Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 6.1.1

 Polecenie

Oblicz pochodne funkcji, korzystając z definicji.

 Wskazówki

Definicja pochodnej funkcji f w punkcie

Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu x0. Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą f(x0)def=limxx0f(x)f(x0)xx0
Uwaga
Pochodna funkcji f jest granicą ilorazu różnicowego ΔfΔx, dla Δx0. Mamy zatem 
f(x0)def=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx.
Spotkamy się również z definicją:
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę
f(x0)def=limh0f(x0+h)f(x0)h.
rysunek_6.1.1.1
Do oznaczania pochodnej funkcji f w punkcie x0 stosuje się również symbole: dfdx(x0),   Df(x0).
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x0,f(x0),  (x0+Δx,f(x0+Δx)) do dodatniej części osi Ox: tg β=ΔfΔx.

 Funkcja 1

f(x)=x3, dla xR

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć pochodną funkcji f(x)=x3 korzystając z definicji, należy wykonać następujące kroki:
limh0f(x+h)f(x)h=(1)=limh0(x+h)3x3h=(2)=limh0x3+3xh2+3x2h+h3x3h=(3)=limh03xh2+3x2h+h3h=(4)=limh0h(3xh+3x2+h2)h=(5)=limh0 (3xh+3x2+h2)=(6)=limh0 (3xh0+3x2+h20)=(7)=3x2(8)




(1) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji f,

(2) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji f(x)=x3 dla podanych argumentów (x+h) oraz x,

(3) - korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,

(4) - upraszczamy wyrazy podobne,

(5) - wyłączamy wspólny czynnik h przed nawias,

(6) - skracamy h,

(7) - dla h0 składniki 3hx oraz h2 również dążą do 0,

(8) - zatem pochodną funkcji f(x)=x3 jest f(x)=3x2.

 Odpowiedź

(x3)=3x2

 Funkcja 2

f(x)=cosx, dla xR

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć pochodną funkcji f(x)=cosx korzystając z definicji, należy wykonać następujące kroki:
limh0f(x+h)f(x)h=(1)=limh0cos(x+h)cosxh=(2)=limh02sinx+h+x2sinx+hx2h=(3)=limh02sin(x+h2)sinh2h=(4)=limh0sin(x+h2)sinh2h2=(5)=limh0[sin(x+h2)sinh2h21]=(6)=limh0[sin(x+h2)]=(7)=limh0[sin(x+h20)]=(8)=sinx(9)




(1) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji f,

(2) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji f(x)=cosx dla podanych argumentów (x+h) oraz x,

(3) - korzystamy ze wzoru na  cosαcosβ=2sinα+β2sinαβ2,

(4) - upraszczamy wyrazy podobne,

(5) - liczbę 2 z licznika zapisujemy w mianowniku jako 12,

(6) - wyrażenie  sinh2h2 przy h20 dąży do 1,

(7) - otrzymujemy granicę z wyrażenia sin(x+h2),

(8) - jeśli h0, wówczas h20,

(9) - zatem pochodną funkcji f(x)=cosx jest f(x)=sinx.

 Odpowiedź

(cosx)=sinx

 Funkcja 3

f(x)=1x, dla x>0

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku, korzystając z definicji pochodnej, zapisujemy granicę ilorazu różnicowego podstawiając argumenty x+h oraz x do funkcji f(x)=1x. Wybierz poprawną definicję i sprawdź.
limh0f(x+h)f(x)h=

limh01x+h1xh

Odpowiedź prawidłowa

limh01x1x+hh

Odpowiedź nieprawidłowa Musimy wziąć w liczniku różnicę wartości funkcji dla kolejno argumentów x+h oraz x.

limh01xh+1xh

Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku musimy wziąć różnicę wartości funkcji dla argumentów kolejno x+h oraz x.

 Krok 2

W kolejnym kroku chcemy obliczyć wybraną granicę. Aby to zrobić musimy przekształcić wyrażenie, korzystając ze znanej metody mnożenia przez jedynkę w takiej postaci, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wybierz poprawne przekształcenie.
limh0f(x+h)f(x)h=limh01x+h1xh=

=limh01x+h1xh1x+h+1x1x+h1x=

Odpowiedź nieprawidłowa Mnożymy przez jedynkę, zatem licznik ułamka przez który mnożymy musi być równy mianownikowi tego ułamka.

=limh01x+h1xh1x+h1x1x+h1x=

Odpowiedź nieprawidłowa Musimy pomnożyć nasze wyrażenie przez jedynkę w takiej postaci, aby w liczniku móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

=limh01x+h1xh1x+h+1x1x+h+1x=

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

W trzecim kroku przekształcamy powstałe wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na a2b2=(a+b)(ab). Wybierz prawidłową odpowiedź.
limh0f(x+h)f(x)h=limh01x+h1xh=limh01x+h1xh1x+h+1x1x+h+1x=

=limh01x+h+1xh(1x+h+1x)=

Odpowiedź nieprawidłowa Korzystając w liczniku z wzoru na różnicę kwadratów uzyskamy różnicę podanych wyrażeń.

