Polecenie
Oblicz pochodne funkcji, korzystając z definicji.
Wskazówki
Definicja pochodnej funkcji f w punkcie
Niech x0∈R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu x0. Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę właściwą f′(x0)def=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0
Uwaga
Pochodna funkcji f jest granicą ilorazu różnicowego ΔfΔx, dla Δx→0. Mamy zatem
f′(x0)def=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.
Spotkamy się również z definicją:
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę
f′(x0)def=limh→0f(x0+h)−f(x0)h.
f′(x0)def=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.
Spotkamy się również z definicją:
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę
f′(x0)def=limh→0f(x0+h)−f(x0)h.
Do oznaczania pochodnej funkcji f w punkcie x0 stosuje się również symbole: dfdx(x0), Df(x0).
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego
Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty (x0,f(x0), (x0+Δx,f(x0+Δx)) do dodatniej części osi Ox: tg β=ΔfΔx.
Funkcja 1
f(x)=x3, dla x∈R
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć pochodną funkcji f(x)=x3 korzystając z definicji, należy wykonać następujące kroki:
limh→0f(x+h)−f(x)h=(1)=limh→0(x+h)3−x3h=(2)=limh→0x3+3xh2+3x2h+h3−x3h=(3)=limh→03xh2+3x2h+h3h=(4)=limh→0h(3xh+3x2+h2)h=(5)=limh→0 (3xh+3x2+h2)=(6)=limh→0 (3xh0+3x2+h20)=(7)=3x2(8)
limh→0f(x+h)−f(x)h=(1)=limh→0(x+h)3−x3h=(2)=limh→0x3+3xh2+3x2h+h3−x3h=(3)=limh→03xh2+3x2h+h3h=(4)=limh→0h(3xh+3x2+h2)h=(5)=limh→0 (3xh+3x2+h2)=(6)=limh→0 (3xh0+3x2+h20)=(7)=3x2(8)
(1) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji f,
(2) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji f(x)=x3 dla podanych argumentów (x+h) oraz x,
(3) - korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 ,
(4) - upraszczamy wyrazy podobne,
(5) - wyłączamy wspólny czynnik h przed nawias,
(6) - skracamy h,
(7) - dla h→0 składniki 3hx oraz h2 również dążą do 0,
(8) - zatem pochodną funkcji f(x)=x3 jest f′(x)=3x2.
Odpowiedź
(x3)′=3x2
Funkcja 2
f(x)=cosx, dla x∈R
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć pochodną funkcji f(x)=cosx korzystając z definicji, należy wykonać następujące kroki:
limh→0f(x+h)−f(x)h=(1)=limh→0cos(x+h)−cosxh=(2)=limh→0−2sinx+h+x2sinx+h−x2h=(3)=limh→0−2sin(x+h2)sinh2h=(4)=limh→0−sin(x+h2)sinh2h2=(5)=limh→0[−sin(x+h2)sinh2h21]=(6)=limh→0[−sin(x+h2)]=(7)=limh→0[−sin(x+h20)]=(8)=−sinx(9)
limh→0f(x+h)−f(x)h=(1)=limh→0cos(x+h)−cosxh=(2)=limh→0−2sinx+h+x2sinx+h−x2h=(3)=limh→0−2sin(x+h2)sinh2h=(4)=limh→0−sin(x+h2)sinh2h2=(5)=limh→0[−sin(x+h2)sinh2h21]=(6)=limh→0[−sin(x+h2)]=(7)=limh→0[−sin(x+h20)]=(8)=−sinx(9)
(1) - zapisujemy granicę ilorazu różnicowego, korzystając z definicji pochodnej funkcji f,
(2) - podstawiamy w miejsce wartości funkcji f(x)=cosx dla podanych argumentów (x+h) oraz x,
(3) - korzystamy ze wzoru na cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2 ,
(4) - upraszczamy wyrazy podobne,
(5) - liczbę 2 z licznika zapisujemy w mianowniku jako 12,
(6) - wyrażenie sinh2h2 przy h2→0 dąży do 1,
(7) - otrzymujemy granicę z wyrażenia −sin(x+h2),
(8) - jeśli h→0, wówczas h2→0,
(9) - zatem pochodną funkcji f(x)=cosx jest f′(x)=−sinx.
