Zadanie 6.1.4

Polecenie

Oblicz pochodne funkcji, korzystając z reguł różniczkowania.

Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji

Jeżeli funkcje \(f\) i \(g\) mają pochodne właściwe w punkcie \(x_{0},\) to
\[ \begin{array}{l}
1. \ \ (f+g)'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0});\\ \\
2. \ \ (f-g)'(x_{0})=f'(x_{0})-g'(x_{0});\\ \\
3. \ \ (cf)'(x_{0})=cf'(x_{0}), \ \ \textrm{gdzie} \ c\in \mathbb{R};\\ \\
4. \ \ (f\cdot g)'(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0});\\ \\
5. \ \ {\displaystyle\Big ( \frac{f}{g}\Big )'(x_{0})=\frac{f'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}, \ \ \textrm{o ile} \ \ g(x_{0})\neq 0.}
\end{array}\]

Uwaga

Podane wzory są również prawdziwe dla pochodnych niewłaściwych i jednostronnych.
Wzory \(1.\) i \(4.\) są również prawdziwe dla dowolnej liczby odpowiednio składników i czynników.

Pochodne podstawowych funkcji

Wzór	Zakres zmienności
\((c)'=0\)	\(c\in \mathbb{R}\)
\((x^{n})'=nx^{n-1}\)	\(n\in \mathbb{N}, \ x\in \mathbb{R}\)
\(\Big (\displaystyle\frac{a}{x}\Big )'=-\displaystyle\frac{a}{x^{2}} \)	\(x \neq 0, \ \ a \in \mathbb{R}\)
\((x^{p})'=px^{p-1}\)	\(p\in \left \{ -1,-2,-3,\cdots \right \}, \ \ x\neq 0\)
\((x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha - 1}\)	\(\alpha\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{C}*\)
\((\sin x)'=\cos x\)	\(x\in \mathbb{R}\)
\((\cos x)'=-\sin x\)	\(x\in \mathbb{R}\)
\((\textrm{tg}x)'=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}x}=1+\textrm{tg}^{2}x\)	\(x\neq \displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \textrm{ gdzie } \ k\in \mathbb{C}\)
\((\textrm{ctg}x)'=\displaystyle\frac{-1}{\sin^{2}x}=-1-\textrm{ctg}^{2}x\)	\(x\neq k\pi,\ \textrm{ gdzie } \ k\in \mathbb{C}\)
\((a^{x})'=a^{x}\ln a\)	\(0 \lt a\neq 1, \ \ x\in \mathbb{R}\)
\((e^{x})'=e^{x} \)	\(x\in \mathbb{R}\)
\((\sqrt {x})'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}} \)	\(x \gt 0\)
\((\textrm{sh} x)'=\textrm{ch} x\)	\(x\in \mathbb{R} \)
\((\textrm{ch} x)'=\textrm{sh} x\)	\(x\in \mathbb{R} \)
\((\textrm{th} x)'=\displaystyle\frac{1}{\textrm{cth}^{2} x}\)	\(x\in \mathbb{R} \)
\((\textrm{cth} x)'=\displaystyle\frac{-1}{\textrm{sh}^{2}x}\)	\(x\in \mathbb{R}, \ \ x\neq 0\)
\((\textrm{arcsin} x)'=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)	\(x\in \left \langle -1;1 \right \rangle\)
\((\textrm{arccos} x)'=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)	\(x\in \left \langle -1;1 \right \rangle\)
\((\textrm{arctg} x)'=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\)	\(x\in \mathbb{R} \)
\((\textrm{arcctg} x)'=\displaystyle\frac{-1}{1+x^{2}}\)	\(x\in \mathbb{R} \)
\((\ln x)'=\displaystyle\frac{1}{x}\)	\(x \gt 0\)
\((\log_{a} x)'=\displaystyle\frac{1}{x\ln a}\)	\(x \gt 0, \ \ a \gt 0, \ \ a\neq 1\)

* Zakres zmiennej \(x\) zależy od parametru \(\alpha.\)

Funkcja 1

\(f(x)=3x^{7}-3x^2+2x-1\)

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów na \( (f+g)'=f'+g'\) oraz na \((x^{n})'=nx^{n-1}\) dla \(n\in \mathbb{N}, \ x\in \mathbb{R}\) .
Pochodną funkcji \(f(x)=3x^{7}-3x^2+2x-1\) jest funkcja:
\[f'(x)=3\cdot 7x^{6}-3\cdot 2x+2 \cdot 1 - 0=21x^{6}-6x+2.\]

Funkcja 2

\(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x^{2}}\)

Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{x^{2}},\) korzystając ze wzoru na \({\displaystyle\Big ( \frac{f}{g}\Big )'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}, \ \ \textrm{o ile} \ \ g\neq 0}\) oraz pochodną \((\sin x)'=\cos x\) i \((x^{n})'=nx^{n-1}\) .
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{\left (\sin x \right )'\cdot x^{2}- \sin x \cdot \left ( x^{2} \right )'}{\left [x^{2} \right ]^{2}}=}\\
{\displaystyle \frac{\cos x \cdot x^{2}- \sin x \cdot 2x}{x^{4}}=
\frac{x^{2}\cos x- 2x\sin x}{x^{4}}}
\end{array}\]

Funkcja 3

\(f(x)=2^{x}\cdot \textrm{arctg }x\)

Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji \(f(x)=2^{x}\cdot \textrm{arctg }x,\) korzystając ze wzorów na \((f\cdot g)'=f' \cdot g+fg \cdot g'\) , pochodną \((a^{x})'=a^{x}\ln a\) oraz \((\textrm{arctg }x)'=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\) .
Zatem
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=\left (2^{x} \right )'\cdot \textrm{arctg }x+2^{x}\cdot \left (\textrm{arctg }x \right )'=\\
\left (2^{x}\ln 2 \right )\cdot \textrm{arctg }x+2^{x}\cdot \left (\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}} \right )=\\
2^{x}\ln 2 \cdot \textrm{arctg }x+\displaystyle\frac{2^{x}}{1+x^{2}}
\end{array}\]

Funkcja 4

\(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{\ln x -4}\)

Rozwiązanie

Krok 1

Wybierz prawidłową odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź".

Licząc pochodną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{\ln x -4}\) korzystamy ze wzoru:

\((f\cdot g)'=f'g+fg'\)

Odpowiedź nieprawidłowa W tym przykładzie nie mamy iloczynu funkcji.

\({\displaystyle\left ( \frac{f}{g} \right )'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}} }\)

Odpowiedź prawidłowa

\((\alpha \cdot f)'=\alpha \cdot f'\)

Odpowiedź nieprawidłowa W powyższym przykładzie nie ma sytuacji, w której liczymy pochodną z \(\alpha \cdot f\)

Krok 2

Korzystając ze wzoru na pochodną ilorazu dla funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}}{\ln x -4}\) otrzymamy:

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\left (\sqrt{x} \right )'\left ( \ln x -4 \right )-\sqrt{x} \left ( \ln x -4 \right )'}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}\)

Odpowiedź prawidłowa

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x}\left ( \ln x -4 \right )'-\left (\sqrt{x} \right )' \left ( \ln x -4 \right )}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa Kolejność liczenia pochodnych ma znaczenie, ze względu na różnicę w liczniku ułamka.

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\left (\sqrt{x} \right )'\left ( \ln x -4 \right )-\sqrt{x} \left ( \ln x -4 \right )'}{\ln x -4}\)

Odpowiedź nieprawidłowa W mianowniku funkcję \(g\) musimy podnieść do kwadratu

Krok 3

Licząc pochodne we wzorze \(f'(x)=\displaystyle\frac{\left (\sqrt{x} \right )'\left ( \ln x -4 \right )-\sqrt{x} \left ( \ln x -4 \right )'}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}\) otrzymamy:

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left ( \ln x -4 \right )-\sqrt{x} \left ( \frac{1}{x-4}\right )}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}=\displaystyle\frac{\frac{\ln x -4}{2\sqrt{x}}- \frac{\sqrt{x}}{x-4}}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa Argumentem logarytmu jest tylko \(x\). Osobno liczymy pochodną funkcji stałej \(4.\)

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left ( \ln x -4 \right )-\sqrt{x} \left ( \frac{1}{x} -0 \right )}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}=\displaystyle\frac{\frac{\ln x -4}{2\sqrt{x}}- \frac{\sqrt{x}}{x}}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Krok 4

Możemy (ale nie musimy) przekształcić otrzymane wyrażenie do prostszej postaci. Otrzymamy wówczas:

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\frac{\ln x -4}{2\sqrt{x}}- \frac{\sqrt{x}}{x}}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}=\displaystyle\frac{\frac{\ln x -4}{2\sqrt{x}}- \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{x}}}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}=\displaystyle\frac{\ln x -4-\sqrt{2}}{2\sqrt{x}\left (\ln x -4 \right )^{2}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\(f'(x)=\displaystyle\frac{\frac{\ln x -4}{2\sqrt{x}}- \frac{\sqrt{x}}{x}}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}=\displaystyle\frac{\frac{\ln x -4}{2\sqrt{x}}- \frac{2}{2\sqrt{x}}}{\left [\ln x -4 \right ]^{2}}=\displaystyle\frac{\ln x -6}{2\sqrt{x}\left (\ln x -4 \right )^{2}}\)

Odpowiedź prawidłowa

Odpowiedź

Pochodną funkcji \(f\) jest funkcja \(f'(x)=\displaystyle\frac{\ln x -6}{2\sqrt{x}\left (\ln x -4 \right )^{2}}.\)

Zadanie 6.1.3

Polecenie

Oblicz pochodne funkcji, korzystając z reguł różniczkowania.

