Zadanie 6.1.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.1 Pochodne. Pochodne jednostronne
  4. Zadanie 6.1.2

 Polecenie

Sprawdź, czy istnieje pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0},\) licząc pochodne jednostronne w podanych punktach.

 Wskazówki

Definicja pochodnych jednostronnych

Dana jest funkcja \(f.\)
  • Pochodną prawostronną funkcji \(f\) nazywamy granicę \(\displaystyle\lim_{{\large x \to x_{0}^{+}}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) i oznaczamy \(f'_{+}(x_{0}).\)
  • Pochodną lewostronną funkcji \(f\) nazywamy granicę \(\displaystyle\lim_{{\large x \to  x_{0}^{-}}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\) i oznaczamy \(f'_{-}(x_{0}).\)
Uwagi
  1. Jeśli chcemy zbadać istnienie pochodnej funkcji \(f\) na przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle\), wówczas badamy istnienie pochodnej w każdym punkcie przedziału, z wyjątkiem końców. Na brzegach przedziału \(\left \langle a;b \right \rangle\) rozpatrujemy pochodne jednostronne, tj. \(f'_{+}(a)\) oraz \(f'_{-}(b).\)

  2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0},\) to istnieją również pochodne jednostronne \(f'_{+}(x_{0})\) oraz \(f'_{-}(x_{0}).\)

  3. Jeżeli istnieją pochodne jednostronne \(f'_{+}(x_{0})\) oraz \(f'_{-}(x_{0}),\) wówczas:
    • jeśli \(f'_{+}(x_{0})= f'_{-}(x_{0}),\) to \(f'(x_{0})\) również istnieje,
    • jeśli \(f'_{+}(x_{0})\neq f'_{-}(x_{0}),\) to \(f'(x_{0})\) nie istnieje,
    • jeśli jedna lub obie pochodne jednostronne nie istnieją, wówczas pochodna \(f'(x_{0})\) również nie istnieje.

 Funkcja 1

\(f(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x+1},\) dla \(x_{0}=0\)

 Rozwiązanie

Aby sprawdzić istnienie pochodnej za pomocą pochodnych jednostronnych, liczymy granice ilorazu różnicowego.
Licząc pochodną prawo i lewostronną zastosujemy  \(\left | x \right |= \begin{cases} x,& \textrm{ dla } x \geqslant 0\\ -x,& \textrm{ dla } x \lt 0 \end{cases}\) .  Zbliżając się z argumentami do zera z prawej strony wartość \(x\) jest dodatnia, zatem opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.
\[ \begin{array}{l}
 f'_{+}(0)={\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0^{+})}{x-0^{+}}=
\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\frac{|x|}{x+1}-\frac{|0^{+}|}{0^{+}+1}}{x-0^{+}}=}\\
={\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\frac{\frac{|x|}{x+1}-0}{x}=
\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\color{#F57C00}{|x|}}{x(x+1)}=}\\
={\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\color{#F57C00}{x}}{x(x+1)}=
\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{x+1}=
\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{x}+1}=1}
\end{array}\]
Licząc pochodną lewostronną również skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej. Zbliżając się z argumentami do zera z lewej strony wartość \(x\) jest ujemna, zatem opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając znak na przeciwny.
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'_{-}(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\frac{f(x)-f(0^{-})}{x-0^{-}}=
\lim_{x \to 0^{-}}\frac{\frac{|x|}{x+1}-\frac{|0^{-}|}{0^{-}+1}}{x-0^{-}}=}\\
={\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\frac{\frac{|x|}{x+1}-0}{x}=
\lim_{x \to 0^{-}}\frac{\color{#F57C00}{|x|}}{x(x+1)}=
\lim_{x \to 0^{-}}\frac{\color{#F57C00}{-x}}{x(x+1)}=}\\
={\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\frac{-1}{\cancelto{0^{-}}{x}+1}=-1}
\end{array}\]

Pomimo, że pochodne jednostronne istnieją, to jednak nie są sobie równe. Zatem nie istnieje pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(0.\)
rysunek_6.1.2.1
Wykres funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x+1}\)

 Odpowiedź

Nie istnieje pochodna funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x+1}\) w punkcie \(x_{0}=0.\)

 Funkcja 2

\(f(x)=\left | 2\sin \Big (\displaystyle\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |,\) dla \(x_{0}=2\pi\)

