Zadanie 6.1.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.1 Pochodne. Pochodne jednostronne
  4. Zadanie 6.1.1

 Polecenie

Oblicz pochodne funkcji, korzystając z definicji.

 Wskazówki

Definicja pochodnej funkcji \(f\) w punkcie

Niech \(x_{0} \in \mathbb{R}\) oraz niech funkcja \(f\) będzie określona przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu \(x_{0}.\) Pochodną właściwą funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) nazywamy granicę właściwą \[f'(x_{0})\stackrel{def}=\lim_{x \to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\]
Uwaga
Pochodna funkcji \(f\) jest granicą ilorazu różnicowego \(\displaystyle\frac{\Delta f}{\Delta x},\) dla \(\Delta x \to 0.\) Mamy zatem 
\[f'(x_{0})\stackrel{def}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.\]
Spotkamy się również z definicją:
Pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) nazywamy granicę
\[f'(x_{0})\stackrel{def}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]
rysunek_6.1.1.1
Do oznaczania pochodnej funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) stosuje się również symbole: \(\displaystyle\frac{df}{dx}(x_{0}),\ \ \  Df(x_{0}).\)
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty \((x_{0},f(x_{0}), \ \ (x_{0}+\Delta x, f(x_{0}+\Delta x))\) do dodatniej części osi \(Ox:\) \[\textrm{tg } \beta =\frac{\Delta f}{\Delta x}.\]

 Funkcja 1

\(f(x)=x^{3},\) dla \(x \in \mathbb{R}\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć pochodną funkcji \(f(x)=x^{3}\) korzystając z definicji, należy wykonać następujące kroki:
\[\begin{align}
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= &&  (1)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{\color{#F57C00}{(x+h)^{3}}-x^{3}}{h}= &&  (2)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{\color{#F57C00}{x^{3}+3xh^{2}+3x^{2}h+h^{3}}-x^{3}}{h}=&& (3)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{3xh^{2}+3x^{2}h+h^{3}}{h}=&& (4)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{\color{#F57C00}{h}(3xh+3x^{2}+h^{2})}{\color{#F57C00}{h}}=&& (5) \\
=\lim_{h \to 0} \ (3xh+3x^{2}+h^{2})=&& (6) \\
=\lim_{h \to 0}\ (\cancelto{0}{3xh}+3x^{2}+\cancelto{0}{h^{2}})=&& (7)\\
=3x^{2}&& (8)
\end{align}\]




\((1)\) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji \(f,\)

\((2)\) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji \(f(x)=x^{3}\) dla podanych argumentów \( (x+h)\) oraz \(x,\)

\((3)\) - korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na  \((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\) ,

\((4)\) - upraszczamy wyrazy podobne,

\((5)\) - wyłączamy wspólny czynnik \(h\) przed nawias,

\((6)\) - skracamy \(\color{#F57C00}{h},\)

\((7)\) - dla \(h \to 0\) składniki \(3hx\) oraz \(h^{2}\) również dążą do \(0,\)

\((8)\) - zatem pochodną funkcji \(f(x)=x^{3}\) jest \(f'(x)=3x^{2}.\)

 Odpowiedź

\((x^{3})'=3x^{2}\)

 Funkcja 2

\(f(x)=\cos x,\) dla \(x \in \mathbb{R}\)

 Rozwiązanie

Aby wyznaczyć pochodną funkcji \(f(x)=\cos x\) korzystając z definicji, należy wykonać następujące kroki:
\[\begin{align}
\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= &&  (1)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{\color{#F57C00}{\cos (x+h)-\cos x}}{h}= &&  (2)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{\color{#F57C00}{-2\sin \frac{x+h+x}{2}\sin \frac{x+h-x}{2}}}{h}=&& (3)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{-2\sin (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}=&& (4)\\
=\lim_{h \to 0}\frac{-\sin (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=&& (5)\\
=\lim_{h \to 0}\Big[-\sin (x+\frac{h}{2})\cancelto{1}{\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}}\Big]=&& (6)\\
=\lim_{h \to 0}\Big[-\sin (x+\frac{h}{2})\Big]=&& (7)\\
=\lim_{h \to 0}\Big[-\sin (x+\cancelto{0}{\frac{h}{2}})\Big]= && (8)\\
=-\sin x && (9)
\end{align}\]




\((1)\) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji \(f,\)