Odpowiedź
(cosx)′=−sinx
Funkcja 3
f(x)=√1x, dla x>0
Rozwiązanie
Krok 1
W pierwszym kroku, korzystając z definicji pochodnej, zapisujemy granicę ilorazu różnicowego podstawiając argumenty x+h oraz x do funkcji f(x)=√1x. Wybierz poprawną definicję i sprawdź.
limh→0f(x+h)−f(x)h=
limh→0f(x+h)−f(x)h=
limh→0√1x+h−√1xh
Odpowiedź prawidłowa
limh→0√1x−√1x+hh
Odpowiedź nieprawidłowa Musimy wziąć w liczniku różnicę wartości funkcji dla kolejno argumentów x+h oraz x.
limh→0√1x−h+√1xh
Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku musimy wziąć różnicę wartości funkcji dla argumentów kolejno x+h oraz x.
Krok 2
W kolejnym kroku chcemy obliczyć wybraną granicę. Aby to zrobić musimy przekształcić wyrażenie, korzystając ze znanej metody mnożenia przez jedynkę w takiej postaci, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wybierz poprawne przekształcenie.
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=
=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h−√1x=
Odpowiedź nieprawidłowa Mnożymy przez jedynkę, zatem licznik ułamka przez który mnożymy musi być równy mianownikowi tego ułamka.
=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h−√1x√1x+h−√1x=
Odpowiedź nieprawidłowa Musimy pomnożyć nasze wyrażenie przez jedynkę w takiej postaci, aby w liczniku móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=
Odpowiedź prawidłowa
Krok 3
W trzecim kroku przekształcamy powstałe wyrażenie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na a2−b2=(a+b)(a−b) . Wybierz prawidłową odpowiedź.
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=
=limh→01x+h+1xh(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź nieprawidłowa Korzystając w liczniku z wzoru na różnicę kwadratów uzyskamy różnicę podanych wyrażeń.
=limh→01x+h−1xh(√1x+h−√1x)=
Odpowiedź nieprawidłowa Mnożyliśmy przez jedynkę mającą w liczniku i mianowniku sumę dwóch wyrażeń, zatem w liczniku mnożymy h przez sumę pierwiastków.
=limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź prawidłowa
Krok 4
Po przekształceniach związanych z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów przekształcamy wyrażenie z licznika ułamka, sprowadzając je do wspólnego mianownika. Wybierz prawidłową odpowiedź.
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x=limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=
=limh→0x−(x+h)x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0hx(x+h)h(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź nieprawidłowa Wykonując redukcję wyrazów podobnych w liczniku licznika ułamka, dostaniemy −h.
=limh→0x−(x+h)x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−hx(x+h)h(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź prawidłowa
=limh→0x+(x+h)x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→02x+hx(x+h)h(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku licznika ułamka powinniśmy wziąć różnicę wyrazów x oraz x+h.
Krok 5
Wyłączamy w liczniku −h przed ułamek i skracamy go z h z mianownika całego ułamka. Wybierz prawidłowe przekształcenia.
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x==limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=limh→0x−(x+h))x+hh(√1x+h+√1x)=limh→0−hx+hh(√1x+h+√1x)=
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x==limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=limh→0x−(x+h))x+hh(√1x+h+√1x)=limh→0−hx+hh(√1x+h+√1x)=
=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź nieprawidłowa Skracamy w liczniku ułamka h a nie −h.
=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź prawidłowa
=limh→0−h1x+hh(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x+hh(√1x+h+√1x)=
Odpowiedź nieprawidłowa W mianowniku licznika ułamka brakuje czynnika x.
