Zadanie 5.1.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.1 Granica właściwa i niewłaściwa funkcji
  4. Zadanie 5.1.3

 Polecenie

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji oraz z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych oblicz granice.

 Wskazówki

Twierdzenie (o arytmetyce granic funkcji)

Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają granice właściwe w punkcie \(x_{0}\), to
\[ \begin{eqnarray}
&& {\displaystyle 1. \ \ \lim_{x\to x_{0}}\Big (f(x)+g(x)\Big )= \lim_{x\to x_{0}}f(x)+\lim_{x\to x_{0}}g(x)} \\ \\
&& {\displaystyle 2. \ \ \lim_{x\to x_{0}}\Big (f(x)-g(x)\Big )= \lim_{x\to x_{0}}f(x)-\lim_{x\to x_{0}}g(x)}\\ \\
&& {\displaystyle 3. \ \ \lim_{x\to x_{0}}\Big (cf(x)\Big )=c\Big (\lim_{x\to x_{0}}f(x)\Big ), \ c\in \mathbb{R}}\\ \\
&& {\displaystyle 4. \ \ \lim_{x\to x_{0}}\Big (f(x)\cdot g(x)\Big )= \left (\lim_{x\to x_{0}}f(x)  \right )\cdot \left (\lim_{x\to x_{0}}g(x)  \right )}\\ \\
&& {\displaystyle 5. \ \ \lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)}}\\ \\
&& {\displaystyle 6. \ \ \lim_{x\to x_{0}}\Big (f(x)\Big )^{g(x)}= \Big(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\Big )^{\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)}  } 
\end{eqnarray}\]
Uwaga!
  • Wzór 1. jest prawdziwy również dla dowolnej liczby składników.
  • Wzór 4 jest prawdziwy również dla dowolnej liczby czynników.
  • Wzór 6. jest prawdziwy, jeśli wyrażenia po obu stronach mają sens.
  • Przyjmujemy, że \((0^{+})^{q}=\infty,\) dla \(q\lt 0.\)
  • Powyższe twierdzenia o arytmetyce granic są prawdziwe także dla granic jednostronnych funkcji w punkcie \(x_{0}\) oraz dla granic w \(-\infty\) lub \(\infty.\)

Twierdzenie o granicy funkcji złożonej

Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) spełniają warunki:

 

  1. \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=y_{0},\)

  2. \(f(x)\neq y_{0},\) dla każdego \(x\in S(x_{0}),\)

  3. \(\displaystyle\lim_{y\to y_{0}}g(y)=q,\)

to \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(f(x))=q.\)

Uwaga!
Twierdzenie jest prawdziwe także dla pozostałych typów granic.

Twierdzenie (o granicach niewłaściwych funkcji)

Równości podane w tabeli są symboliczną formą zapisu twierdzeń o granicach funkcji. Analogicznie wygląda tabela działań dla \(-\infty.\)
\(p+\infty=\infty,\) dla \(-\infty \lt p \leqslant \infty\) \(p\cdot \infty=\infty,\) dla \(0 \lt p \leqslant \lt \infty\)
\(\frac{p}{\infty}=0,\) dla \(-\infty\lt p \lt \infty\) \(\frac{p}{0^{+}}=\infty,\) dla \(0\lt p \leqslant \infty\)
\(p^{\infty}=0,\) dla \(0^{+}\leqslant p \lt 1\) \(p^{\infty}=\infty,\) dla \(1\lt p \leqslant \infty\)
\(\infty^{q}=0,\) dla \(-\infty\leqslant q \lt 0\) \(\infty^{q}=\infty,\) dla \(0\lt q \leqslant \infty\)

Granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych

\(1. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\) \(2. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1\)
\(3. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a,\) gdzie \(a\gt 0\) \(4. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)
\(5. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\log_{a}\left (1+x \right )}{x}=\log_{a}e,\) gdzie \(a\gt 0 \wedge a\neq 1\) \(6. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\)
\(7. \ \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty }\Big(1+\frac{a}{x}\Big )^{x}=e^{a},\) gdzie \(a\in \mathbb{R}\) \(8.\ \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty }\Big(1+\frac{1}{x}\Big )^{x}=e\)
\(9. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\) \(10. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{a}-1}{x}=a,\) gdzie \(a\in \mathbb{R}\)
\(11. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1\) \(12. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{arctg} x}{x}=1\)
\(13. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{sh} x}{x}=1\) \(14. \ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{th} x}{x}=1\)

 Granica 1

\(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-1}{x+2}\)

