Zadanie 5.3.3

Zadanie 5.3.3
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Wyznacz punkty nieciągłości funkcji \(f\) oraz określ ich rodzaj.

Wskazówki

Klasyfikacja punktów nieciągłości

I rodzaju

typu "SKOK"

Funkcja ma nieciągłość w punkcie \(x_{0}\) typu "skok", jeśli istnieją granice właściwe lewo i prawostronna w punkcie \(x_{0}\) oraz są sobie różne.
Tzn. \[\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=a \ \wedge \ \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=b \ \wedge \ a\neq b.\]

typu "LUKA"

Funkcja ma nieciągłość w punkcie \(x_{0}\) typu "luka", jeśli istnieją granice właściwe lewo i prawostronna w punkcie \(x_{0},\) mają równe wartości ale są różne od wartości funkcji w punkcie \(x_{0}\).
Tzn. \[\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=a \ \wedge \ \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=b \ \wedge \ a=b\neq f(x_{0}).\]

II rodzaju

Funkcja ma nieciągłość w punkcie \(x_{0}\) II rodzaju, jeśli co najmniej jedna z granic \(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x), \ \ \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)\) nie istnieje lub jest niewłaściwa.

Funkcja 1

\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{x^{2}\textrm{sgn}x }{x+1},& \textrm{ dla } x\neq -1\\
0,& \textrm{ dla } x=-1
\end{matrix}\right.\]

Rozwiązanie

Algorytm według klasyfikacji punktów nieciągłości

Punktami nieciągłości \(x_{0}\) mogą być jedynie punkty skrajne dziedziny. Wyznaczamy kolejno:

wartość funkcji w punkcie (punktach) \(x_{0}\)
granicę prawostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\)
granicę lewostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\)

Jeżeli

\(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) \neq f(x_{0}),\) to nieciągłość jest I rodzaju typu "LUKA",
\(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}} f(x) \neq \lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x),\) to nieciągłość jest I rodzaju typu "SKOK",
granice \(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)\) oraz \(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)\) nie istnieją lub są niewłaściwe to nieciągłość jest II rodzaju.

Wyznaczamy powyższe wartości w punkcie \(x_{0}=-1:\)
\[\begin{array}{l}
f(-1)=0\\
\displaystyle\lim_{x \to -1^{+}}\frac{x^{2}\textrm{sgn}x }{x+1}=\left [ \frac{-1}{0^{+}} \right ]=-\infty\\
\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}}\frac{x^{2}\textrm{sgn}x }{x+1}=\left [ \frac{-1}{0^{-}} \right ]=\infty
\end{array}
\]
Ponieważ granice \(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)\) oraz \(\displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)\) są niewłaściwe, zatem jest to nieciągłość II rodzaju.

Poniżej dla zainteresowanych wykres funkcji \(f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{x^{2}\textrm{sgn}x }{x+1},& \textrm{ dla } x\neq -1\\
0,& \textrm{ dla } x=-1
\end{matrix}\right..\)

Funkcja 2

\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{\cos x}{x},& \textrm{ dla } x \gt 0\\
2x-1,& \textrm{ dla } x\lt 0
\end{matrix}\right.\]

Rozwiązanie

Wyznaczamy wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=0\) oraz granice lewo i prawostronną w punkcie \(x_{0}=0.\)
\[\begin{array}{l}
f(0)=-1\\
\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\cos x}{x}=\left [ \frac{1}{0^{+}} \right ]=\infty\\
\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\left ( 2x-1 \right )=2\cdot 0-1=-1
\end{array}\]
Ponieważ jedna z granic jest niewłaściwa, zatem jest to nieciągłość II rodzaju.

Dla ciekawych wykres funkcji \(f.\)

Funkcja 3

\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\textrm{ sgn }x,& \textrm{ dla } x \neq 0\\
-1,& \textrm{ dla } x= 0
\end{matrix}\right.\]

Rozwiązanie

Krok 1

Korzystając z definicji funkcji \(\textrm{ sgn }x= \left\{\begin{matrix} 1, & \textrm{ dla } x \gt 0\\ 0, & \textrm{ dla } x = 0\\ -1, & \textrm{ dla } x \lt 0 \end{matrix}\right.\) funkcję \(f\) możemy zapisać w postaci:

\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
1,& \textrm{ dla } x \geqslant 0\\
-1,& \textrm{ dla } x\lt 0
\end{matrix}\right.\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
1,& \textrm{ dla } x \gt 0\\
-1,& \textrm{ dla } x \leqslant 0
\end{matrix}\right.\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f(x)=
\left\{\begin{matrix}
1,& \textrm{ dla } x \neq 0\\
0,& \textrm{ dla } x= 0
\end{matrix}\right.\]

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Dla \(x_{0}=0\) wyznaczamy wartość funkcji w tym punkcie oraz granice prawo i lewostronną.
Wartość funkcji w punkcie \(0\) wynosi:

\[f(0)=-1\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f(0)=1\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(0)=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 3

W kolejnym kroku wyznaczamy granicę lewostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=0.\) Wybierz właściwą odpowiedź.

\[\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\infty\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=-1\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=1\]

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 4

Liczymy granicę prawostronną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=0.\) Wybierz właściwą odpowiedź.

\[\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=-\infty\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=1\]

Odpowiedź prawidłowa

Krok 5

Ponieważ \[f(x_{0})=\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}f(x)\neq \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}f(x)\] zatem jest to nieciągłość funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}:\)

I rodzaju, typu "SKOK"

Odpowiedź prawidłowa

I rodzaju, typu "LUKA"

Odpowiedź nieprawidłowa

II rodzaju

Odpowiedź nieprawiłdowa

Krok 6 - Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=
\left\{\begin{matrix}
\textrm{ sgn }x,& \textrm{ dla } x \neq 0\\
-1,& \textrm{ dla } x= 0
\end{matrix}\right.\) jest nieciągła w punkcie \(x_{0}=0\) i ma w tym punkcie nieciągłość I rodzaju typu "SKOK".

Dla zainteresowanych wykres funkcji \(f.\)

Zadanie 5.3.2