Zadanie 5.1.4
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.1 Granica właściwa i niewłaściwa funkcji
  4. Zadanie 5.1.4

 Polecenie

Licząc granice jednostronne, zbadaj czy istnieją podane granice.

 Wskazówki

Definicja Heinego granicy lewostronnej właściwej funkcji w punkcie

Niech \(x_{0}\in \mathbb{R}\) oraz niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie \(S(x_{0}^{-}).\)
Liczba \(g\) jest granica właściwą lewostronna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0},\) co zapisujemy \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=g,\]
wtedy i tylko wtedy, gdy
\[\underset{(x_{n})\subset S(x_{0}^{-})}{\huge \forall } \Big[\left ( \displaystyle\lim_{n\to \infty}x_{n}=x_{0} \right ) \ \ \Rightarrow \ \ \left ( \displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n})=g \right )\Big].\]
Rysunek 5.1.4.1
Ilustracja obrazująca definicję Heineho granicy lewostronnej funkcji w punkcie
Zamiast równości \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=g\) stosuje się również zapis \(f(x_{0}-0)=g\) albo \(f(x_{0}^{-})=g.\)
Uwaga!
Wartość funkcji w punkcie \(x_{0}\) (jeśli istnieje) nie ma wpływu na granicę lewostronną (prawostronną) funkcji w punkcie.
Granicę prawostronną definiuje się analogicznie. Oznaczamy ją symbolem
\(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\) lub \(f(x_{0}+0)\) albo \(f(x_{0}^{+}).\)

Warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy

Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_{0}\) granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy \[{\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)}.\]
Wspólna wartość granic jednostronnych jest wówczas granicą funkcji.
Uwaga!
Powyższe twierdzenie stosuje się często do znajdowania granic funkcji określonych przez wartość bezwzględną lub też kilkoma wzorami. Można również skorzystać z niego, gdy rozważa się istnienie granicy.

 Granica 1

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}e^{\Large\frac{3x}{x^{2}-1}}\)

 Rozwiązanie

Badamy granice jednostronne.
Granica lewostronna
\({\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}e^{\Large\frac{3x}{x^{2}-1}}=
e^{\left [\Large\frac{+}{-}  \right ]}=e^{\left [-\infty  \right ]}=0}\)
Granica prawostronna
\({\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}e^{\Large\frac{3x}{x^{2}-1}}=
e^{\left [\Large\frac{+}{+}  \right ]}=e^{\left [\infty  \right ]}=\infty}\)
Ponieważ granice obustronne istnieją ale są różne, więc z twierdzenia (warunku koniecznego i wystarczającego istnienia granicy) wynika, że w punkcie \(x_{0}=4\) funkcja \(f(x)=e^{\Large\frac{3x}{x^{2}-1}}\) nie posiada granicy.

 Granica 2

\(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\left | x^{2}-16 \right |}{x-4}\)

 Rozwiązanie

Aby obliczyć granicę lewostronną, należy najpierw uprościć wyrażenie. Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej.
\[ \left | x^{2}-16 \right |=
\begin{cases}
x^{2}-16,& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 4;\infty \right )\\
-x^{2}+16,& \textrm{ dla } x\in \left ( -4;4 \right )
\end{cases}\]
Zatem jeśli liczymy granicę przy \(x\to 4^{-},\) bierzemy pod uwagę przedział \( \left ( -4;4 \right ).\)
\[\begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\frac{\left | x^{2}-16 \right |}{x-4}=
\lim_{x\to 4^{-}}\frac{- \left (x^{2}-16  \right )}{x-4}=}\\
={\displaystyle\lim_{x\to 4^{-}}\frac{- \cancel{\left (x-4  \right )}\left ( x+4 \right )}{\cancel{x-4}}=
\lim_{x\to 4^{-}}-\left (x+4  \right )=-(4+4)=-8}
\end{array}\]
Jeśli badamy granicę prawostronną (czyli dla \(x\to 4^{+},\)) bierzemy pod uwagę przedział \(\left ( -\infty;-4 \right \rangle \cup \left \langle 4;\infty \right ).\)
\[\begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\frac{\left | x^{2}-16 \right |}{x-4}=\lim_{x\to 4^{+}}\frac{x^{2}-16}{x-4}=}\\
={\displaystyle\lim_{x\to 4^{+}}\frac{\cancel{\left (x-4  \right )}\left ( x+4 \right )}{\cancel{x-4}}=
\lim_{x\to 4^{+}}\left (x+4  \right )=4+4=8}
\end{array}\]
Granice jednostronne istnieją i są różne, zatem na mocy twierdzenia (warunku koniecznego i wystarczającego istnienia granic) nie istnieje granica funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\left | x^{2}-16 \right |}{x-4}\) w punkcie \(x_{0}=4.\)

 Polecenie

Licząc granice jednostronne, zbadaj czy istnieją podane granice.

 Granica 1

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sgn}x}{\left | x \right |}\)

 Odpowiedź

Nie istnieje granica funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\operatorname{sgn}x}{\left | x \right |},\) przy \(x\to 0.\)

 Rozwiązanie

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej
\[\displaystyle\frac{\operatorname{sgn}x}{\left | x \right |}=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\operatorname{sgn}x}{x},& \textrm{ dla } x \gt 0\\
-\displaystyle\frac{\operatorname{sgn}x}{x},& \textrm{ dla } x \lt 0,
\end{cases}\]
oraz definicji funkcji signum
\[\operatorname{sgn}x=
\begin{cases}
1,& \textrm{ dla } x \gt 0\\
0,& \textrm{ dla } x = 0\\
-1,& \textrm{ dla } x \lt 0,
\end{cases}\]
liczymy granice jednostronne:
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\operatorname{sgn}x}{x}=\left [ \frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}-\frac{\operatorname{sgn}x}{x}=\left [- \frac{-1}{0^{-}} \right ]=-\infty
 \end{array}\]
Zatem granica funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\operatorname{sgn}x}{\left | x \right |}\) w punkcie \(x_{0}=0\) nie istnieje.

 Granica 2

\(f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2x}{x-1},& \textrm{ dla } x \gt 1\\
3x^{2}+2,& \textrm{ dla } x \leqslant 1,
\end{cases}\) dla \(x\to 1.\)

 Odpowiedź

Granica funkcji \(f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2x}{x-1},& \textrm{ dla } x \gt 1\\
3x^{2}+2,& \textrm{ dla } x \leqslant 1
\end{cases}\) w punkcie \(x_{0}=1\) nie istnieje.

 Rozwiązanie

Liczymy granice jednostronne dla odpowiednich funkcji
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{2x}{x-1}=\left [\frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty\\
\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\left (3x^{2}+2  \right )=3+2=5.
\end{array}\]
Ponieważ granice jednostronne są od siebie różne, więc granica funkcji \(f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2x}{x-1},& \textrm{ dla } x \gt 1\\
3x^{2}+2,& \textrm{ dla } x \leqslant 1
\end{cases}\) w punkcie \(x_{0}=1\) nie istnieje.