Zadanie 6.1.5

Polecenie

Oblicz pochodną funkcji \(f,\) korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Niech \(y(x)=(g \circ f)(x)=g\left [ f(x) \right ]\) na pewnym zbiorze, funkcja \(f\) ma pochodną \(f'(x_{0}),\) funkcja \(g\) ma pochodną \(g'[f(x_{0})],\) wówczas:
\[y'(x_{0})=g'\left [ f(x_{0}) \right ]\cdot f'(x_{0}).\]

Uwaga

Dla złożenia trzech funkcji i więcej twierdzenie jest również prawdziwe.
Niech \(y(x)=h\left \{ g\left [ f(x) \right ] \right \},\) wtedy:
\[y'(x_{0})=h'\left \{ g\left [ f(x_{0}) \right ] \right \}\cdot g'\left [ f(x_{0}) \right ] \cdot f'(x_{0}).\]

Funkcja 1

\(f(x)=\cos(5\sqrt{x})\)

Rozwiązanie

Funkcja \(f(x)=\cos(5\sqrt{x})\) jest złożeniem funkcji cosinus oraz funkcji \(5\sqrt{x}.\) Zatem pochodną funkcji \(f\) będzie iloczyn pochodnej funkcji cosinus dla argumentu \(\color{#F57C00}{5\sqrt{x}}\) przez pochodną funkcji \(5\sqrt{x},\) czyli pochodną funkcji \(\sqrt{x}\) pomnożoną przez \(5.\)
Korzystamy ze wzorów na pochodne:

\((1)\) \((g \circ f)'=g' (f)\cdot f'\) ,
\((2)\) \((\alpha \cdot f)'=\alpha \cdot f'\) ,
\((3)\) \((\cos x)'=-\sin x\) ,
\((4)\) \((\sqrt{x})'=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\) .

Zatem:
\[{\displaystyle f'(x)=\underbrace{\underbrace{-\sin(\color{#F57C00}{5\sqrt{x}})}_{(3)}\cdot \underbrace{5 \cdot \underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x}}}_{(4)}}_{(2)}}_{(1)}=-\frac{5\sin(5\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}}.\]

Funkcja 2

\(f(x)=\ln\left ( \textrm{ arctg }^{2}x+4 \right )\)

Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji złożonej jako iloczyn pochodnej logarytmu dla argumentu \((\textrm{ arctg }^{2}x+4)\) oraz pochodnej sumy \(\textrm{ arctg }^{2}x+4.\)
Korzystamy ze wzorów na pochodną:

\((1)\) \((\ln x)'=\displaystyle\frac{1}{x}\) ,
\((2)\) \((x^{2})'=2x\) ,
\((3)\) \((\textrm{ arctg }x)'=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\) ,
\((4)\) \((c)'=0\) .

\[f'(x)=\underbrace{\frac{1}{\textrm{ arctg }^{2}x+4}}_{(1)} \cdot \left ( \underbrace{2\textrm{ arctg }x}_{(2)}\cdot \underbrace{\frac{1}{1+x^{2}}}_{(3)}+\underbrace{0}_{(4)} \right ).\]

Funkcja 3

\(f(x)=\left ( e^{5x}-\sin 4x \right )^{5}\)

Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji złożonej jako iloczyn pochodnej funkcji \(x^{5}\) ale dla argumentu \((e^{5x}-\sin 4x)\) przez pochodną funkcji \(e^{5x}-\sin 4x .\) Korzystamy ze wzorów na pochodne:

\((1)\) \((x^{5})'=5x^{4}\) ,
\((2)\) \((e^{x})'=e^{x}\) ,
\((3)\) \((\sin x)'=\cos x\) ,

w połączeniu ze wzorem na pochodną funkcji złożonej.

\[f'(x)=\underbrace{5\left ( e^{5x}-\sin 4x \right )^{4}}_{(1)}\cdot \left (\underbrace{e^{5x}}_{(2)}\cdot (5x)'-\underbrace{\cos 4x}_{(3)}\cdot (4x)' \right )=5\left ( e^{5x}-\sin 4x \right )^{4}\cdot \left (5e^{5x}-4\cos 4x\right ).\]