\((2)\) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji \(f(x)=\cos x\) dla podanych argumentów \( (x+h)\) oraz \(x,\)

\((3)\) - korzystamy ze wzoru na   \(\cos \alpha - \cos \beta=-2\sin\frac{\alpha +\beta }{2}\sin\frac{\alpha -\beta }{2}\) ,

\((4)\) - upraszczamy wyrazy podobne,

\((5)\) - liczbę \(2\) z licznika zapisujemy w mianowniku jako \(\frac{1}{2},\)

\((6)\) - wyrażenie  \(\displaystyle\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\) przy \(\frac{h}{2} \to 0\) dąży do \(1,\)

\((7)\) - otrzymujemy granicę z wyrażenia \(-\sin (x+\frac{h}{2}),\)

\((8)\) - jeśli \(h \to 0,\) wówczas \(\frac{h}{2} \to 0,\)

\((9)\) - zatem pochodną funkcji \(f(x)=\cos x\) jest \(f'(x)=-\sin x.\)

 Odpowiedź

\((\cos x)'=-\sin x\)

 Funkcja 3

\(f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}},\) dla \(x \gt 0\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku, korzystając z definicji pochodnej, zapisujemy granicę ilorazu różnicowego podstawiając argumenty \(x+h\) oraz \(x\) do funkcji \(f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}}.\) Wybierz poprawną definicję i sprawdź.
\[{\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\]

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}\)

Odpowiedź prawidłowa

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{x+h}}}{h}\)

Odpowiedź nieprawidłowa Musimy wziąć w liczniku różnicę wartości funkcji dla kolejno argumentów \(x+h\) oraz \(x.\)

\(\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x-h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}\)

Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku musimy wziąć różnicę wartości funkcji dla argumentów kolejno \(x+h\) oraz \(x.\)

 Krok 2

W kolejnym kroku chcemy obliczyć wybraną granicę. Aby to zrobić musimy przekształcić wyrażenie, korzystając ze znanej metody mnożenia przez jedynkę w takiej postaci, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wybierz poprawne przekształcenie.
\[\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}=\]

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa Mnożymy przez jedynkę, zatem licznik ułamka przez który mnożymy musi być równy mianownikowi tego ułamka.

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa Musimy pomnożyć nasze wyrażenie przez jedynkę w takiej postaci, aby w liczniku móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\(={
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}}=\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 3

W trzecim kroku przekształcamy powstałe wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na  \(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\) . Wybierz prawidłową odpowiedź.
\[\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\]

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}+\frac{1}{x}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa Korzystając w liczniku z wzoru na różnicę kwadratów uzyskamy różnicę podanych wyrażeń.

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa Mnożyliśmy przez jedynkę mającą w liczniku i mianowniku sumę dwóch wyrażeń, zatem w liczniku mnożymy \(h\) przez sumę pierwiastków.

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź prawidłowa

 Krok 4

Po przekształceniach związanych z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów przekształcamy wyrażenie z licznika ułamka, sprowadzając je do wspólnego mianownika. Wybierz prawidłową odpowiedź.
\[\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}=\]

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\\
={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{h}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa Wykonując redukcję wyrazów podobnych w liczniku licznika ułamka, dostaniemy \(-h.\)

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\\
={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź prawidłowa

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x+(x+h)}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\\
={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{2x+h}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku licznika ułamka powinniśmy wziąć różnicę wyrazów \(x\) oraz \(x+h.\)

 Krok 5

Wyłączamy w liczniku \(-h\) przed ułamek i skracamy go z \(h\) z mianownika całego ułamka. Wybierz prawidłowe przekształcenia.
\[\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\\
=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}
=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h))}{x+h}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x+h}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}=\]

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-h\frac{1}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\\
={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{-h}\frac{1}{x(x+h)}}{\cancel{h}\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa Skracamy w liczniku ułamka \(h\) a nie \(-h.\)

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-h\frac{1}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\\
={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-\cancel{h}\frac{1}{x(x+h)}}{\cancel{h}\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź prawidłowa

\(={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-h\frac{1}{x+h}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\\
={\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-\cancel{h}\frac{1}{x+h}}{\cancel{h}\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}}=\)

Odpowiedź nieprawidłowa W mianowniku licznika ułamka brakuje czynnika \(x.\)

