Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 5.3.4

 Polecenie

Uzasadnij, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania na wskazanych zbiorach.
Wyznacz rozwiązania równań z dokładnością do 0,1.

 Wskazówki

Twierdzenie Darboux

Jeżeli funkcja f jest ciągła na odcinku a;b oraz f(a)f(b)<0, wówczas istnieje co najmniej jeden punkt ca;b taki, że f(c)=0.
rysunek_5.3.4.1

 Równanie 1

x2=ex na odcinku 1,0

 Rozwiązanie

Aby udowodnić istnienie rozwiązania równania x2=ex na odcinku 1,0 wystarczy zapisać podane równanie w postaci f(x)=0 oraz udowodnić, że f(1)f(0)<0.
Przekształcamy równanie:
x2ex=0f(x)=x2ex.
Liczymy wartości funkcji f na końcach przedziału:
f(1)=1e1=11e>0f(0)=0e0=01=1<0
Zatem f(1)f(0)<0.
Aby wyznaczyć wartość argumentu, który jest rozwiązaniem danego równania, należy działać zgodnie z poniższym algorytmem.
ALGORYTM
Aby zgodnie z założeniem twierdzenia Darboux f(a)f(b)<0 , wówczas muszą być spełnione założenia: 1o. f(a)>0f(b)<0 lub 2o. f(a)<0f(b)>0.

Rozpatrzmy pierwszy przypadek, czyli f(a)>0f(b)<0.
  1. Dzielimy odcinek a,b na dwie równe części argumentem r.
    rysunek_5.3.4.3
  2. Liczymy wartość funkcji f(x) w punkcie r, czyli f(r). Funkcja f to funkcja powstała na skutek przekształcenia równania wyjściowego do postaci f(x)=0.
  3. Jeżeli f(r)<0, to w następnym kroku dzielimy odcinek a,r na dwie równe części argumentem r1 i liczymy f(r1).
    rysunek_5.3.4.4
  4. Jeżeli f(r)>0, to w następnym kroku dzielimy odcinek r,b na dwie równe części argumentem r2 i liczymy f(r2).
    rysunek_5.3.4.5
  5. Z otrzymanym odcinkiem postępujemy podobnie aż do otrzymania żądanego przybliżenia rozwiązania równania f(x)=0.

Uwaga!
Analogicznie działamy, gdy  f(a)<0f(b)>0.
Równanie ma postać x2ex=0.
Licząc wartości funkcji f na końcach przedziału 1,0 dostaniemy 1o przypadek, gdzie f(a)>0 oraz f(b)<0.

Dzielimy powyższy odcinek na dwie równe części argumentem 12 i liczymy wartość funkcji f(12).
rysunek_5.3.4.6

f(12)=14e12=141e<0
Ponieważ f(1)=1e1=11e>0 więc mamy różne znaki wartości funkcji na końcach przedziału.
Bierzemy teraz pod uwagę odcinek 1,12. Dzielimy go na dwie równe części argumentem 34. 
rysunek_5.3.4.7

Liczymy wartości funkcji dla argumentu 34.
f(34)=916e34=91613e40,560,47>0
Ponieważ f(1)=1e1=11e>0, zatem bierzemy pod uwagę odcinek 34,12.
rysunek_5.3.4.8

Dzielimy go na dwie równe części argumentem 58  34,12=34,24=68,48.
I znów liczymy wartość funkcji f dla argumentu 58.
f(58)=2564e580,390,54<0.
A ponieważ
f(68)=f(34)=916e34=91613e40,560,47>0,
zatem bierzemy pod uwagę przedział 68,58.
Ponieważ 68=0,75, 58=0,625, więc dzielimy podany przedział argumentem 710
(nie musimy koniecznie brać po uwagę połowę przedziału).
Liczymy wartość funkcji f dla argumentu 710.
f(710)=49100e710=≈0,490,4965<0.
Ponieważ
f(68)=f(34)=916e34=91613e40,560,47>0,
zatem rozwiązanie naszego równania mieści się na pewno w przedziale 68,710.

