Zadanie 6.1.6
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.1 Pochodne. Pochodne jednostronne
  4. Zadanie 6.1.6

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz \((f^{-1})'(y).\)

 Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja \(f\) spełnia następujące warunki:
  1. jest ciągła na otoczeniu punktu \(x_{0}\),
  2. jest rosnąca lub malejąca na otoczeniu punktu \(x_{0}\),
  3. ma pochodną właściwą \(f'(x_{0})\neq 0\),
to \[(f^{-1})'(y_{0})=\frac{1}{f'(x_{0})}, \ \ \textrm{ gdzie } \  y_{0}=f(x_{0}).\]
Uwaga
Twierdzenie to jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i niewłaściwych.

 Funkcja 1

\(f(x)=\sqrt{x-1},\) dla \( x\gt 1\)

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
  1. jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
  2. jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
  3. ma pochodną właściwą \(f'(x)\neq 0\).

Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.

Sprawdzamy, czy funkcja \(f(x)=\sqrt{x-1}\) spełnia te założenia dla \(x\gt 1.\)

  1. Funkcja jest funkcją elementarną, zatem jest ciągła dla każdego \(x\gt 1.\)
  2. Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego \(x\gt 1.\)
  3. Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego \(x\gt 1.\)
Dla pewności możemy spojrzeć na .
rysunek_6.1.5.1
Wyznaczamy funkcję odwrotną do funkcji \(f(x)=\sqrt{x-1}.\)
\[y=\sqrt{x-1} \ \ /()^{2}\\
y^{2}=x-1\\
y^{2}+1=x\\
f^{-1}(y)=y^{2}+1\]
Zatem na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
\[(f^{-1})'(y)= \frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot 1}=2\sqrt{x-1}=\cdots\]
Wracając do podstawienia
\[\cdots=2\sqrt{y^{2}+1-1}=2y.\]

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji \(f(x)=\sqrt{x-1},\) dla  \(x\gt 1\) jest
\[(f^{-1})'(y)=2y.\]

 Funkcja 2

\(f(x)=5^{x}-x^{5},\) dla  \(y_{0}=4\)

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
  1. jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
  2. jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
  3. ma pochodną właściwą \(f'(x)\neq 0\).

Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.

Sprawdzamy, czy funkcja \(f(x)=5^{x}-x^{5}\) spełnia te założenia dla \(x \in \mathbb{R}.\)

  1. Funkcja jest różnicą funkcji elementarnych, zatem jest ciągła dla każdego \(x \in \mathbb{R}.\)
  2. Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego \(x \in \mathbb{R}.\)
  3. Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego \(x \in \mathbb{R}.\)
Dla pewności możemy spojrzeć na .
rysunek_6.1.5.3
Ustalamy, że przy spełnionych założeniach \((1)-(3):\)
\[5^{x}-x^{5}=4 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=1\]
Korzystamy więc z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, licząc pochodną funkcji \(f\) dla \(x=1.\)
\[(f^{-1})'(4)= \frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{5^{x}\ln 5-5x^{4}|_{x=1}}=\frac{1}{5\ln 5-5}=\frac{1}{5(\ln 5 -1)}\]

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji \(f\) w punkcie \(y_{0}=4\) jest \[(f^{-1})'(4)=\frac{1}{5(\ln 5 -1)}.\]

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz \((f^{-1})'(y).\)

 Funkcja 1

\(f(x)=5\ln x,\) dla \(x \gt 0\)

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji \(f\) jest funkcja \({\displaystyle (f^{-1})'(y)=\frac{1}{5}e^{\frac{1}{5}y}}.\)

 Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji odwrotnej do funkcji \(f(x)=5\ln x,\) dla \(x \gt 0.\)
Wyznaczamy funkcję odwrotną do \(f.\)
\[ \begin{array}{l}
y=f(x)=5\ln x\\
\displaystyle\frac{1}{5}y=ln x\\
f^{-1}(y)=e^{\large\frac{1}{5}y}=x
\end{array}\]
Ponieważ funkcja \(f\) jest  dla każdego \(x\in \mathbb{R},\) zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
\[{\displaystyle (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{5\cdot \frac{1}{x}}=\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}e^{\frac{1}{5}y}}.\]
rysunek_6.1.5.4

 Funkcja 2

\(f(x)=7x+\cos x,\) dla \(y_{0}=1\)

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji \(f,\) dla \(y_{0}=1\) jest:
\[{\displaystyle (f^{-1})'(1)=\frac{1}{7}}\]

 Rozwiązanie

Wyznaczając pochodną funkcji odwrotnej do funkcji \(f(x)=7x+\cos x,\) dla  \(y_{0}=1\) ustalamy, dla jakiego argumentu \(x\) wartość funkcji \(f\) wynosi \(1.\)
\[ \begin{array}{l}
y=f(x)=7x+\cos x\\
7x+\cos x=1 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0\\
f(0)=1
\end{array}\]
Funkcja jest  dla każdego \(x\in \mathbb{R},\) zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
\[{\displaystyle (f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{7-\sin x|_{x=0}}=\frac{1}{7-\sin 0}=\frac{1}{7}}.\]
rysunek_6.1.5.2