 Krok 6

Po skróceniu \(h\) oraz obliczeniu granicy przy \(h\to 0\) dostaniemy:
\[\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h}=
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}-\sqrt{\frac{1}{x}}}{h} \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h))}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-h\frac{1}{x(x+h)}}{h\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-\cancel{h}\frac{1}{x(x+h)}}{\cancel{h}\left ( \sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}=\]

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-\frac{1}{x(x+h)}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x^{2}+xh)\Big (\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\Big)}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x^{2}+\cancelto{0}{xh})\Big (\sqrt{\frac{1}{x+\cancelto{0}{h}}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\Big)}=\\
=-\displaystyle\frac{1}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}}\)

Odpowiedź prawidłowa

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x(x+h)}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{1}{(x^{2}+xh)\Big (\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\Big)}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{1}{(x^{2}+\cancelto{0}{xh})\Big (\sqrt{\frac{1}{x+\cancelto{0}{h}}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\Big)}=\\
=\displaystyle\frac{1}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku ułamka brakuje znaku \("-".\)

\(=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-\frac{1}{x(x+h)}}{\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x^{2}+xh)\Big (\sqrt{\frac{1}{x+h}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\Big)}=\\
=\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{-1}{(x^{2}+\cancelto{x}{xh})\Big (\sqrt{\frac{1}{x+\cancelto{0}{h}}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\Big)}=\\
=-\displaystyle\frac{1}{2(x^{2}+x)\sqrt{\frac{1}{x}}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa Wyrażenie \(xh\) przy \(h \to 0\) dąży również do \(0.\)

 Odpowiedź

Pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}},\) dla \(x \gt 0\) jest funkcja \(f'(x)=-\displaystyle\frac{1}{2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}}.\)

 Polecenie

Oblicz pochodne funkcji, korzystając z definicji.

 Funkcja 1

\(f(x)=a^{-2x},\) dla \(x\in \mathbb{R}\) oraz \( a \gt 0\) i \(a\neq 1\)

 Odpowiedź

\(f'(x)=-2a^{-2x} \ln a\)

 Rozwiązanie

Dla \(f(x)=a^{-2x}\) mamy:
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{a^{-2(x+h)}-a^{-2x}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{a^{-2x}\cdot a^{-2h}-a^{-2x}}{h}=}\\
\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{a^{-2x}\left (a^{-2h}-1 \right )\cdot (-2)}{-2h}=\lim_{h \to 0}\Big[ a^{-2x}\cancelto{\ln a}{\frac{\left (a^{-2h}-1 \right )}{-2h}}\cdot (-2) \Big ] =-2a^{-2x} \ln a}
\end{array} \]

 Funkcja 2

\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-2},\) dla \(x\neq 2\)

 Odpowiedź

\(f'(x)=-\displaystyle\frac{1}{(x-2)^{2}}\)

 Rozwiązanie

Dla \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{x-2}\) mamy:
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h-2}-\frac{1}{x-2}}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-2-(x+h-2)}{(x-2)(x+h-2)}}{h}=}\\
\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-2-x-h+2}{(x-2)(x+h-2)}}{h}=
\lim_{h \to 0}\frac{\frac{-h}{(x-2)(x+h-2)}}{h}=}
\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{-\cancel{h}}{\cancel{h}(x-2)(x+\cancelto{0}{h}-2)}=
-\frac{1}{(x-2)^{2}} }
\end{array}\]

 Funkcja 3

\(f(x)=\sqrt{-x},\) dla \(x\lt 0\)

 Odpowiedź

\(f'(x)={\displaystyle-\frac{1}{2\sqrt{-x}}}\)

 Rozwiązanie

Dla \(f(x)=\displaystyle\sqrt{-x}\) mamy:
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle{\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{-(x+h)}-\sqrt{-x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x}}{\sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x}}=
\lim_{h \to 0}\frac{-x-h-(-x)}{h(\sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x})}=}\\
\displaystyle{=\lim_{h \to 0}\frac{-x-h+x}{h(\sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x})}=
\lim_{h \to 0}\frac{-h}{h(\sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x})}=}\\
\displaystyle{=\lim_{h \to 0}\frac{-\cancel{h}}{\cancel{h}(\sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x})}=
\lim_{h \to 0}\frac{-1}{\sqrt{-(x+\cancelto{0}{h})}+\sqrt{-x}}=
-\frac{1}{2\sqrt{-x}}}
\end{array}\]