Funkcja 4

\(f(x)=\sqrt{\sin e^{-4x}}\)

Rozwiązanie

\[{\displaystyle f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{\sin e^{-4x}}}}_{{\large \textrm{pochodna } \sqrt{x} \textrm{ dla argumentu } \sin e^{-4x}}} \cdot \underbrace{\cos e^{-4x}}_{{\large \textrm{ pochodna } \sin x \textrm{ dla argumentu } e^{-4x}}} \cdot \underbrace{e^{-4x}}_{{\large \textrm{ pochodna } e^{x} \textrm{ dla argumentu } -4x}} \cdot \underbrace{(-4)}_{{\large \textrm{ pochodna } -4x}}}\]

Funkcja 5

\(f(x)=x^{5x^{2}}\)

Rozwiązanie

Aby obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=x^{5x^{2}}\) należy przekształcić wzór tej funkcji, korzystając ze znanej własności logarytmów - wzoru na \(f^{g}=e^{g\ln f}\) .
Zatem
\[f(x)=x^{5x^{2}}=e^{5x^{2}\ln x}.\]
Liczymy pochodną funkcji \(f(x)=e^{5x^{2}\ln x}\) jako pochodną funkcji złożonej, korzystając z pochodnej iloczynu.
\[f'(x)=e^{5x^{2}\ln x}\cdot \left ( 5x^{2}\ln x \right )'=e^{5x^{2}\ln x}\cdot \left ( 10x\ln x+5x \right )=e^{5x^{2}\ln x}\cdot 5x \left ( 2\ln x+1 \right ).\]

Zadanie 6.1.4

Polecenie

Oblicz pochodną funkcji \(f,\) korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.

Funkcja 1

\(f(x)=\sin (\arcsin x)\)

Odpowiedź

\({\displaystyle f'(x)=\cos (\arcsin x)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{\cos (\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}}\)

Funkcja 2

\(f(x)=\left ( 3x^{5}+\sqrt[3]{x} \right )^{3}\)

Odpowiedź

\({\displaystyle f'(x)=3\left ( 3x^{5}+x^{\frac{1}{3}} \right )^{2}\cdot \left ( 15x^{4}+\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \right )}\)

Funkcja 3

\({\displaystyle f(x)=\frac{3}{\ln 3^{x}}}\)

Odpowiedź

Pochodną funkcji \(f\) jest funkcja:
\({\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{\ln^{2} 3^{x}}\cdot \frac{1}{3^{x}}\cdot 3^{x}\cdot \ln 3=-\frac{3 \cdot 3^{x} \ln 3}{3^{x} \ln^{2} 3^{x}}=-\frac{3\ln 3}{\ln^{2} 3^{x}}}\)
Nie trzeba doprowadzać do prostszej postaci.

Funkcja 4

\(f(x)=5^{x\ln x}\)

Odpowiedź

\(f'(x)=e^{x\ln x \ln 5}\cdot \ln 5\left ( \ln x+1 \right )\)

Rozwiązanie

Ponieważ \(f(x)=5^{x\ln x}=e^{x\ln x \ln 5},\) zatem
\[f'(x)= e^{x\ln x \ln 5}\cdot \left ( x\ln x \ln 5 \right )'=e^{x\ln x \ln 5}\cdot \ln 5\left ( x\ln x \right )'=\\ =e^{x\ln x \ln 5}\cdot \ln 5\left ( \ln x+1 \right )\]

Polecenie

W zadaniach 1, 3, 4 wybierz dokładnie jedną prawidłową odpowiedź lub w oznaczone miejsca wpisz poprawną odpowiedź. W zadaniu 2 uzupełnij prawidłowe odpowiedzi.

