Zadanie 5.1.5
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.1 Granica właściwa i niewłaściwa funkcji
  4. Zadanie 5.1.5

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o trzech lub o dwóch funkcjach udowodnij podane równości.

 Wskazówki

Twierdzenie o trzech funkcjach

Jeżeli funkcje \(f,\ g,\ h\) spełniają warunki:

  1. \(f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x),\) dla każdego  \(x\in S(x_{0})\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{x\to x_{0}}h(x)=p,\)

 to \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=p\)
Uwaga!
Twierdzenie jest również prawdziwe dla granic właściwych obustronnych oraz dla granic właściwych w nieskończoności.

Twierdzenie o dwóch funkcjach

Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) spełniają warunki:

  1. \(f(x)\leqslant g(x),\) dla każdego  \(x\in S(x_{0})\)

  2. \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=\infty,\)

 to \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=\infty.\)
Uwaga!
Analogicznie prawdziwe są również twierdzenia dla granicy niewłaściwej funkcji w \(-\infty.\)
Twierdzenie jest również prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla granic w nieskończoności.

 Równość 1

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{4\cos x+5}{2x^{2}+\cos x}=0\)

 Rozwiązanie

Ponieważ mamy z lewej strony granicę właściwą w nieskończoności, zatem stosujemy twierdzenie o trzech funkcjach.
Szacujemy funkcję tak, aby z obu stron oszacowane funkcje miały tę samą granicę równą \(0.\)
np.
Z własności funkcji cosinus wiemy, że \(-1\leqslant \cos x \leqslant 1.\) Korzystając z tej własności możemy oszacować nastepująco:
\[\frac{1}{2x^{2}-1}=\frac{4(-1)+5}{2x^{2}-1}\leqslant \frac{4\cos x+5}{2x^{2}+\cos x}\leqslant \frac{4\cdot 1+5}{2x^{2}+1}=\frac{9}{2x^{2}+1}\]
Liczymy granice skrajnych funkcji :
\[\begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x^{2}-1}=\left [ \frac{1}{\infty} \right ]=0\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{9}{2x^{2}+1}=\left [ \frac{1}{\infty} \right ]=0
\end{array}\]
Zatem  na mocy twierdzenia o trzech funkcjach
\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{4\cos x+5}{2x^{2}+\cos x}=0.\]

 Równość 2

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left [ x^{3}-3 \right ]}{2+x^{2}}=\infty\)

 Rozwiązanie

Ponieważ wynikiem jest \(\infty\) zatem jest to granica niewłaściwa i korzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach.
Chcemy funkcję \(\displaystyle\frac{\left [ x^{3}-3 \right ]}{2+x^{2}}\) oszacować z dołu przez funkcję, która przy \(x \to \infty\) dąży do \(\infty.\)
Korzystamy z własności funkcji "całość" \(x-1\lt \left [ x \right ]:\)
\[\displaystyle \frac{x^{3}-4}{2+x^{2}}=\frac{x^{3}-3-1}{2+x^{2}} \lt \frac{\left [ x^{3}-3 \right ]}{2+x^{2}}.\]
Liczymy granicę funkcji powstałej przez oszacowanie z dołu:
\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x^{3}-4}{2+x^{2}}=\lim_{x\to \infty}\frac{x-\frac{4}{x^{2}}}{\frac{2}{x^{2}}+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{\cancelto{\infty}{x}-\cancelto{0}{\frac{4}{x^{2}}}}{\cancelto{0}{\frac{2}{x^{2}}}+1}=\infty.\]
Na mocy twierdzenia o dwóch funkcjach
\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{\left [ x^{3}-3 \right ]}{2+x^{2}}=\infty.\]

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o trzech lub o dwóch funkcjach udowodnij podane równości.

 Równość 1

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{\sin x}=0\)

 Odpowiedź

Korzystamy z własności funkcji sinus \(-1\leqslant \sin x \leqslant 1.\)
Zatem
\[-\sqrt{x}\leqslant \frac{\sqrt{x}}{\sin x}\leqslant \sqrt{x}.\]
Liczymy granice
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\left ( -\sqrt{x} \right )=0\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0
\end{array}\]
Z twierdzenia o trzech funkcjach
\[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{\sin x}=0.\]

 Równość 2

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{E(x^{2}+1)}{E(x)}=\infty\)

 Odpowiedź

Korzystamy z twierdzenia o dwóch funkcjach.
Szacujemy funkcję z dołu, korzystając z własności funkcji "całość" \(x-1 \lt E(x) \lt x+1,\) tzn. \( x-1\lt \left [ x \right ] \lt x+1,\) licznik zmniejszamy przez zastosowanie lewej części własności, w mianowniku korzystamy z prawej części, powiększając go, zatem zmniejszamy cały ułamek.
\[\displaystyle\frac{x^{2}+1-1}{x+1}\leqslant \frac{E(x^{2}+1)}{E(x)}.\]
Liczymy granicę powstałej przez szacowanie funkcji
\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x^{2}+1-1}{x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^{2}}{x+1}=\lim_{x\to \infty}\frac{x}{1+\frac{1}{x}}=\infty.\]
Zatem
\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{E(x^{2}+1)}{E(x)}=\infty.\]