 Rozwiązanie

Ponieważ przy podstawieniu za \(x=3\) nie otrzymamy wyrażenia nieoznaczonego, zatem dokonujemy takiego podstawienia otrzymując:
\(\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-1}{x+2}=\frac{3^{2}-1}{3+2}=\frac{8}{5}\)

 Granica 2

\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\)

 Rozwiązanie

Stosujemy poznaną przy ciągach metodę, mnożymy ułamek przez jedynkę postaci \( 1=\displaystyle\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}.\)
\({\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \stackrel{[\frac{0}{0}]}=\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=}\\ {\displaystyle =\lim_{x \to 0}\frac{\left (\sqrt{x+1}-1  \right )\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )}{x\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )} =\lim_{x \to 0}\frac{x+1-1}{x\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )}=}\\ {\displaystyle=\lim_{x \to 0}\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left ( \sqrt{x+1}+1 \right )} =\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{\cancelto{0}{x}+1}+1 }=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}}\)

 Granica 3

\(\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na  \(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)  i  \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) .
\({\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1} \stackrel{[\frac{0}{0}]}=
\lim_{x \to 1}\frac{\cancel{(x-1)}(x^{2}+x+1)}{\cancel{(x-1)}(x+1)}=}\\
{\displaystyle =\lim_{x \to 1}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\lim_{x \to 1}\frac{\cancelto{1}{x^{2}}+\cancelto{1}{x}+1}{\cancelto{1}{x}+1}=\frac{1+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}}\)

 Granica 4

\(\displaystyle\lim_{x \to \infty  }\frac{x^{5}-3x^{2}+7x-1}{1-x^{3}-3x^{5}}\)

 Rozwiązanie

Stosujemy wcześniej poznaną metodę, dzielimy licznik i mianownik ułamka przez \(x\) w najwyższej potędze, w jakiej znajduje się w  mianowniku, czyli \(x^{5}.\)
\({\displaystyle\lim_{x \to \infty  }\frac{x^{5}-3x^{2}+7x-1}{1-x^{3}-3\color{#F57C00}{x^{5}}} \stackrel{[\frac{0}{0}]}=\lim_{x \to \infty  }\frac{1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{7}{x^{4}}-\frac{1}{x^{5}}}{\frac{1}{x^{5}}-\frac{1}{x^{2}}-3}=}\\ {\displaystyle =\lim_{x \to \infty  }\frac{1-\cancelto{0}{\frac{3}{x^{2}}}+\cancelto{0}{\frac{7}{x^{4}}}-\cancelto{0}{\frac{1}{x^{5}}}}{\cancelto{0}{\frac{1}{x^{5}}}-\cancelto{0}{\frac{1}{x^{2}}}-3}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3} }\)

 Granica 5

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{3}4x}{16x^{3}}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru  \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)  granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych (jeśli \(x\to 0 \), to także \(4x \to 0\)). Chodzi o to, aby tak dopisać/rozpisać wyrażenie, aby móc skorzystać ze wzoru. Wyłączamy przed funkcję \(\displaystyle\frac{1}{16},\) wyłączamy potęgę nad ułamek dopisując w mianowniku \(4x\) i robiąc korektę (mnożymy przez \(64,\) gdyż \(4^{3}=64\)). (Można było również wyłączyć potęgę nad ułamek jednocześnie dopisując w ramach korekty \(4.\))
\({\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{3}4x}{16x^{3}}=\lim_{x\to 0}\Big[ \frac{1}{\cancelto{1}{16}}\Big(\cancelto{1}{\frac{\sin4x}{4x}}\Big)^{3}\cdot \cancelto{4}{64}\Big]= 1^{3}\cdot 4=4}\)

 Granica 6

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}\frac{x}{3}}{\operatorname{tg}\frac{x}{4}}\)

 Rozwiązanie

Przekształcamy wyrażenie na potrzebę wzoru  \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1\)  granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych. Dopisujemy w mianowniku argument tangensa z licznika oraz \(3,\) w liczniku dopisujemy argument tangensa z mianownika oraz \(4.\) W ten sposób, po skróceniu \(3, 4\) i \(x\) otrzymalibyśmy wyrażenie początkowe.
\({\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}\frac{x}{3}}{\operatorname{tg}\frac{x}{4}}=\lim_{x\to 0}\Big( \frac{\operatorname{tg}\frac{x}{3}}{3\cdot \frac{x}{3}}\cdot \frac{4\cdot \frac{x}{4}}{\operatorname{tg}\frac{x}{4}}\Big )=}\\{\displaystyle\lim_{x\to 0}\Big( \frac{4}{3}\cdot \frac{\operatorname{tg}\frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\cdot \frac{\frac{x}{4}}{\operatorname{tg}\frac{x}{4}}\Big ) =\lim_{x\to 0}\Big( \frac{4}{3}\cdot \cancelto{1}{\frac{\operatorname{tg}\frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}}\cdot \cancelto{1}{\frac{\frac{x}{4}}{\operatorname{tg}\frac{x}{4}}}\Big ) =\frac{4}{3}}\)