Uwaga

W poniższych pytaniach wybierz prawidłową odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź". Możesz również sprawdzić poprawność udzielonej
odpowiedzi klikając na końcu przycisk "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Dziedziną funkcji \(f(x)=e^{\sqrt{x^{2}-4}}\) oraz jej pochodną są:

\({\displaystyle \left | x \right |\leqslant 2, \ f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}-4}}e^{\sqrt{x^{2}-4}}}\)

\({\displaystyle \left | x \right | \gt 2, \ f'(x)=e^{\sqrt{x^{2}-4}}}\)

\({\displaystyle \left | x \right |\geqslant 2, \ f'(x)=\frac{xe^{\sqrt{x^{2}-4}}}{\sqrt{x^{2}-4}}}\)

\({\displaystyle \left | x \right |\leqslant -2, \ f'(x)=2x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-4}}}\)

Zadanie 2

Dobierz w pary funkcje i ich pochodne.

FUNKCJE

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\sqrt{1-x^{2}}\\
\\
g(x)=\arcsin x\\
\\
h(x)=\textrm{arctg }x^{2}\\
\\
i(x)=\ln (x^{2}-1)
\end{array}\]

POCHODNE

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle l(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}}
\\
{\displaystyle m(x)=\frac{2x}{1+x^{4}}}
\\
{\displaystyle k(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}
\\
{\displaystyle n(x)=\frac{2x}{1+x^{2}}}
\end{array}\]

Wpisz odpowiednią nazwę pochodnej.

\(f'(x)=\)

\((x)\)

Wpisz odpowiednią nazwę pochodnej.

\(g'(x)=\)

\((x)\)

Wpisz odpowiednią nazwę pochodnej.

\(h'(x)=\)

\((x)\)

Wpisz odpowiednią nazwę pochodnej.

\(i'(x)=\)

\((x)\)

Zadanie 3

Pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{1-e^{\log_{2}x}}\) jest, w odpowiedniej dziedzinie, funkcja:

\({\displaystyle f'(x)=-\frac{e^{\log_{2}x}}{2\ln 2 \cdot x\sqrt{1-e^{\log_{2}x}}}},\) w przedziale \( x\in \left \langle 0;1 \right )\)

\({\displaystyle f'(x)=-\frac{e^{\log_{2}x}}{2\ln 2 \cdot x\sqrt{1-e^{\log_{2}x}}}},\) w przedziale \(x\in \left ( 0;1 \right )\)

\({\displaystyle f'(x)=-\frac{e^{\log_{2}x}}{2\ln 2 \cdot x\sqrt{1-e^{\log_{2}x}}}},\) w przedziale \(x\in \left \langle 0;1 \right \rangle\)

\({\displaystyle f'(x)=-\frac{e^{\log_{2}x}}{2\ln 2 \cdot x\sqrt{1-e^{\log_{2}x}}}},\) w przedziale \(x\in \left ( 0;1 \right \rangle\)

Zadanie 4

Pochodną funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\ln \sin x}},\) dla \({\displaystyle x\in \left ( 2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi \right ),
\ k\in \mathbb{C}}\) jest:

\({\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x\left ( \ln \sin x-\sin^{2}x \right )}{\ln^{2}\sin x}}\)

\({\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x\left ( \ln \sin x-1 \right )}{\ln\sin x}}\)

\({\displaystyle f'(x)=\frac{\cos x\left ( \ln \sin x-1 \right )}{\ln^{2}\sin x}}\)

\({\displaystyle f'(x)=\frac{\sin x\left ( \ln \sin x-1 \right )}{\ln^{2}\sin x}}\)

Podsumowanie

Zadanie 6.1.6

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Funkcja 1

Rozwiązanie

Funkcja 2

Rozwiązanie

Funkcja 3

Rozwiązanie

Funkcja 4

Rozwiązanie

Funkcja 5

Rozwiązanie

Polecenie

Funkcja 1

Odpowiedź

Funkcja 2

Odpowiedź

Funkcja 3

Odpowiedź

Funkcja 4

Odpowiedź

Rozwiązanie

Polecenie

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Podsumowanie