Zadanie 5.3.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 5. Granice. Ciągłość funkcji
  3. 5.3 Ciągłość funkcji
  4. Zadanie 5.3.2

 Polecenie

Dobierz tak parametry \(a\) i \(b,\) aby funkcja \(f\) była ciągła.

 Wskazówki

Definicja funkcji ciągłej w punkcie

Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_{0},\) jeżeli spełnione są trzy warunki:
  • funkcja \(f\) jest określona w punkcie \(x_{0}\) oraz ma w nim wartość \(f(x_{0}),\)
  • istnieje granica \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) i jest to granica właściwa,
  • \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).\)


Obrazowo: funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli jej wykres jest w tym punkcie ciągły ("nieprzerwany").
rysunek_5.3.2.1
Definicja Heinego funkcji ciągłej w punkcie
Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_{0},\) jeżeli dla dowolnego ciągu \(x_{n}\) zbieżnego do \(x_{0}\) odpowiadający mu ciąg wartości funkcji \(f(x_{0})\) jest zbieżny do wartości funkcji \(f(x_{0}),\) tzn. \[\underset{x_{n}\to x_{0}}{\huge \forall }f(x_{n}) \to f(x_{0}).\]
Twierdzenie
Funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_{0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła lewostronnie i prawostronnie w punkcie \(x_{0},\) tzn. \[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}) \ \ \wedge \ \ \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}).\]
Uwaga!
W zadaniach będziemy korzystać z twierdzenia:
Każda funkcja elementarna jest ciągła.
Suma, różnica, iloczyn, iloraz oraz złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Definicja funkcji ciągłej na zbiorze

Funkcja \(f\) jest ciągła na zbiorze \(A\subset D_{f},\) jeżeli jest ciągła dla każdego \(x\in A.\)

Definicja funkcji ciągłej na przedziale \([a,b]\)

Funkcja \(f\) jest ciągła na odcinku (przedziale) \(\left [ a,b \right ],\) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnętrznym przedziału \(\left [ a,b \right ]\) oraz jest ciągła prawostronnie w punkcie \(a\) i lewostronnie w punkcie \(b.\)

 Funkcja 1

\[f(x)=
\begin{cases}
3a-1,& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty ;0 \right \rangle\\
\displaystyle\frac{\left | 2x-5 \right |}{x+2},& \textrm{ dla } x\in \left ( 0;\infty  \right )
\end{cases}\]

 Rozwiązanie

Rozpisujemy wartość bezwzględną z   \(\left | x \right |= \begin{cases} x,& \textrm{ dla } x \geqslant 0\\ -x,& \textrm{ dla } x \lt 0 \end{cases}\) 
\[
f(x)=
\begin{cases}
3a-1,& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty ;0 \right \rangle\\
\displaystyle\frac{\left | 2x-5 \right |}{x+2},& \textrm{ dla } x\in \left ( 0;\infty  \right )
\end{cases}=
\begin{cases}
3a-1,& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty ;0 \right \rangle\\
\displaystyle\frac{-2x+5}{x+2},& \textrm{ dla } x\in \left ( 0;\displaystyle\frac{5}{2} \right )\\
\displaystyle\frac{2x-5}{x+2},& \textrm{ dla } x\in \left \langle \displaystyle\frac{5}{2};\infty  \right )
\end{cases}
\]
Jedynym punktem, w którym należy zapewnić ciągłość funkcji \(f\) to punkt \(x_{0}=0.\) Wyznaczamy wartość funkcji w tym punkcie i granicę funkcji w tym punkcie.
\[ \begin{array}{l}
f(0)=3a-1\\
\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-2x+5}{x+2}=\frac{5}{2}\\
\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}(3a-1)=3a-1\\
\end{array}\]
Musimy więc wyznaczyć parametr \(a\) tak, aby wszystkie wyżej wymienione wartości były równe.
\[3a-1=\displaystyle\frac{5}{2}\\
3a=\displaystyle\frac{7}{2}\\
a=\displaystyle\frac{7}{6}\]
Zatem dla \(a=\displaystyle\frac{7}{6}\) funkcja \(f\) jest ciągła.