=limh01x+h1xh(1x+h1x)=

Odpowiedź nieprawidłowa Mnożyliśmy przez jedynkę mającą w liczniku i mianowniku sumę dwóch wyrażeń, zatem w liczniku mnożymy h przez sumę pierwiastków.

=limh01x+h1xh(1x+h+1x)=

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Po przekształceniach związanych z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów przekształcamy wyrażenie z licznika ułamka, sprowadzając je do wspólnego mianownika. Wybierz prawidłową odpowiedź.
limh0f(x+h)f(x)h=limh01x+h1xh=limh01x+h1xh1x+h+1x1x+h+1x=limh01x+h1xh(1x+h+1x)=

=limh0x(x+h)x(x+h)h(1x+h+1x)==limh0hx(x+h)h(1x+h+1x)=

Odpowiedź nieprawidłowa Wykonując redukcję wyrazów podobnych w liczniku licznika ułamka, dostaniemy h.

=limh0x(x+h)x(x+h)h(1x+h+1x)==limh0hx(x+h)h(1x+h+1x)=

Odpowiedź prawidłowa

=limh0x+(x+h)x(x+h)h(1x+h+1x)==limh02x+hx(x+h)h(1x+h+1x)=

Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku licznika ułamka powinniśmy wziąć różnicę wyrazów x oraz x+h.

 Krok 5

Wyłączamy w liczniku h przed ułamek i skracamy go z h z mianownika całego ułamka. Wybierz prawidłowe przekształcenia.
limh0f(x+h)f(x)h=limh01x+h1xh=limh01x+h1xh1x+h+1x1x+h+1x==limh01x+h1xh(1x+h+1x)=limh0x(x+h))x+hh(1x+h+1x)=limh0hx+hh(1x+h+1x)=

=limh0h1x(x+h)h(1x+h+1x)==limh0h1x(x+h)h(1x+h+1x)=

Odpowiedź nieprawidłowa Skracamy w liczniku ułamka h a nie h.

=limh0h1x(x+h)h(1x+h+1x)==limh0h1x(x+h)h(1x+h+1x)=

Odpowiedź prawidłowa

=limh0h1x+hh(1x+h+1x)==limh0h1x+hh(1x+h+1x)=

Odpowiedź nieprawidłowa W mianowniku licznika ułamka brakuje czynnika x.

 Krok 6

Po skróceniu h oraz obliczeniu granicy przy h0 dostaniemy:
limh0f(x+h)f(x)h=limh01x+h1xh=limh01x+h1xh1x+h+1x1x+h+1x==limh01x+h1xh(1x+h+1x)=limh0x(x+h))x(x+h)h(1x+h+1x)=limh0hx(x+h)h(1x+h+1x)==limh0h1x(x+h)h(1x+h+1x)=limh0h1x(x+h)h(1x+h+1x)=

=limh01x(x+h)1x+h+1x==limh01(x2+xh)(1x+h+1x)==limh01(x2+xh0)(1x+h0+1x)==12x21x

Odpowiedź prawidłowa

=limh01x(x+h)1x+h+1x==limh01(x2+xh)(1x+h+1x)==limh01(x2+xh0)(1x+h0+1x)==12x21x

Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku ułamka brakuje znaku "".

=limh01x(x+h)1x+h+1x==limh01(x2+xh)(1x+h+1x)==limh01(x2+xhx)(1x+h0+1x)==12(x2+x)1x

Odpowiedź nieprawidłowa Wyrażenie xh przy h0 dąży również do 0.

 Odpowiedź

Pochodną funkcji f(x)=1x, dla x>0 jest funkcja f(x)=12x21x.

 Polecenie

Oblicz pochodne funkcji, korzystając z definicji.

 Funkcja 1

f(x)=a2x, dla xR oraz a>0a1

 Odpowiedź

f(x)=2a2xlna

 Rozwiązanie

Dla f(x)=a2x mamy:
limh0a2(x+h)a2xh=limh0a2xa2ha2xh=limh0a2x(a2h1)(2)2h=limh0[a2x(a2h1)2hlna(2)]=2a2xlna

 Funkcja 2

f(x)=1x2, dla x2

 Odpowiedź

f(x)=1(x2)2

 Rozwiązanie

Dla f(x)=1x2 mamy:
limh01x+h21x2h=limh0x2(x+h2)(x2)(x+h2)h=limh0x2xh+2(x2)(x+h2)h=limh0h(x2)(x+h2)h=limh0hh(x2)(x+h02)=1(x2)2

 Funkcja 3

f(x)=x, dla x<0

 Odpowiedź

f(x)=12x

 Rozwiązanie

Dla f(x)=x mamy:
limh0(x+h)xh(x+h)+x(x+h)+x=limh0xh(x)h((x+h)+x)==limh0xh+xh((x+h)+x)=limh0hh((x+h)+x)==limh0hh((x+h)+x)=limh01(x+h0)+x=12x