Zadanie 6.1.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.1 Pochodne. Pochodne jednostronne
  4. Zadanie 6.1.3

 Polecenie

Korzystając z definicji zbadaj, czy podaje funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie \(x_{0}.\)

 Wskazówki

Definicja pochodnej niewłaściwej w punkcie

Dana jest funkcja \(f\) ciągła w punkcie \(x_{0}\in \mathbb{R}.\)  Funkcja \(f\)  ma w punkcie \(x_{0}\) pochodną niewłaściwą, jeśli
\[\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\infty \ \ \ \   \textrm{lub} \ \ \ \ \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=-\infty.\]

Symbolicznie zapisujemy: \(f'(x_{0})=\infty\) lub \(f'(x_{0})=-\infty.\)

Styczna do wykresu funkcji posiadającą pochodną niewłaściwą w punkcie \(x_{0}\) będzie prostą równoległą do osi \(OY.\)
rysunek_6.1.3.1
Funkcja \(f\) spełnia warunek \(f'(0)=\infty\)
Uwaga
Analogicznie definiuje się pochodne niewłaściwe jednostronne. Pochodne te oznacza się tym samym symbolem, co pochodne właściwe jednostronne.

 Funkcja 1

\(f(x)=\sqrt{x-1},\) dla \(x_{0}=1\)

 Rozwiązanie

Funkcja \(f(x)=\sqrt{x-1}\) jest zdefiniowana dla każdego  \(x\geqslant 1.\) Zatem można policzyć jedynie pochodną prawostronną w punkcie \(x_{0}=1.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'_{+}(1)=\lim_{x \to 1_{+}}\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-1}}{x-1}=
\lim_{x \to 1_{+}}\frac{\sqrt{x-1}-0}{x-1}=
\lim_{x \to 1_{+}}\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=}\\
={\displaystyle\lim_{x \to 1_{+}}\sqrt{\frac{x-1}{(x-1)^{2}}}=
\lim_{x \to 1_{+}}\sqrt{\frac{1}{x-1}}=\Big [\frac{1}{0^{+}}\Big ]=\infty}
\end{array}\]
rysunek_6.1.3.2

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\sqrt{x-1}\) nie posiada pochodnej niewłaściwej w punkcie \(x_{0}=1.\) Posiada w tym punkcie jedynie niewłaściwą pochodną prawostronną.

 Funkcja 2

\(f(x)=\sin{\sqrt[3]{x+2}},\) dla \(x_{0}=-2\)

 Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=-2:\)
\[f'(-2)=
\lim_{x \to -2}\frac{\sin \sqrt[3]{x+2}-\sin{0}}{x+2}=
\lim_{x \to -2}\frac{\sin \sqrt[3]{x+2}}{\sqrt[3]{x+2}}\cdot \lim_{x \to -2}\frac{1}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}}=1\cdot \infty =\infty\]
Zatem funkcja \(f(x)=\sin{\sqrt[3]{x+2}}\) ma pochodną niewłaściwą w punkcie \(x_{0}.\)
rysunek_6.1.3.3

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\sin{\sqrt[3]{x+2}}\) ma pochodną niewłaściwą \(\infty\) w punkcie \(x_{0}=-2.\)

 Polecenie

Korzystając z definicji zbadaj, czy funkcja \(f(x)=\sqrt[5]{x}\) ma pochodną niewłaściwą w punkcie \(x_{0}=0.\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\sqrt[5]{x}\) nie posiada pochodnej niewłaściwej w punkcie \(x_{0}=0.\)

 Rozwiązanie

Badamy, czy funkcja \(f(x)=\sqrt[4]{x}\) posiada pochodną niewłaściwą w punkcie \(x_{0}=0\) licząc granicę ilorazu różnicowego, przy \(x \to 0.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(0)=
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{0}}{x-0}=
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[5]{x}}{x}=
\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}}
\end{array}\]
Ponieważ
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}=+\infty}\\
{\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}=-\infty,}
\end{array}\]
zatem nie istnieje granica \({\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt[5]{x^{4}}}}.\) Nie istnieje więc pochodna niewłaściwa w punkcie \(x_{0}.\) Istnieją pochodne jednostronne niewłaściwe funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=0\) tj. \(f'_{+}(0)\) oraz \(f'_{-}(0).\)
rysunek_6.1.3.4