 Rozwiązanie

Liczymy pochodne jednostronne, czyli granice ilorazu różnicowego przy \(x\to 2\pi^{+}.\) Analizując przykład korzystamy z   Ponieważ zbliżamy się z argumentami do \(2\pi\) z prawej strony, zatem argument sinusa dąży do zera z prawej strony. Wynika z tego, że wartość sinusa jest dodatnia. Możemy więc opuścić wartość bezwzględną nie zmieniając znaku.  .
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle  f'_{+}(2\pi)=\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\left | 2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |-\left | 2\sin \Big (\frac{2\pi}{2}-\pi \Big ) \right |}{x-2\pi}=
\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\left | 2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |-\left | 2\sin 0 \right |}{x-2\pi}=}\\
{\displaystyle=\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\color{#F57C00}{\left | 2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |}}{2(\frac{x}{2}-\pi)}=
\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\color{#F57C00}{2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big )}}{2(\frac{x}{2}-\pi)}=
\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big )}{\frac{x}{2}-\pi}=}\\
{\displaystyle=\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\sin \Big (\cancelto{0}{\frac{x}{2}-\pi} \Big )}{\cancelto{0}{\frac{x}{2}-\pi}}=
\lim_{x \to 2\pi^{+}}\cancelto{1}{\frac{\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big )}{\frac{x}{2}-\pi}}=1}
\end{array}\]
Liczymy również pochodne jednostronne, czyli granice ilorazu różnicowego przy \(x\to 2\pi^{-}.\) Analizując przykład korzystamy z  Ponieważ zbliżamy się z argumentami do \(2\pi\) z lewej strony, zatem argument sinusa dąży do zera z lewej strony. Wynika z tego, że wartość sinusa jest ujemna. Możemy więc opuścić wartość bezwzględną zmieniając znak na przeciwny. .
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle  f'_{-}(2\pi)=\lim_{x \to 2\pi^{-}}\frac{\left | 2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |-\left | 2\sin \Big (\frac{2\pi}{2}-\pi \Big ) \right |}{x-2\pi}=
\lim_{x \to 2\pi^{+}}\frac{\left | 2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |-\left | 2\sin 0 \right |}{x-2\pi}=}\\
{\displaystyle=\lim_{x \to 2\pi^{-}}\frac{\color{#F57C00}{\left | 2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |}}{2(\frac{x}{2}-\pi)}=
\lim_{x \to 2\pi^{-}}\frac{\color{#F57C00}{-2\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big )}}{2(\frac{x}{2}-\pi)}=
\lim_{x \to 2\pi^{-}}\frac{-\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big )}{\frac{x}{2}-\pi}=}\\
{\displaystyle=\lim_{x \to 2\pi^{-}}\frac{-\sin \Big (\cancelto{0}{\frac{x}{2}-\pi} \Big )}{\cancelto{0}{\frac{x}{2}-\pi}}=
\lim_{x \to 2\pi^{-}}-\cancelto{1}{\frac{\sin \Big (\frac{x}{2}-\pi \Big )}{\frac{x}{2}-\pi}}=-1}
\end{array}\]
Ponieważ \( f'_{+}(2\pi) \neq  f'_{-}(2\pi),\) zatem pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=2\pi\) nie istnieje.
rysunek_6.1.2.2
Wykres funkcji \(f(x)=\left | 2\sin \Big (\displaystyle\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |\)

 Odpowiedź

Pochodna funkcji \(f(x)=\left | 2\sin \Big (\displaystyle\frac{x}{2}-\pi \Big ) \right |\) w punkcie \(x_{0}=2\pi\) nie istnieje.

 Polecenie

Sprawdź, czy istnieje pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0},\) licząc pochodne jednostronne w podanych punktach.

 Funkcja 1

\(f(x)=\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x,\) dla \(x_{0}=0\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x\) nie posiada pochodnej w punkcie \(x_{0}=0.\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z  \(\textrm{sgn}x= \begin{cases} 1,& \textrm{ dla } x \gt 0\\ 0,& \textrm{ dla } x = 0\\ -1,& \textrm{ dla } x \lt 0 \end{cases}\) .
Liczymy granice jednostronne ilorazu różnicowego.
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'_{+}(0)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x-\textrm{sgn} 0 \cdot \textrm{arctg }0}{x-0}=
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x-0}{x}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x}{x}=
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1 \cdot \textrm{arctg }x}{x}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\textrm{arctg }x}{x}= 1}
\end{array}\]
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle  f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x-\textrm{sgn} 0 \cdot \textrm{arctg }0}{x-0}=
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x-0}{x}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x}{x}=
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-1 \cdot \textrm{arctg }x}{x}=}\\
{\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-\textrm{arctg }x}{x}= -1}
\end{array}\]
Ponieważ \(f'_{+}(0)\neq f'_{-}(0)\) zatem nie istnieje pochodna funkcji \(f'(0).\)
rysunek_6.1.2.3
Wykres funkcji \(f(x)=\textrm{sgn} x \cdot \textrm{arctg }x\)

 Funkcja 2

\(f(x)=\left | x^{2}-1 \right |,\) dla \(x_{0}=1\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\left | x^{2}-1 \right |\) nie posiada pochodnej w punkcie \(x_{0}=1.\)

 Rozwiązanie

Liczymy pochodne jednostronne:
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'_{+}(1)=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\left | x^{2}-1 \right |-\left | 1^{2}-1 \right |}{x-1}=
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\left | x^{2}-1 \right |-0}{x-1}=}\\
={\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\left | x^{2}-1 \right |}{x-1}=
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=}\\
{\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=
\lim_{x\to 1^{+}}(x+1)=2}
\\
\\
{\displaystyle f'_{-}(1)=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\left | x^{2}-1 \right |-\left | 1^{2}-1 \right |}{x-1}=
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\left | x^{2}-1 \right |-0}{x-1}=}\\
{\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}\frac{\left | x^{2}-1 \right |}{x-1}=
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{-(x^{2}-1)}{x-1}=}\\
{\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}\frac{-(x+1)(x-1)}{x-1}=
\lim_{x\to 1^{-}}(-x-1)=-2}
\end{array}\]
Ponieważ \(f'_{+}(1)\neq f'_{-}(1),\) zatem nie istnieje pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(1.\)
rysunek_6.1.2.4
Wykres funkcji \(f(x)=\left | x^{2}-1 \right |\)