frac{25n^{2}+10n+1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{25n+10+\frac{1}{n}}{1}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{25n}+10+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{1}=\infty}\) ,

,
\({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(h_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}  \right )^{2}}{\frac{4n-2}{\frac{4n}{5}}-5}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (4n-2  \right )^{2}}{\frac{16n^{2}}{25}} {\frac{\frac{4n}{5}}{4n-2-5n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (16n^{2}-16n+4  \right )\cdot \frac{4}{5}n}{\frac{16}{25}n^{2}(-2-n)}=}\\
{\displaystyle=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (16n^{2}-16n+4  \right )\cdot \frac{4}{5}n}{\frac{16}{25}n^{2}(-2-n)}=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}-16n+4}{\frac{4}{5}n(-2-n)}=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}-16n+4}{-\frac{8}{5}n-\frac{4}{5}n^{2}}=16\cdot \left ( -\frac{5}{4} \right )=-20}\)

.
\({\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(h_{n})=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}  \right )^{2}}{\frac{4n+3}{\frac{4n}{5}}-5}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (4n+3  \right )^{2}}{\frac{16n^{2}}{25}} {\frac{\frac{4n}{5}}{4n+3-5n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\left (16n^{2}+24n+9  \right )\cdot \frac{4}{5}n}{\frac{16}{25}n^{2}(3-n)}=}\\
{\displaystyle=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}+24n+9}{\frac{4}{5}n(3-n)}=\lim_{n\to \infty}\frac{16n^{2}+24n+9}{\frac{12}{5}n-\frac{4}{5}n^{2}}=16\cdot \left ( -\frac{5}{4} \right )=-20}\)

 Krok 3

Ostatecznie wybieramy dwa takie ciągi, dążące przy \(n\to\infty\) do \(5,\) które posiadają granice, różne od siebie.
Wybierz parę ciągów, spełniających podane wyżej warunki.

Ciągi \(b_{n}\) oraz \( e_{n}.\)

Odpowiedź prawidłowa

Ciągi \(h_{n}\) oraz  \(k_{n}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Ciągi \(f_{n}\) oraz  \(e_{n}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Odpowiedź

Ponieważ \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}b_{n}=\lim_{n\to \infty}e_{n}=5\) oraz \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(b_{n})\neq \lim_{n\to \infty}f(e_{n}),\) zatem korzystając z twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że nie istnieje granica \({\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{x^{2}}{x-5}}.\)

 Polecenie

Wskazując odpowiednie dwa ciągi uzasadnij, że dane granice nie istnieją.

 Granica 1

\({\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cos ^{2}\frac{x}{2}}\)

 Odpowiedź

Wybieramy dwa ciągi, na przykład:
\[ \begin{array}{l}
x_{n}'=4n\pi\\
x_{n}''=\displaystyle\frac{\pi}{2}+4n\pi
\end{array}\]
Widać, że
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}'=\lim_{n\to\infty}4n\pi=\infty}\\
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}''=\lim_{n\to\infty}\left (\frac{\pi}{2}+4n\pi  \right )=\infty}.
\end{array}\]
Liczymy więc granice ciągów \(f(x_{n}')\) oraz \(f(x_{n}'').\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')=\lim_{n\to\infty}f(4n\pi)=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}\frac{4n\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}2n\pi=0}\\
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}\frac{\frac{\pi}{2}+4n\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}\cos ^{2}\left ( \frac{\pi}{4}+2n\pi \right )=\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{array}\]
Widać, że \({\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')\neq \lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')},\) zatem na mocy twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w nieskończoności, nie istnieje granica \({\displaystyle\lim_{x\to\infty}\cos ^{2}\frac{x}{2}}.\)

 Granica 2

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}2x}{\operatorname{sgn}(x+2)}\)

 Odpowiedź

Wybieramy dwa dowolne ciągi, które przy \(n\to\infty\) dążą do \(0,\) np.
\[ \begin{array}{l}
x_{n}'=\displaystyle\frac{1}{2n} \stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0\\
x_{n}''=-\displaystyle\frac{1}{2n+1} \stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0
\end{array}\]
Liczymy zatem granice ciągów \(f(x_{n}')\) oraz \(f(x_{n}'').\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}(2\cdot \frac{1}{2n})}{\operatorname{sgn}(\frac{1}{2n}+2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\frac{2}{2n}}{\operatorname{sgn}\frac{1+4n}{2n}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\frac{1}{n}}{\operatorname{sgn}\frac{1+4n}{2n}}=\frac{1}{1}=1 }\\  
{\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\Big (2\cdot \left ( -\frac{1}{2n+1} \right )\Big)}{\operatorname{sgn}\left (-\frac{1}{2n+1}+2  \right )}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\left ( -\frac{2}{2n+1} \right )}{\operatorname{sgn}\left (\frac{-1+4n+2}{2n+1}\right )}=\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}\left ( -\frac{2}{2n+1} \right )}{\operatorname{sgn}\left (\frac{4n+1}{2n+1}\right )}=\frac{-1}{1}=-1 }
\end{array}\]
Ponieważ \({\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_{n}')\neq \lim_{n\to\infty}f(x_{n}'')},\) zatem na mocy twierdzenia o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie, nie istnieje granica \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sgn}2x}{\operatorname{sgn}(x+2)}.\)