Krok 6
Po skróceniu h oraz obliczeniu granicy przy h→0 dostaniemy:
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x==limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=limh→0x−(x+h))x(x+h)h(√1x+h+√1x)=limh→0−hx(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0√1x+h−√1xh=limh→0√1x+h−√1xh⋅√1x+h+√1x√1x+h+√1x==limh→01x+h−1xh(√1x+h+√1x)=limh→0x−(x+h))x(x+h)h(√1x+h+√1x)=limh→0−hx(x+h)h(√1x+h+√1x)==limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=limh→0−h1x(x+h)h(√1x+h+√1x)=
=limh→0−1x(x+h)√1x+h+√1x==limh→0−1(x2+xh)(√1x+h+√1x)==limh→0−1(x2+xh0)(√1x+h0+√1x)==−12x2√1x
Odpowiedź prawidłowa
=limh→01x(x+h)√1x+h+√1x==limh→01(x2+xh)(√1x+h+√1x)==limh→01(x2+xh0)(√1x+h0+√1x)==12x2√1x
Odpowiedź nieprawidłowa W liczniku ułamka brakuje znaku "−".
=limh→0−1x(x+h)√1x+h+√1x==limh→0−1(x2+xh)(√1x+h+√1x)==limh→0−1(x2+xhx)(√1x+h0+√1x)==−12(x2+x)√1x
Odpowiedź nieprawidłowa Wyrażenie xh przy h→0 dąży również do 0.
Odpowiedź
Pochodną funkcji f(x)=√1x, dla x>0 jest funkcja f′(x)=−12x2√1x.
Polecenie
Oblicz pochodne funkcji, korzystając z definicji.
Funkcja 1
f(x)=a−2x, dla x∈R oraz a>0 i a≠1
Odpowiedź
f′(x)=−2a−2xlna
Rozwiązanie
Dla f(x)=a−2x mamy:
limh→0a−2(x+h)−a−2xh=limh→0a−2x⋅a−2h−a−2xh=limh→0a−2x(a−2h−1)⋅(−2)−2h=limh→0[a−2x(a−2h−1)−2hlna⋅(−2)]=−2a−2xlna
limh→0a−2(x+h)−a−2xh=limh→0a−2x⋅a−2h−a−2xh=limh→0a−2x(a−2h−1)⋅(−2)−2h=limh→0[a−2x(a−2h−1)−2hlna⋅(−2)]=−2a−2xlna
Funkcja 2
f(x)=1x−2, dla x≠2
Odpowiedź
f′(x)=−1(x−2)2
Rozwiązanie
Dla f(x)=1x−2 mamy:
limh→01x+h−2−1x−2h=limh→0x−2−(x+h−2)(x−2)(x+h−2)h=limh→0x−2−x−h+2(x−2)(x+h−2)h=limh→0−h(x−2)(x+h−2)h=limh→0−hh(x−2)(x+h0−2)=−1(x−2)2
limh→01x+h−2−1x−2h=limh→0x−2−(x+h−2)(x−2)(x+h−2)h=limh→0x−2−x−h+2(x−2)(x+h−2)h=limh→0−h(x−2)(x+h−2)h=limh→0−hh(x−2)(x+h0−2)=−1(x−2)2
Funkcja 3
f(x)=√−x, dla x<0
Odpowiedź
f′(x)=−12√−x
Rozwiązanie
Dla f(x)=√−x mamy:
limh→0√−(x+h)−√−xh⋅√−(x+h)+√−x√−(x+h)+√−x=limh→0−x−h−(−x)h(√−(x+h)+√−x)==limh→0−x−h+xh(√−(x+h)+√−x)=limh→0−hh(√−(x+h)+√−x)==limh→0−hh(√−(x+h)+√−x)=limh→0−1√−(x+h0)+√−x=−12√−x
limh→0√−(x+h)−√−xh⋅√−(x+h)+√−x√−(x+h)+√−x=limh→0−x−h−(−x)h(√−(x+h)+√−x)==limh→0−x−h+xh(√−(x+h)+√−x)=limh→0−hh(√−(x+h)+√−x)==limh→0−hh(√−(x+h)+√−x)=limh→0−1√−(x+h0)+√−x=−12√−x