Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 6.1.6

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz (f1)(y).

 Wskazówki

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
  1. jest ciągła na otoczeniu punktu x0,
  2. jest rosnąca lub malejąca na otoczeniu punktu x0,
  3. ma pochodną właściwą f(x0)0,
to (f1)(y0)=1f(x0),   gdzie  y0=f(x0).
Uwaga
Twierdzenie to jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i niewłaściwych.

 Funkcja 1

f(x)=x1, dla x>1

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
  1. jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
  2. jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
  3. ma pochodną właściwą f(x)0.

Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.

Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=x1 spełnia te założenia dla x>1.

  1. Funkcja jest funkcją elementarną, zatem jest ciągła dla każdego x>1.
  2. Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego x>1.
  3. Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego x>1.
Dla pewności możemy spojrzeć na .
rysunek_6.1.5.1
Wyznaczamy funkcję odwrotną do funkcji f(x)=x1.
y=x1  /()2y2=x1y2+1=xf1(y)=y2+1
Zatem na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
(f1)(y)=1f(x)=112x11=2x1=
Wracając do podstawienia
=2y2+11=2y.

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=x1, dla  x>1 jest
(f1)(y)=2y.

 Funkcja 2

f(x)=5xx5, dla  y0=4

 Rozwiązanie

Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
  1. jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
  2. jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
  3. ma pochodną właściwą f(x)0.

Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.

Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=5xx5 spełnia te założenia dla xR.

  1. Funkcja jest różnicą funkcji elementarnych, zatem jest ciągła dla każdego xR.
  2. Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego xR.
  3. Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego xR.
Dla pewności możemy spojrzeć na .
rysunek_6.1.5.3
Ustalamy, że przy spełnionych założeniach (1)(3):
5xx5=4    x=1
Korzystamy więc z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, licząc pochodną funkcji f dla x=1.
(f1)(4)=1f(x)=15xln55x4|x=1=15ln55=15(ln51)

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f w punkcie y0=4 jest (f1)(4)=15(ln51).

 Polecenie

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz (f1)(y).

 Funkcja 1

f(x)=5lnx, dla x>0

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f jest funkcja (f1)(y)=15e15y.

 Rozwiązanie

Liczymy pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=5lnx, dla x>0.
Wyznaczamy funkcję odwrotną do f.
y=f(x)=5lnx15y=lnxf1(y)=e15y=x
Ponieważ funkcja f jest  dla każdego xR, zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
(f1)(y)=1f(x)=151x=15x=15e15y.
rysunek_6.1.5.4

 Funkcja 2

f(x)=7x+cosx, dla y0=1

 Odpowiedź

Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f, dla y0=1 jest:
(f1)(1)=17

 Rozwiązanie

Wyznaczając pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=7x+cosx, dla  y0=1 ustalamy, dla jakiego argumentu x wartość funkcji f wynosi 1.
y=f(x)=7x+cosx7x+cosx=1    x=0f(0)=1
Funkcja jest  dla każdego xR, zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
(f1)(1)=1f(0)=17sinx|x=0=17sin0=17.
rysunek_6.1.5.2