Poniżej rysunek przestawiający funkcję \(f\) dla \(a=\displaystyle\frac{7}{6}.\)
rysunek_5.3.2.2

 Odpowiedź

Funkcja \[f(x)=
\begin{cases}
3a-1,& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty ;0 \right \rangle\\
\displaystyle\frac{\left | 2x-5 \right |}{x+2},& \textrm{ dla } x\in \left ( 0;\infty  \right )
\end{cases}\] jest ciągła dla \(a=\displaystyle\frac{7}{6}.\)

 Funkcja 2

\[f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2x}{x-2},& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty ;0 \right )\cup \left ( 4;\infty  \right )\\
ax+b,& \textrm{ dla } x\in \left \langle 0;4 \right \rangle
\end{cases}
\]

 Rozwiązanie

Weźmy oba punkty, w których funkcja \(f\) może nie być ciągła, tj. \(x_{0}=0\) lub \(x_{0}=4.\)
Dla \(x_{0}=0\) mamy:
\[
\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(0)=b\\
\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}(ax+b)=b\\
\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\frac{2x}{x-2}=0.
\end{array}
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \ \ b=0\]
Zatem aby wyżej wymienione wyrażenia miały równe wartości, \(b\) musi być równe \(0.\)
Dla \(x_{0}=4\) mamy:
\[\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(4)=4a+b\\
\displaystyle\lim_{x \to 4^{+}}(ax+b)=4a+b\\
\displaystyle\lim_{x \to 4^{-}}\frac{2x}{x-2}=\frac{8}{2}=4
\end{array}
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \ \ 4a+b=4
\]
Zatem aby wyżej wymienione wyrażenia miały równe wartości, musi być spełnione równanie \(4a+b=4.\)
Rozwiązujemy układ równań
\[\left\{\begin{matrix}
4a+b=4\\
b=0
\end{matrix}\right.
\\
\left\{\begin{matrix}
4a+0=4\\
b=0
\end{matrix}\right.
\\
\left\{\begin{matrix}
4a=4\\
b=0
\end{matrix}\right.
\\
\left\{\begin{matrix}
a=1\\
b=0
\end{matrix}\right.\]
W przedziale \(\left \langle 0;4 \right \rangle\) funkcja jest prostą o równaniu \(y=x.\)

Poniżej wykres funkcji \(f.\)
rysunek_5.3.2.3

 Odpowiedź

Funkcja \[f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{2x}{x-2},& \textrm{ dla } x\in \left ( -\infty ;0 \right )\cup \left ( 4;\infty  \right )\\
ax+b,& \textrm{ dla } x\in \left \langle 0;4 \right \rangle
\end{cases}\] jest ciągła dla \(a=1\) i \(b=0.\)

 Funkcja 3

\[f(x)=
\begin{cases}
ax^{2},& \textrm{ dla }\  x\lt -3\\
3x+2,& \textrm{ dla }\    -3 \leqslant x \leqslant  3\\
x^{3}-b,& \textrm{ dla }\  x \gt 3
\end{cases}\]

 Rozwiązanie

Dla \(x_{0}=-3\) mamy :
\[\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(-3)=-7\\
\displaystyle\lim_{x \to -3^{+}}(3x+2)=-7\\
\displaystyle\lim_{x \to -3^{-}}ax^{2}=a\cdot (-3)^{2}=9a
\end{array}
\end{matrix}\right\}\Rightarrow  \ 9a=-7 \ \Rightarrow  \  a=-\displaystyle\frac{7}{9}\]

Dla \(x_0=3:\)
\[\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(3)=11\\
\displaystyle\lim_{x \to 3^{+}}(x^{3}-b)=27-b\\
\displaystyle\lim_{x \to 3^{-}}(3x-2)=11
\end{array}
\end{matrix}\right\}\Rightarrow  \ 27-b=11 \ \Rightarrow  \  b=16\]
Zatem funkcja \(f\) jest ciągła dla \(a=-\displaystyle\frac{7}{9}\) oraz \(b=16.\)
rysunek_5.3.2.4

 Odpowiedź

Funkcja \[f(x)=
\begin{cases}
ax^{2},& \textrm{ dla }\  x\lt -3\\
3x+2,& \textrm{ dla }\    -3 \leqslant x \leqslant  3\\
x^{3}-b,& \textrm{ dla }\  x \gt 3
\end{cases}\]jest ciągła dla \(a=-\displaystyle\frac{7}{9}\) oraz \(b=16.\)

 Polecenie

Dobierz tak parametry \(a\) i \(b,\) aby funkcja \(f\) była ciągła.