W taki sposób postępujemy aż do uzyskania interesującego nas przybliżenia.
W tej chwili możemy powiedzieć, że równanie x2=ex posiada rozwiązanie na odcinku 68,710. Możemy podać przybliżenie rozwiązania równania do jednego miejsca po przecinku, a mianowicie x0,7.

Poniżej interpretacja graficzna rozwiązania równania.
rysunek_5.3.4.2

 Równanie 2

x32x+5=0  na odcinku 3,2

 Rozwiązanie

Na początku musimy zdefiniować  funkcję f(x). Zatem f(x)=x32x+5. Liczymy wartości funkcji na końcach odcinka, by mieć pewność, że na tym odcinku funkcja f na pewno posiada pierwiastek (miejsce zerowe).
f(3)=(3)32(3)+5=27+6+5<0f(2)=(2)32(2)+5=8+4+5=1>0.
Ponieważ f(3)f(2)<0, zatem funkcja f posiada na odcinku 3,2 miejsce zerowe.

Aby wyznaczyć to miejsce z dowolną dokładnością musimy zastosować opisany w pierwszym przykładzie algorytm.

 Równanie 3

x6x3=0 w przedziale 1;2

 Rozwiązanie

Na początku sprawdzamy, czy równanie x6x3=0 posiada rozwiązanie na odcinku 1;2.
Liczymy wartości funkcji f(x)=x6x3 na końcach odcinka.
f(1)=113<0f(2)=2623>0
Ponieważ wartości funkcji na końcach przedziału mają różne znaki, czyli spełniają założenie f(a)f(b)<0, zatem istnieje rozwiązanie równania x6x3=0 na odcinku 1;2.

Do wyznaczenia rozwiązania zastosujemy w tym przykładzie inną metodę. Poniżej jej opis.
ALGORYTM
Drugą metodą wyznaczania rozwiązania równania na przedziale a;b jest  podział tego odcinka na 10 równych części i liczenie wartości funkcji f w kolejnych punktach przedziału.
rysunek_5.3.4.16

W momencie kiedy spotkamy się ze zmianą znaku wartości funkcji, zawężamy przedział do występujących po sobie argumentów (dla których zmieniła się wartość funkcji)
rysunek_5.3.4.17

i kolejny podział na 10 równych części.
rysunek_5.3.4.18

Takie działanie powtarzamy do uzyskania żądanego przybliżenia pierwiastka równania.
Dzielimy odcinek 1;2 na 10 równych części.
rysunek_5.3.4.19

Liczymy f(1,1)=(1,1)61,13<0f(1,2)=(1,2)61,23<0f(1,3)=(1,3)61,33>0 dla kolejnych argumentów z podziału.
Widać, że dla x=1,2 oraz x=1,3 wartości funkcji zmieniają znak na przeciwny. W przybliżeniu do części dziesiętnych rozwiązanie równania wynosi x1,2. (Można również przyjąć x1,3.)
W kolejnym kroku pokażemy jak dokonać dokładniejszego przybliżenia rozwiązania równania, tj do części setnych. Dzielimy odcinek 1,2;1,3 na dziesięć równych części
rysunek_5.3.4.20

i liczymy f(1,21)1,07<0f(1,22)0,92<0f(1,23)0,77<0f(1,24)0,6<0f(1,25)0,44<0f(1,26)0,26<0f(1,27)0,07<0f(1,28)0,11>0 dla kolejnych argumentów.
Widać, że funkcja zmienia znak dla x=1,27 oraz x=1,28. Możemy już oszacować, że rozwiązanie równania wynosi w przybliżeniu x=1,27 (można również przyjąć x=1,28).

Dla zainteresowanych wykres funkcji f wraz z odcinkiem 1;2.
rysunek_5.3.4.21

 Polecenie

Uzasadnij, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania na wskazanych zbiorach.
Wyznacz rozwiązania równań z dokładnością do 0,01.

 Równanie 1

sin(x+2)=x+1 w przedziale π2;0

 Odpowiedź

Rozwiązanie równania sin(x+2)=x+1 w przedziale π2;0 istnieje i jest w przybliżeniu równe x8π4000,06.