 Granica 7

\({\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{\ln (x+4)^{4}}{x+3}}\)

 Rozwiązanie

Skorzystamy z twierdzenia  \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\)  z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych. Przekształcamy wyrażenie korzystając z własności logarytmów (wykładnik argumentu logarytmu w postaci potęgi wyłączamy przed logarytm). Wystarczy zauważyć, że \(x+4\) zbiega do \(1,\) natomiast \(x+3\) zbiega do \(0\) przy \(x \to -3.\)
\({\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{\ln (x+4)^{4}}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{4\ln (x+4)}{x+3}=}\\
{\displaystyle \lim_{x\to -3}\frac{4\ln \cancelto{1}{(x+4)}}{\cancelto{0}{x+3}}=\lim_{x\to -3}4\cancelto{1}{\frac{\ln (x+4)}{x+3}}=4\cdot 1=4}\)

 Grancia 8

\({\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left (\frac{x-2}{x-3}  \right )^{2x-4}}\)

 Rozwiązanie

Korzystamy tutaj ze wzoru  \(\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty }\Big(1+\frac{1}{x}\Big )^{x}=e\)  z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych.
\({\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left (\frac{x-2}{x-3}  \right )^{2x-4}=
\lim_{x\to \infty}\left (\frac{x-3+1}{x-3}  \right )^{2x-4}=
\lim_{x\to \infty}\left (1+\frac{1}{x-3}  \right )^{2x-4}=}\\
={\displaystyle\lim_{x\to \infty}\Big [ \left (1+\frac{1}{x-3}  \right )^{x-3}\Big ]^{\Large\frac{2x-4}{x-3}}=
\lim_{x\to \infty}\Big [ \left (1+\frac{1}{\cancelto{\infty}{x-3}}  \right )^{\cancelto{\infty}{x-3}}\Big ]^{\Large\frac{2x-4}{x-3}}=}\\
=e\ ^{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{2x-4}{x-3}}=
e\ ^{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{2-\frac{4}{x}}{1-\frac{3}{x}}}=
e\ ^{\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{2-\cancelto{0}{\frac{4}{x}}}{1-\cancelto{0}{\frac{3}{x}}}}=e^{2}\)

 Granica 9

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin}x}{e^{5x}-1}\)

 Rozwiązanie

Należy skorzystać ze wzorów  \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\)  i  \(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1\)  granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych. Przekształcamy wyrażenie tak, aby w mianowniku skorzystać ze wzoru \(4.\) a w liczniku z \(11.\)
\({\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{arcsin}x}{e^{5x}-1}=
\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\operatorname{arcsin}x}{x}}{\frac{e^{5x}-1}{5x}\cdot 5}=
\lim_{x\to 0}\frac{\cancelto{1}{\frac{\operatorname{arcsin}x}{x}}}{\cancelto{1}{\frac{e^{5x}-1}{5x}}\cdot 5}=\frac{1}{5}}\)

 Granica 10

\(\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin (x^{2}+2x-3)}{x^{2}-9}\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Aby obliczyć granice \(\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin (x^{2}+2x-3)}{x^{2}-9}\) należy skorzystać ze wzoru

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=1\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 2

Aby skorzystać ze wzoru \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,\) należy najpierw przekształcić wyrażenie. Które przekształcenia będą prawidłowe?

\({\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin (x^{2}+2x-3)}{x^{2}-9}}=\\
{\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [(x+1)(x+3)]}{(x-3)(x+3)}}=\\
{\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [(x+1)(x+3)]}{(x+1)(x+3)}\cdot \frac{x+1}{x-3}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin (x^{2}+2x-3)}{x^{2}-9}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [(x-1)(x+3)]}{(x-3)(x+3)}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [(x-1)(x+3)]}{(x-1)(x+3)}\cdot \frac{x-1}{x-3}}\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin (x^{2}+2x-3)}{x^{2}-9}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [(x-1)(x-3)]}{(x-3)(x+3)}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [(x-1)(x-3)]}{(x-1)(x-3)}\cdot \frac{x-1}{x+3}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Licząc granice uzyskanych w przekształceniach wyrażeń otrzymamy:

