Aby udowodnić istnienie rozwiązania równania \(x^{2}=e^{x}\) na odcinku \(\left \langle -1,0 \right \rangle\) wystarczy zapisać podane równanie w postaci \(f(x)=0\) oraz udowodnić, że \(f(-1)\cdot f(0) \lt 0.\)
Przekształcamy równanie:
\[x^{2}-e^{x}=0\\
f(x)=x^{2}-e^{x}.\]
Liczymy wartości funkcji \(f\) na końcach przedziału:
\[ \begin{array}{l}
f(-1)=1-e^{-1}=1-\displaystyle\frac{1}{e}\gt 0\\
f(0)=0-e^{0}=0-1=-1 \lt 0
\end{array}\]
Zatem \(f(-1)\cdot f(0) \lt 0.\)
Aby wyznaczyć wartość argumentu, który jest rozwiązaniem danego równania, należy działać zgodnie z poniższym algorytmem.

Równanie ma postać \(x^{2}-e^{x}=0.\)
Licząc wartości funkcji \(f\) na końcach przedziału \(\left \langle -1,0 \right \rangle\) dostaniemy \(1^{o}\) przypadek, gdzie \(f(a) \gt 0\) oraz \(f(b)\lt 0.\)

Dzielimy powyższy odcinek na dwie równe części argumentem \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) i liczymy wartość funkcji \(f(-\displaystyle\frac{1}{2}).\)

\[f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-e^{-\Large{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{\sqrt{e}} \lt 0\]
Ponieważ \(f(-1)=1-e^{-1}=1-\displaystyle\frac{1}{e}\gt 0\) więc mamy różne znaki wartości funkcji na końcach przedziału.
Bierzemy teraz pod uwagę odcinek \(\left \langle -1,-\displaystyle\frac{1}{2} \right \rangle.\) Dzielimy go na dwie równe części argumentem \(-\displaystyle\frac{3}{4}.\) 

Liczymy wartości funkcji dla argumentu \(-\displaystyle\frac{3}{4}.\)
\[f(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}-e^{-\Large{\frac{3}{4}}}=\frac{9}{16}-\frac{1}{\sqrt[3]{e^{4}}}\approx 0,56-0,47 \gt 0\]
Ponieważ \(f(-1)=1-e^{-1}=1-\displaystyle\frac{1}{e}\gt 0,\) zatem bierzemy pod uwagę odcinek \(\left \langle -\displaystyle\frac{3}{4}, -\displaystyle\frac{1}{2} \right \rangle.\)

Dzielimy go na dwie równe części argumentem \(-\displaystyle\frac{5}{8}\)   dlaczego? \(\left \langle -\displaystyle\frac{3}{4},-\displaystyle\frac{1}{2} \right \rangle= \left \langle -\displaystyle\frac{3}{4},-\displaystyle\frac{2}{4} \right \rangle= \left \langle -\displaystyle\frac{6}{8},-\displaystyle\frac{4}{8} \right \rangle\) .
I znów liczymy wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(-\displaystyle\frac{5}{8}.\)
\[f(-\frac{5}{8})=\frac{25}{64}-e^{-\Large{\frac{5}{8}}}\approx 0,39-0,54  \lt 0.\]
A ponieważ
\[f(-\frac{6}{8})=f(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}-e^{-\Large{\frac{3}{4}}}=\frac{9}{16}-\frac{1}{\sqrt[3]{e^{4}}}\approx 0,56-0,47  \gt 0,\]
zatem bierzemy pod uwagę przedział \(\left \langle -\displaystyle\frac{6}{8},-\displaystyle\frac{5}{8} \right \rangle.\)
Ponieważ \(-\displaystyle\frac{6}{8}=0,75,\  -\displaystyle\frac{5}{8}=0,625,\) więc dzielimy podany przedział argumentem \(-\displaystyle\frac{7}{10}\)
(nie musimy koniecznie brać po uwagę połowę przedziału).
Liczymy wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(-\displaystyle\frac{7}{10}.\)
\[f(-\frac{7}{10})=\frac{49}{100}-e^{-\Large{\frac{7}{10}}}=\approx 0,49-0,4965  \lt 0.\]
Ponieważ
\[f(-\frac{6}{8})=f(-\frac{3}{4})=\frac{9}{16}-e^{-\Large{\frac{3}{4}}}=\frac{9}{16}-\frac{1}{\sqrt[3]{e^{4}}}\approx 0,56-0,47  \gt 0,\]
zatem rozwiązanie naszego równania mieści się na pewno w przedziale \(\left \langle -\displaystyle\frac{6}{8},-\displaystyle\frac{7}{10} \right \rangle.\)