 Rozwiązanie

f(x)=sin(x+2)x1f(π4)=sin(π4+2)+π410,72>0f(0)=sin(2)10,09<0
Skorzystamy z drugiej metody do wyznaczenia miejsca zerowego funkcji f.
Dzielimy odcinek π4;0 na 10 równych części
rysunek_5.3.4.23

oraz liczymy wartość funkcji f dla kolejnych argumentów. (Podział odcinka wg mianownika 40, gdyż π4=10π40.)
f(9π40)=sin(9π40+2)+9π4010,66>0f(8π40)=sin(8π40+2)+8π4010,61>0f(7π40)=sin(7π40+2)+7π4010,54>0f(6π40)=sin(6π40+2)+6π4010,47>0f(5π40)=sin(5π40+2)+5π4010,39>0f(4π40)=sin(4π40+2)+4π4010,31>0f(3π40)=sin(3π40+2)+3π4010,22>0f(2π40)=sin(2π40+2)+2π4010,12>0f(π40)=sin(π40+2)+π4010,017>0
Ponieważ wartości funkcji f są dodatnie, to bierzemy liczbę najbliższą 0, czyli π40.

W kolejnym kroku dzielimy odcinek π40;0 na 10 równych części. Doprowadzamy ułamek π40 do mianownika 10 - razy większego, więc π40=10π400.
rysunek_5.3.4.24

Licząc wartości funkcji f dla kolejnych argumentów widzimy, że zmiana znaku następuje już dla argumentów 9π400 oraz 8π400, zatem już teraz możemy podać przybliżenie rozwiązania.  Rozwiązaniem równania jest x=8π4000,06, można również przyjąć 9π400 ale wśród wartości funkcji f szukamy wartości bliższej 0.

Dla zainteresowanych wykresy funkcji sin(x+2), x+1 oraz wykres funkcji f(x)=sin(x+2)x1. Jak widać, dla argumentu, dla którego wykresy funkcji sin(x+2) oraz x+1 przecinają się, funkcja f ma miejsce zerowe.
rysunek_5.3.4.22

 Równanie 2

lnx=12x2 na przedziale 12;1

 Odpowiedź

Równanie lnx=12x2 na przedziale 12;1 posiada rozwiązanie. W przybliżeniu jest ono równe x0,79.

 Rozwiązanie

f(x)=lnx+2x21f(12)=ln(12)+2(12)211,19<0f(1)=ln1+2121=0+21=1>0
Dzielimy odcinek 12;1 na dziesięć równych części i liczymy wartości funkcji f dla kolejnych argumentów.
rysunek_5.3.4.27

Na tą chwilę można podać przybliżenie do części dziesiętnych rozwiązania równania, tj. x0,8.

Teraz odcinek 0,75;0,8 dzielimy na dziesięć równych części i wyznaczamy wartości funkcji f dla kolejnych argumentów, zaczynając od ostatniego.
rysunek_5.3.4.28

Możemy podać przybliżenie rozwiązania równania lnx=2x2+1 do części setnych, tj x0,79.

Dla bardziej wnikliwych wykres funkcji f.
rysunek_5.3.4.25

 Równanie 3

x53x1=0 na odcinku 1;2

 Odpowiedź

Rozwiązaniem równania x53x1=0 na odcinku 1;2 jest x1,39.

 Rozwiązanie

f(x)=x53x1f(1)=131<0f(2)=2561>0
Dzielimy odcinek 1;2 na dwie równe części argumentem 32.
Liczymy f(32)2,09>0.
Zatem dzielimy na pół odcinek 1;32 argumentem 54.
Liczymy wartość funkcji dla argumentu 54.
f(54)1,7<0
Zatem ograniczamy przedział do 54;32.
Ponieważ 54;32=1,25;1,5, zatem dzielimy ten odcinek argumentem 1,375.
Dzielimy uzyskane odcinki tak długo aż otrzymamy przybliżenie rozwiązania do części setnych x1,39.

Dla zainteresowanych wykres funkcji f.
rysunek_5.3.4.26