\[\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [\cancelto{0}{(x-1)(x+3)}]}{\cancelto{0}{(x-1)(x+3)}}\cdot \frac{x-1}{x-3}=\\
\lim_{x\to -3}3\cancelto{1}{\frac{\sin [(x-1)(x+3)]}{(x-1)(x+3)}}\cdot \frac{\cancelto{-4}{x-1}}{\cancelto{-6}{x-3}}=\\=\frac{3\cdot (-4)}{-6}=2\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [\cancelto{0}{(x-1)(x+3)}]}{\cancelto{0}{(x-1)(x+3)}}\cdot \frac{x-1}{x-3}=\\
\lim_{x\to -3}3\cancelto{0}{\frac{\sin [(x-1)(x+3)]}{(x-1)(x+3)}}\cdot \frac{\cancelto{-4}{x-1}}{\cancelto{-6}{x-3}}=\\=\frac{0\cdot (-4)}{-6}=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\lim_{x\to -3}\frac{3\sin [\cancelto{0}{(x-1)(x+3)}]}{\cancelto{0}{(x-1)(x+3)}}\cdot \frac{x-1}{x-3}=\\
\lim_{x\to -3}3\cancelto{1}{\frac{\sin [(x-1)(x+3)]}{(x-1)(x+3)}}\cdot \cancelto{1}{\frac{x-1}{x-3}}=\\
=3\cdot 1=1\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 4 - Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{x\to -3}\frac{3\sin (x^{2}+2x-3)}{x^{2}-9}=2\)

 Polecenie

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji oraz z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych oblicz granice.

 Granica 1

\({\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left ( \frac{x+2}{x-3} \right )^{x+1}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left ( \frac{x+2}{x-3} \right )^{x+1}=e^{5}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left ( \frac{x+2}{x-3} \right )^{x+1}=
\lim_{x\to -\infty}\left ( \frac{x-3+5}{x-3} \right )^{x+1}=
\lim_{x\to -\infty}\left ( 1+\frac{5}{x-3} \right )^{x+1}}=\\
={\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left ( 1+\frac{1}{\frac{x-3}{5}} \right )^{{\Large\frac{x-3}{5}\cdot \frac{5(x+1)}{x-3}}}=
\lim_{x\to -\infty}\Big[\left ( 1+\frac{1}{\frac{x-3}{5}} \right )^{{\Large\frac{x-3}{5}}}\Big ] ^{{\Large\frac{5(x+1)}{x-3}}}}=\\
={\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\cancelto{e}{\Big[\left ( 1+\frac{1}{\frac{x-3}{5}} \right )^{{\Large\frac{x-3}{5}}}\Big ]} ^{{\Large\frac{5(x+1)}{x-3}}}=e^{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{5(x+1)}{x-3}}=
e^{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{5x+5}{x-3}}=\\
=e^{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{5+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}}=e^{5}}\)

 Granica 2

\(\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{\operatorname{arcsin}(x^{2}-25)}{x^{2}-3x-10}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{\operatorname{arcsin}(x^{2}-25)}{x^{2}-3x-10}=\frac{10}{7}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{\operatorname{arcsin}(x^{2}-25)}{x^{2}-3x-10}=
\lim_{x\to 5}\frac{\operatorname{arcsin}(x^{2}-25)}{(x-5)(x+2)}=
\lim_{x\to 5}\frac{\operatorname{arcsin}(x^{2}-25)}{x^{2}-25}\cdot \frac{x+5}{x+2}=}\\
={\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{\operatorname{arcsin}\cancelto{0}{(x^{2}-25)}}{\cancelto{0}{x^{2}-25}}\cdot \frac{x+5}{x+2}=
\lim_{x\to 5}\cancelto{1}{\frac{\operatorname{arcsin}(x^{2}-25)}{x^{2}-25}}\cdot \frac{\cancelto{10}{x+5}}{\cancelto{7}{x+2}}=\frac{10}{7}}\)

 Granica 3

\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\log_{2}(x-3)^{3}}{x-4}\)

 Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\log_{2}(x-3)^{3}}{x-4}=3\log_{2}e\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\log_{2}(x-3)^{3}}{x-4}=
\lim_{x\to 4}\left [3\frac{\log_{2}(x-3)}{x-4}  \right ]=
\lim_{x\to 4}\left [3\frac{\log_{2}\cancelto{1}{(x-3)}}{\cancelto{0}{x-4}}  \right ]=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to 4}\left [3\cancelto{\log_{2}e}{\frac{\log_{2}(x-3)}{x-4}}  \right ]=3\log_{2}e}\)