Zadanie 6.1.7
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.1 Pochodne. Pochodne jednostronne
  4. Zadanie 6.1.7

 Polecenie

Wyznacz \(n\) - tą pochodną funkcji \(f\) dla \(n\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}.\)

 Wskazówki

Definicja pochodnej właściwej \(n\) - tego rzędu funkcji

Pochodną właściwą \(n\) - tego rzędu funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) można zdefiniować indukcyjnie jako:
\[f^{(n)}(x_{0})\stackrel{def}=\left [ f^{(n-1)} \right ]'(x_{0}), \ \ \textrm{ dla } n\geqslant 2,\]
gdzie \(f^{(1)}(x_{0})\stackrel{def}=f'(x_{0}),\) ponadto \(f^{(0)}(x_{0})\stackrel{def}=f(x_{0}).\)

Funkcję określoną na zbiorze o wartościach w punktach \(x\) tego zbioru są równe \(f^{(n)}(x),\) nazywamy pochodną \(n\) - tego rzędu funkcji \(f\) na tym zbiorze i oznaczamy przez \(f^{(n)}.\)
Uwaga
Piszemy zwykle \(f', f'', f''', f^{(4)}, f^{(5)}, \cdots.\) W fizyce stosuje się często zapis: \(\dot{f}, \ddot{f}, \cdots.\)

Oznaczenia pochodnych i ich nazwy

\(f, f', f'', f''', f^{(4)}, f^{(5)}, \cdots, f^{(n)}\) oznaczenie Lagrange'a
\({\displaystyle f, \frac{\mathrm{d}f }{\mathrm{d} x}, \frac{\mathrm{d}^{2}f }{\mathrm{d} x^{2}}, \frac{\mathrm{d}^{3}f }{\mathrm{d} x^{3}}, \cdots , \frac{\mathrm{d}^{(n)}f }{\mathrm{d} x^{(n)}}}\) oznaczenie Leibniza
\(f, Df, D^{2}f, D^{3}f, \cdots, D^{(n)}f\) oznaczenie Cauchy'ego

 Funkcja 1

\(f(x)=12x^{4}+6\)

 Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji \(f,\) korzystając ze wzoru \((x^{n})'=nx^{n-1}.\)
\(f(x)=\) \(12x^{3}+6\)
\(f'(x)=\) \(36x^{2}\)
\(f''(x)=\) \(72x\)
\(f'''(x)=\) \(72\)
\(f^{(4)}(x)=\) \(0\)
Z tabeli wynika, że każda kolejna pochodna również będzie równa \(0.\)
Możemy zatem zapisać ogólnie wzór na \(n\) - tą pochodną:
\[f^{(n)}(x)=0, \textrm{ dla } x \geqslant 4.\]

 Funkcja 2

\(f(x)=\sin x+\cos ^{2}x\)

 Rozwiązanie

Liczymy kolejne pochodne funkcji \(f(x)=\sin x+\cos ^{2}x\) korzystając ze wzorów na pochodną  \((\sin x)'=\cos x\)  oraz  \((\cos x)'=-\sin x\) . Wykorzystamy również twierdzenie o  \((f+g)'=f'+g'\)  oraz  \(\Big (g[f(x)]\Big )'=g'[f(x)]\cdot g'(x)\) .
Przekształcamy pierwszą pochodną stosując wzór na  \(\sin2x=2\sin x\cos x\) . Możemy oczywiście nie stosować tego wzoru, jednak wtedy liczenie pochodnych wyższych rzędów byłoby utrudnione.
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=\cos x+2\cos x(-\sin x)=\cos x-2\sin x \cos x=\cos x-\sin 2x\\
f'(x)=\cos x+2\cos x(-\sin x)=\cos x-2\sin x \cos x=\cos x-\sin 2x\\
f''(x)=-\sin x-\cos 2x \cdot 2=-\sin x-2\cos x\\
f'''(x)=-\cos x+2\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=-\cos x-4\sin 2x\\
f^{(4)}(x)=\sin x-4\cdot \cos 2x \cdot 2=\sin x-8 \cos 2x.
\end{array}\]

 Polecenie

Wyznacz \(n\) - tą pochodną funkcji \(f\) dla \(n\in \left \{ 1,2,3,4 \right \}.\)

 Funkcja 1

\(f(x)=x^{2}\sin x\)

 Odpowiedź

\(f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x
\\
f''(x)=(2-x^{2})\sin x+4x \cos x
\\
f'''(x)=-6x\sin x+(6+x^{2})\cos x
\\
f^{(4)}(x)=-(12+x^{2})\sin x-4x\cos x\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{2}\sin x
\\
f'(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x
\\
f''(x)=2\sin x+2x\cos x+2x\cos x+x^{2}(-\sin x)=\\
=2\sin x+2x\cos x+2x\cos x-x^{2}\sin x=\\
=(2-x^{2})\sin x+4x \cos x
\\
f'''(x)=-2x\sin x+(2-x^{2})\cos x+4\cos x+4x(-\sin x)=\\
=-2x\sin x-4x\sin x+(2+x^{2})\cos x+4\cos x=\\
=-6x\sin x+(6+x^{2})\cos x
\\
f^{(4)}(x)=-6\sin x-6x\cos x+2x\cos x+(6+x^{2})(-\sin x)=\\
=(-6-6-x^{2})\sin x+(-6x+2x)\cos x=\\
=-(12+x^{2})\sin x-4x\cos x
\end{array}\]