W taki sposób postępujemy aż do uzyskania interesującego nas przybliżenia.
W tej chwili możemy powiedzieć, że równanie \(x^{2}=e^{x}\) posiada rozwiązanie na odcinku \(\left \langle -\displaystyle\frac{6}{8},-\displaystyle\frac{7}{10} \right \rangle.\) Możemy podać przybliżenie rozwiązania równania do jednego miejsca po przecinku, a mianowicie \(x\approx -0,7.\)

Poniżej interpretacja graficzna rozwiązania równania.

Na początku musimy zdefiniować  funkcję \(f(x).\) Zatem \[f(x)=x^{3}-2x+5.\] Liczymy wartości funkcji na końcach odcinka, by mieć pewność, że na tym odcinku funkcja \(f\) na pewno posiada pierwiastek (miejsce zerowe).
\[ \begin{array}{l}
f(-3)=(-3)^{3}-2(-3)+5=-27+6+5 \lt 0\\
f(-2)=(-2)^{3}-2(-2)+5=-8+4+5=1 \gt 0.
\end{array}\]
Ponieważ \(f(-3)\cdot f(-2) \lt 0,\) zatem funkcja \(f\) posiada na odcinku \(\left \langle -3,-2 \right \rangle\) miejsce zerowe.

Aby wyznaczyć to miejsce z dowolną dokładnością musimy zastosować opisany w pierwszym przykładzie algorytm.

Na początku sprawdzamy, czy równanie \(x^{6}-x-3=0\) posiada rozwiązanie na odcinku \(\left \langle 1;2 \right \rangle.\)
Liczymy wartości funkcji \(f(x)=x^{6}-x-3\) na końcach odcinka.
\[\begin{array}{l}
f(1)=1-1-3 \lt 0\\
f(2)=2^{6}-2-3 \gt 0
\end{array}\]
Ponieważ wartości funkcji na końcach przedziału mają różne znaki, czyli spełniają założenie \(f(a)\cdot f(b) \lt 0,\) zatem istnieje rozwiązanie równania \(x^{6}-x-3=0\) na odcinku \(\left \langle 1;2 \right \rangle.\)

Do wyznaczenia rozwiązania zastosujemy w tym przykładzie inną metodę. Poniżej jej opis.

Dzielimy odcinek \(\left \langle 1;2 \right \rangle\) na 10 równych części.

Liczymy   wartości funkcji \( f(1,1)=(1,1)^{6}-1,1-3 \lt 0\\ f(\color{#F57C00}{1,2})=(1,2)^{6}-1,2-3 \color{#F57C00}{\lt} 0\\ f(\color{#F57C00}{1,3})=(1,3)^{6}-1,3-3 \color{#F57C00}{\gt} 0\)  dla kolejnych argumentów z podziału.
Widać, że dla \(x=1,2\) oraz \(x=1,3\) wartości funkcji zmieniają znak na przeciwny. W przybliżeniu do części dziesiętnych rozwiązanie równania wynosi \(x\approx 1,2.\) (Można również przyjąć \(x\approx 1,3\).)
W kolejnym kroku pokażemy jak dokonać dokładniejszego przybliżenia rozwiązania równania, tj do części setnych. Dzielimy odcinek \(\left \langle 1,2;1,3 \right \rangle\) na dziesięć równych części

i liczymy  wartości funkcji \( f(1,21)\approx -1,07 \lt 0\\ f(1,22)\approx -0,92 \lt 0\\ f(1,23)\approx -0,77 \lt 0\\f(1,24)\approx -0,6 \lt 0\\f(1,25)\approx -0,44 \lt 0\\f(1,26)\approx -0,26 \lt 0\\f(\color{#F57C00}{1,27})\approx -0,07 \color{#F57C00}{\lt} 0\\ f(\color{#F57C00}{1,28})\approx 0,11 \color{#F57C00}{\gt} 0\)  dla kolejnych argumentów.
Widać, że funkcja zmienia znak dla \(x=1,27\) oraz \(x=1,28.\) Możemy już oszacować, że rozwiązanie równania wynosi w przybliżeniu \(x=1,27\) (można również przyjąć \(x=1,28\)).

Dla zainteresowanych wykres funkcji \(f\) wraz z odcinkiem \(\left \langle 1;2 \right \rangle.\)