Polecenie
Wskazówki
Definicja pochodnej funkcji f w punkcie
f′(x0)def=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.
Spotkamy się również z definicją:
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę
f′(x0)def=limh→0f(x0+h)−f(x0)h.

Funkcja 1
Rozwiązanie
limh→0f(x+h)−f(x)h=(1)=limh→0(x+h)3−x3h=(2)=limh→0x3+3xh2+3x2h+h3−x3h=(3)=limh→03xh2+3x2h+h3h=(4)=limh→0h(3xh+3x2+h2)h=(5)=limh→0 (3xh+3x2+h2)=(6)=limh→0 (3xh0+3x2+h20)=(7)=3x2(8)
(1) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji f,
(2) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji f(x)=x3 dla podanych argumentów (x+h) oraz x,
(3) - korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ,
(4) - upraszczamy wyrazy podobne,
(5) - wyłączamy wspólny czynnik h przed nawias,
(6) - skracamy h,
(7) - dla h→0 składniki 3hx oraz h2 również dążą do 0,
(8) - zatem pochodną funkcji f(x)=x3 jest f′(x)=3x2.
Odpowiedź
Funkcja 2
Rozwiązanie
limh→0f(x+h)−f(x)h=(1)=limh→0cos(x+h)−cosxh=(2)=limh→0−2sinx+h+x2sinx+h−x2h=(3)=limh→0−2sin(x+h2)sinh2h=(4)=limh→0−sin(x+h2)sinh2h2=(5)=limh→0[−sin(x+h2)sinh2h21]=(6)=limh→0[−sin(x+h2)]=(7)=limh→0[−sin(x+h20)]=(8)=−sinx(9)
(1) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji f,
(2) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji f(x)=cosx dla podanych argumentów (x+h) oraz x,
(3) - korzystamy ze wzoru na cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2 ,
(4) - upraszczamy wyrazy podobne,
(5) - liczbę 2 z licznika zapisujemy w mianowniku jako 12,
(6) - wyrażenie sinh2h2 przy h2→0 dąży do 1,
(7) - otrzymujemy granicę z wyrażenia −sin(x+h2),
(8) - jeśli h→0, wówczas h2→0,
(9) - zatem pochodną funkcji f(x)=cosx jest f′(x)=−sinx.
Odpowiedź
Funkcja 3
Rozwiązanie
Krok 1
limh→0f(x+h)−f(x)h=
limh→0√1x+h−√1xh
limh→0√1x−√1x+hh
limh→0√1x−h+√1xh
Krok 2
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=
=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h−√1x=
=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h−√1x√1x+h−√1x=
=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=
Krok 3
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=
=limh→01x+h+1xh(√1x+h+√1x)=
=limh→01x+h−1xh(√1x+h−√1x)=
=limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=
Krok 4
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=
=limh→0x−(x+h)x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0hx(x+h)h(√1x+h+√1x)=
=limh→0x−(x+h)x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−hx(x+h)h(√1x+h+√1x)=
=limh→0x+(x+h)x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→02x+hx(x+h)h(√1x+h+√1x)=
Krok 5
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x==limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=limh→0x−(x+h))x+hh(√1x+h+√1x)=limh→0−hx+hh(√1x+h+√1x)=
=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
=limh→0−h1x+hh(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x+hh(√1x+h+√1x)=
Krok 6
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x==limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=limh→0x−(x+h))x(x+h)h(√1x+h+√1x)=limh→0−hx(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
=limh→0−1x(x+h)√1x+h+√1x==limh→0−1(x2+xh)(√1x+h+√1x)==limh→0−1(x2+xh0)(√1x+h0+√1x)==−12x2√1x
=limh→01x(x+h)√1x+h+√1x==limh→01(x2+xh)(√1x+h+√1x)==limh→01(x2+xh0)(√1x+h0+√1x)==12x2√1x
=limh→0−1x(x+h)√1x+h+√1x==limh→0−1(x2+xh)(√1x+h+√1x)==limh→0−1(x2+xhx)(√1x+h0+√1x)==−12(x2+x)√1x
Odpowiedź
Polecenie
Funkcja 1
Odpowiedź
Rozwiązanie
limh→0a−2(x+h)−a−2xh=limh→0a−2x⋅a−2h−a−2xh=limh→0a−2x(a−2h−1)⋅(−2)−2h=limh→0[a−2x(a−2h−1)−2hlna⋅(−2)]=−2a−2xlna
Funkcja 2
Odpowiedź
Rozwiązanie
limh→01x+h−2−1x−2h=limh→0x−2−(x+h−2)(x−2)(x+h−2)h=limh→0x−2−x−h+2(x−2)(x+h−2)h=limh→0−h(x−2)(x+h−2)h=limh→0−hh(x−2)(x+h0−2)=−1(x−2)2
Funkcja 3
Odpowiedź
Rozwiązanie
limh→0√−(x+h)−√−xh⋅√−(x+h)+√−x√−(x+h)+√−x=limh→0−x−h−(−x)h(√−(x+h)+√−x)==limh→0−x−h+xh(√−(x+h)+√−x)=limh→0−hh(√−(x+h)+√−x)==limh→0−hh(√−(x+h)+√−x)=limh→0−1√−(x+h0)+√−x=−12√−x