 Funkcja 2

\({\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{e^{x}}}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle f'(x)=\frac{3x^{2}-x^{3}}{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{x^{3}-6x^{2}+6x }{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f'''(x)=\frac{-x^{3}+9x^{2}-18x+6}{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f^{(4)}(x)=\frac{x^{3}-12x^{2}+36x-24}{e^{x}}}\)

 Rozwiązanie

\({\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{3x^{2}e^{x}-x^{3}e^{x}}{e^{2x}}=
\frac{e^{x}\left (3x^{2}-x^{3}  \right )}{e^{2x}}=
\frac{\cancel{e^{x}}\left (3x^{2}-x^{3}  \right )}{e^{\cancel{2}x}}=
\frac{3x^{2}-x^{3}}{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{\left ( 6x-3x^{2} \right )e^{x}-\left (3x^{2}-x^{3}  \right )e^{x}}{e^{2x}}=
\frac{e^{x}\left ( 6x-3x^{2}-3x^{2}+x^{3}  \right )}{e^{2x}}=}\\
={\displaystyle \frac{\cancel{e^{x}}\left ( x^{3}-6x^{2}+6x  \right )}{e^{\cancel{2}x}}=
\frac{x^{3}-6x^{2}+6x }{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f'''(x)=\frac{\left ( 3x^{2}-12x+6 \right )e^{x}-\left (x^{3}-6x^{2}+6x  \right )e^{x} }{e^{2x}}=}\\
{\displaystyle \frac{e^{x}\left ( 3x^{2}-12x+6 -x^{3}+6x^{2}-6x  \right )}{e^{2x}}=}\\
={\displaystyle \frac{\cancel{e^{x}}\left ( -x^{3}+9x^{2}-18x+6  \right )}{e^{\cancel{2}x}}=
\frac{-x^{3}+9x^{2}-18x+6}{e^{x}}}
\\
{\displaystyle f^{(4)}(x)=\frac{\left ( -3x^{2}+18x-18 \right )e^{x}-\left (-x^{3}+9x^{2}-18x+6  \right )e^{x}}{e^{2x}}=}\\
{\displaystyle \frac{e^{x}\left ( -3x^{2}+18x-18+x^{3}-9x^{2}+18x-6  \right )}{e^{2x}}=}\\
={\displaystyle \frac{\cancel{e^{x}}\left (x^{3}-12x^{2}+36x-24  \right )}{e^{\cancel{2}x}}=
\frac{x^{3}-12x^{2}+36x-24}{e^{x}}}\)

 Polecenie

W zadaniach 1,3 i 4 wybierz dokładnie jedną prawidłową odpowiedź. W zadaniach 2 i 5 zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi (może być ich dowolna ilość).
Uwaga
W poniższych pytaniach wybierz prawidłową odpowiedź/odpowiedzi i kliknij przycisk "Sprawdź". Możesz również sprawdzić poprawność udzielonej
odpowiedzi klikając na końcu przycisk "Sprawdź poprawność odpowiedzi".

Zadanie 1

Wybierz wzór ogólny przedstawiający \(n\) - tą pochodną funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{x}{e^{x}}},\) dla \(n\in \mathbb{N}.\)

Zadanie 2

Ze wzoru na \(n\) - tą pochodną funkcji \(f(x)=\sin x,\) czyli ze wzoru:
\[f^{(n)}(x)=\sin \left ( n\cdot \frac{\pi}{2}+x \right ), \ \textrm{ dla } n\in \mathbb{N},\]
wynika, że:

Zadanie 3

\(12\) - ta pochodna funkcji \(f(x)=\textrm{ sh }x\) w punkcie \(x_{0}=0\) wynosi:

Zadanie 4

Druga pochodna funkcji \(f(x)=x^{x}=e^{x\ln x}\) wynosi:

Zadanie 5

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi, dla \(g(x)=\sqrt{2x-1}.\)

Podsumowanie

 Animacja 6.1.7

Uwaga
Uzupełnij tabelę tak, aby w drugiej kolumnie znalazł się stopień pochodnej podanej funkcji \(f,\) w trzeciej kolumnie argument \(x_{0},\) dla którego liczymy wartość \(n\)-tej pochodnej (jej wartość w punkcie \(x_{0}\) umieszczona jest w czwartej kolumnie).
Aby sprawdzić poprawność udzielonej odpowiedzi kliknij przycisk "Sprawdź". Jeżeli chcesz zobaczyć poprawne rozwiązanie zadania, kliknij przycisk "Rozwiązanie" (tabela uzupełni się w prawidłowe odpowiedzi).