 Funkcja 1

\[
f(x)=
\begin{cases}
x+a,& \textrm{ dla } x \leqslant 0\\
\displaystyle\frac{\sin x}{\pi^{2}x},& \textrm{ dla } 0\lt x \lt \pi\\
2x-b,& \textrm{ dla } x \geqslant \pi
\end{cases}
\]

 Odpowiedź

Funkcja \[f(x)=
\begin{cases}
x+a,& \textrm{ dla } x \leqslant 0\\
\displaystyle\frac{\sin x}{\pi^{2}x},& \textrm{ dla } 0\lt x \lt \pi\\
2x-b,& \textrm{ dla } x \geqslant \pi
\end{cases}\]
jest ciągła dla \(a=\displaystyle\frac{1}{\pi^{2}}\) oraz \(b=2\pi.\)

 Rozwiązanie

Dla \(x_{0}=0:\)
\[\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(0)=0+a=a\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{\pi^{2}x}=\lim_{x\to 0^{+}}\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}} \cdot \frac{1}{\pi^{2}}=\frac{1}{\pi^{2}}\\
\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}(x+a)=0+a=a
\end{array}
\end{matrix}\right\} \ \Rightarrow \ a=\displaystyle\frac{1}{\pi^{2}}.\]
Dla \(x_{0}=\pi:\)
\[\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(\pi)=2\pi-b\\
\displaystyle\lim_{x\to \pi^{+}}(2x-b)=2\pi-b\\
\displaystyle\lim_{x\to \pi^{-}}\frac{\sin x}{\pi^{2}x}=\frac{\sin \pi}{\pi^{3}}=0
\end{array}
\end{matrix}\right\} \ \Rightarrow \ 2\pi -b=0 \ \Rightarrow b=2\pi.\]

Zatem funkcja \(f\) jest ciągła dla \(a=\displaystyle\frac{1}{\pi^{2}}\) oraz \(b=2\pi.\)

Dla zainteresowanych wykres funkcji \(f.\)
rysunek_5.3.2.5

 Funkcja 2

\[f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x},& \textrm{ dla } x \geqslant \displaystyle\frac{1}{2}\\
ax^{2}-2x+4,& \textrm{ dla } x \lt \displaystyle\frac{1}{2}\\
\end{cases}\]

Odpowiedź

Funkcja \[f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x},& \textrm{ dla } x \geqslant \displaystyle\frac{1}{2}\\
ax^{2}-2x+4,& \textrm{ dla } x \lt \displaystyle\frac{1}{2}\\
\end{cases}\] jest ciągła dla \(a=4\sqrt{17}-12.\)

 Rozwiązanie

Dla \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\) mamy:
\[\left.\begin{matrix}
\begin{array}{l}
f(\displaystyle\frac{1}{2})=\displaystyle\frac{\sqrt{\left (\displaystyle\frac{1}{2}  \right )^{2}+4}}{\displaystyle\frac{1}{2}}=\sqrt{17}\\
\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}=\sqrt{17}\\
\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}^{+}}\left (ax^{2}-2x+4  \right )=\frac{1}{4}a+3
\end{array}
\end{matrix}\right\}\ \Rightarrow \ \frac{1}{4}a+3=\sqrt{17}\ \Rightarrow a=4\sqrt{17}-12\]
Zatem funkcja \(f\) jest ciągła dla \(a=4\sqrt{17}-12.\)

Dla zainteresowanych poniżej wykres funkcji \(f.\)
rysunek_5.3.2.6