Funkcja 1

\(f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-6x+4}{\sqrt{x}}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}-6x+4}{\sqrt{x}}}\)

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów na pochodne:

\({\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}}\) ,
\((f+g)'=f'+g'\) ,
\((x^{n})'=nx^{n-1}\) ,
\((c)'=0\) ,
\((\sqrt{x})'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\) .

\[ \begin{array}{l}
f'(x)={\displaystyle\frac{\left (x^{2}-6x+4 \right )'\sqrt{x}-\left ( x^{2}-6x+4 \right )\left (\sqrt{x} \right )'}{\sqrt{x}^{2}}=}\\
{\displaystyle \frac{\left (2x-6 \right )\sqrt{x}-\left ( x^{2}-6x+4 \right )\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^{2}}=
\frac{\left (2x-6 \right )\sqrt{x}-\frac{x^{2}-6x+4}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^{2}}=}\\
={\displaystyle\frac{\left (2x-6 \right )x-\frac{1}{2}\left (x^{2}-6x+4 \right )}{x\sqrt{x}}=
\frac{2x^{2}-6x-\frac{1}{2}x^{2}+3x-2}{x\sqrt{x}}=}\\
{\displaystyle \frac{\frac{3}{2}x^{2}-3x-2}{x\sqrt{x}}}
\end{array}\]

Funkcja 2

\(f(x)=e^{x}\ln x\)

Odpowiedź

\(f'(x)={\displaystyle e^{x}\ln x+\frac{e^{x}}{x}}\)

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów na pochodne:

\((f\cdot g)'=f'g+fg'\) ,
\((e^{x})'=e^{x}\) ,
\((\ln x)'=\displaystyle\frac{1}{x}\) .

\[ \begin{array}{l}
f'(x)={\displaystyle\left (e^{x} \right )'\ln x+e^{x}\left (\ln x \right )'=e^{x}\ln x+e^{x}\frac{1}{x}=e^{x}\ln x+\frac{e^{x}}{x}}
\end{array}\]

Funkcja 3

\(f(x)=\displaystyle\frac{x^{2}-\sin x}{5^{x}}\)

Odpowiedź

\(f'(x)=\displaystyle\frac{2x-\cos x -\left ( x^{2}-\sin x \right )\ln 5}{5^{x}}\)

Rowiązanie

Korzystamy ze wzorów na pochodne:

\((f+g)'=f'+g'\) ,
\({\displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}}\) ,
\((x^{n})'=nx^{n-1}\) ,
\((\sin x)'=\cos x\) ,
\((a^{x})'=a^{x}\ln a\) .

\[ \begin{array}{l}
f'(x)={\displaystyle\frac{\left ( x^{2}-\sin x \right )'5^{x}-\left ( x^{2}-\sin x \right )\left ( 5^{x}\right )'}{\left [5^{x} \right ]^{2}}=
\frac{\left ( 2x-\cos x \right )5^{x}-\left ( x^{2}-\sin x \right ) 5^{x}\ln 5}{5^{2x}}=}\\
={\displaystyle\frac{\cancel{5^{x}}\left [2x-\cos x -\left ( x^{2}-\sin x \right )\ln 5 \right ]}{\cancel{5^{x}}\cdot 5^{x}}=
\frac{2x-\cos x -\left ( x^{2}-\sin x \right )\ln 5}{5^{x}}}
\end{array}\]

Funkcja 4

\(f(x)={\displaystyle 5\textrm{arctg }x - \frac{5}{x}}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle f'(x)=5 \left [\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{x^{2}} \right ]}\)

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów na:

\((\textrm{ arctg } x)'=\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}\)
\({\displaystyle \Big (\frac{a}{x}\Big )'=-\frac{a}{x^{2}}}\)

\[{\displaystyle f'(x)=5\cdot \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{5}{x^{2}}=5 \left [\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{x^{2}} \right ]}\]

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji

Pochodne podstawowych funkcji

Funkcja 1

Rozwiązanie

Funkcja 2

Rozwiązanie

Funkcja 3

Rozwiązanie

Funkcja 4

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Odpowiedź

Polecenie

Funkcja 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Funkcja 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Funkcja 3

Odpowiedź

Rowiązanie

Funkcja 4

Odpowiedź

Rozwiązanie

Polecenie

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Podsumowanie