Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 6.1.6
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.1 Pochodne. Pochodne jednostronne
  4. Zadanie 6.1.6

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz (f−1)′(y).

 Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
  1. jest ciągła na otoczeniu punktu x0,
  2. jest rosnąca lub malejąca na otoczeniu punktu x0,
  3. ma pochodną właściwą f′(x0)≠0,
to (f−1)′(y0)=1f′(x0),   gdzie  y0=f(x0).
Uwaga
Twierdzenie to jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i niewłaściwych.

 Funkcja 1

f(x)=√x−1, dla x>1

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
  1. jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
  2. jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
  3. ma pochodną właściwą f′(x)≠0.

Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.

Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=√x−1 spełnia te założenia dla x>1.

  1. Funkcja jest funkcją elementarną, zatem jest ciągła dla każdego x>1.
  2. Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego x>1.
  3. Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego x>1.
Dla pewności możemy spojrzeć na .
rysunek_6.1.5.1
Wyznaczamy funkcję odwrotną do funkcji f(x)=√x−1.
y=√x−1  /()2y2=x−1y2+1=xf−1(y)=y2+1
Zatem na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
(f−1)′(y)=1f′(x)=112√x−1⋅1=2√x−1=⋯
Wracając do podstawienia
⋯=2√y2+1−1=2y.

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=√x−1, dla  x>1 jest
(f−1)′(y)=2y.

 Funkcja 2

f(x)=5x−x5, dla  y0=4

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
  1. jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
  2. jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
  3. ma pochodną właściwą f′(x)≠0.

Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.

Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=5x−x5 spełnia te założenia dla x∈R.

  1. Funkcja jest różnicą funkcji elementarnych, zatem jest ciągła dla każdego x∈R.
  2. Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego x∈R.
  3. Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego x∈R.
Dla pewności możemy spojrzeć na .
rysunek_6.1.5.3
Ustalamy, że przy spełnionych założeniach (1)−(3):
5x−x5=4  ⇔  x=1
Korzystamy więc z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, licząc pochodną funkcji f dla x=1.
(f−1)′(4)=1f′(x)=15xln5−5x4|x=1=15ln5−5=15(ln5−1)

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f w punkcie y0=4 jest (f−1)′(4)=15(ln5−1).

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz (f−1)′(y).

 Funkcja 1

f(x)=5lnx, dla x>0

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f jest funkcja (f−1)′(y)=15e15y.

 Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=5lnx, dla x>0.
Wyznaczamy funkcję odwrotną do f.
y=f(x)=5lnx15y=lnxf−1(y)=e15y=x
Ponieważ funkcja f jest  dla każdego x∈R, zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
(f−1)′(y)=1f′(x)=15⋅1x=15x=15e15y.
rysunek_6.1.5.4

 Funkcja 2

f(x)=7x+cosx, dla y0=1

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f, dla y0=1 jest:
(f−1)′(1)=17

 Rozwiązanie

Wyznaczając pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=7x+cosx, dla  y0=1 ustalamy, dla jakiego argumentu x wartość funkcji f wynosi 1.
y=f(x)=7x+cosx7x+cosx=1  ⇔  x=0f(0)=1
Funkcja jest  dla każdego x∈R, zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
(f−1)′(1)=1f′(0)=17−sinx|x=0=17−sin0=17.
rysunek_6.1.5.2