Zadanie 5.3.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.3 Ciągłość funkcji
  4. Zadanie 5.3.1

 Polecenie

Narysuj wykres funkcji, która spełnia podane warunki.

 Funkcja 1

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to -3^{+}}f(x)=\infty & (1)\\
\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to -3^{-}}f(x)=-\infty & (2)\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=\frac{3}{2} & (3)\\
\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\frac{3}{2} & (4)\\
f(0)=0 & (5)
\end{array}\]

 Rozwiązanie

Szkicujemy wykres funkcji \(f\) w kilku etapach, uwzględniając podane warunki. Użyj przycisków do nawigacji aby przejść do następnego etapu.

 Funkcja 2

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\infty & (1)\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty & (2)\\
\textrm{ asymptotą ukośną jest prosta } y=4x & (3)\\
\textrm{ funkcja } f \textrm{ jest nieparzysta } & (4)
\end{array}\]

 Rozwiązanie

Szkicujemy wykres funkcji \(f\) w kilku etapach, uwzględniając podane warunki. Użyj przycisków do nawigacji aby przejść do następnego etapu.

 Funkcja 3

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\infty & (1)\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty & (2)\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=1 & (3)\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty & (4)
\end{array}\]

 Rozwiązanie

Szkicujemy wykres dowolnej funkcji, która spełnia warunki (1) - (4). Nie wiemy jak szybko wykres funkcji \(f\) dąży do \(\infty\) przy \(x\to \infty\) oraz przy \(x\to -\infty.\) Nie mamy tutaj podanej informacji o asymptotach ukośnych czy pionowych, zatem szkicujemy wykres, który do \(\infty\) dąży powoli (logarytmicznie). Punkt \((0,1)\) może należeć do wykresu funkcji ale nie musi (wartość funkcji w punkcie nie ma wpływu na istnienie granicy funkcji w tym punkcie). Zgodnie z warunkiem (2) przy \(x\to 0^{-}\) funkcja dąży do \(-\infty.\)
rysunek_5.3.1.3

 Polecenie

Narysuj wykres funkcji, która spełnia podane warunki.

 Funkcja 1

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 5^{+}}f(x)=\infty & (1)\\
\displaystyle\lim_{x\to 5^{-}}f(x)= -\infty & (2)\\
\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=0 & (3)\\
\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=3 & (4)\\
\textrm{ miejsce zerowe }x_{0}=3 & (5)
\end{array}\]

 Odpowiedź

rysunek_5.3.1.4
Wykres przykładowej funkcji spełniającej warunki (1) - (5).

 Funkcja 2

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=\infty & (1)\\
\displaystyle\lim_{x\to -3}f(x)= \infty & (2)\\
\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=-2 & (3)\\
f(0)=0 & (4)
\end{array}\]

 Odpowiedź

rysunek_5.3.1.5
Wykres przykładowej funkcji spełniającej warunki (1) - (4).

 Funkcja 3

\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0 & (1)\\
f(0)=0 & (2)\\
\textrm{ funkcja parzysta } & (3)\\
\textrm{ nieskończona ilość miejsc zerowych } & (4)\\
\end{array}\]

 Odpowiedź

rysunek_5.3.1.6
Wykres przykładowej funkcji spełniającej warunki (1) - (4).