Polecenie
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz (f−1)′(y).
Wskazówki
Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja f spełnia następujące warunki:
- jest ciągła na otoczeniu punktu x0,
- jest rosnąca lub malejąca na otoczeniu punktu x0,
- ma pochodną właściwą f′(x0)≠0,
Uwaga
Twierdzenie to jest prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i niewłaściwych.
Funkcja 1
f(x)=√x−1, dla x>1
Rozwiązanie
Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.
Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=√x−1 spełnia te założenia dla x>1.
- jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
- jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
- ma pochodną właściwą f′(x)≠0.
Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.
Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=√x−1 spełnia te założenia dla x>1.
- Funkcja jest funkcją elementarną, zatem jest ciągła dla każdego x>1.
- Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego x>1.
- Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego x>1.

Wyznaczamy funkcję odwrotną do funkcji f(x)=√x−1.
y=√x−1 /()2y2=x−1y2+1=xf−1(y)=y2+1
Zatem na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
(f−1)′(y)=1f′(x)=112√x−1⋅1=2√x−1=⋯
Wracając do podstawienia
⋯=2√y2+1−1=2y.
y=√x−1 /()2y2=x−1y2+1=xf−1(y)=y2+1
Zatem na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
(f−1)′(y)=1f′(x)=112√x−1⋅1=2√x−1=⋯
Wracając do podstawienia
⋯=2√y2+1−1=2y.
Odpowiedź
Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=√x−1, dla x>1 jest
(f−1)′(y)=2y.
(f−1)′(y)=2y.
Funkcja 2
f(x)=5x−x5, dla y0=4
Rozwiązanie
Aby skorzystać z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej należy upewnić się, że dana funkcja spełnia założenia tego twierdzenia, tj.
Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.
Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=5x−x5 spełnia te założenia dla x∈R.
- jest ciągła w każdym punkcie dziedziny,
- jest rosnąca lub malejąca w każdym punkcie dziedziny,
- ma pochodną właściwą f′(x)≠0.
Jeśli spełnia, można budować pochodną funkcji odwrotnej na podstawie twierdzenia.
Sprawdzamy, czy funkcja f(x)=5x−x5 spełnia te założenia dla x∈R.
- Funkcja jest różnicą funkcji elementarnych, zatem jest ciągła dla każdego x∈R.
- Funkcja jest funkcją rosnącą dla każdego x∈R.
- Funkcja ma pochodną właściwą różną od zera, dla każdego x∈R.

Ustalamy, że przy spełnionych założeniach (1)−(3):
5x−x5=4 ⇔ x=1
Korzystamy więc z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, licząc pochodną funkcji f dla x=1.
(f−1)′(4)=1f′(x)=15xln5−5x4|x=1=15ln5−5=15(ln5−1)
5x−x5=4 ⇔ x=1
Korzystamy więc z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej, licząc pochodną funkcji f dla x=1.
(f−1)′(4)=1f′(x)=15xln5−5x4|x=1=15ln5−5=15(ln5−1)
Odpowiedź
Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f w punkcie y0=4 jest (f−1)′(4)=15(ln5−1).
Polecenie
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz (f−1)′(y).
Funkcja 1
f(x)=5lnx, dla x>0
Odpowiedź
Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f jest funkcja (f−1)′(y)=15e15y.
Funkcja 2
f(x)=7x+cosx, dla y0=1
Odpowiedź
Pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f, dla y0=1 jest:
(f−1)′(1)=17
(f−1)′(1)=17
Rozwiązanie
Wyznaczając pochodną funkcji odwrotnej do funkcji f(x)=7x+cosx, dla y0=1 ustalamy, dla jakiego argumentu x wartość funkcji f wynosi 1.
y=f(x)=7x+cosx7x+cosx=1 ⇔ x=0f(0)=1
Funkcja jest dla każdego x∈R, zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
(f−1)′(1)=1f′(0)=17−sinx|x=0=17−sin0=17.
y=f(x)=7x+cosx7x+cosx=1 ⇔ x=0f(0)=1
Funkcja jest dla każdego x∈R, zatem korzystamy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej.
(f−1)′(1)=1f′(0)=17−sinx|x=0=17−sin0=17.
