Zadanie 6.2.1

Zadanie 6.2.1
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) we wskazanym punkcie.

Wskazówki

Definicja stycznej funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\)

Styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_{0},f(x_{0}))\) nazywamy graniczną sieczną dla \(A \to S\) \((x \to x_{0}\) oraz \(f(x) \to f(x_{0})).\)
(\(A,S\) - punkty wykresu - patrz rysunek)

Fakt (równanie stycznej do wykresu funkcji)

Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) ma postać:
\[y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).\]

Jeśli pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) jest pochodną niewłaściwą, wówczas styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) jest prosta \(x=x_{0}.\)
Jeśli styczna jest jednostronna, to pochodna jest granicą jednostronną ilorazu różnicowego.
Styczna nie zawsze istnieje, np. nie istnieje styczna do wykresu funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_{0}=0.\)

Interpretacja geometryczna pochodnej

Niech \(\alpha\) oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) i dodatnią częścią osi \(Ox\). Wtedy \[f'(x_{0})=\textrm{tg }\alpha.\]

Funkcja 1

\({\displaystyle f(x)=\frac{3x-2}{x^{2}+1}},\) \((1,f(1))\)

Rozwiązanie

Algorytm

Aby wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) należy skorzystać ze wzoru:
\[y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).\]
W podanym wzorze mamy dane:

\(x,y\) - zmienne - pozostają bez zmian,
\(x_{0}\) - argument podany w zadaniu,

Musimy wyznaczyć:

\(f(x_{0})\) - podstawiając do wzoru na \(f(x)\) argument \(x_{0},\)
\(f'(x_{0})\) - licząc pochodną funkcji \(f\) i podstawiając \(x=x_{0}.\)

Spróbuj wyznaczyć wartość funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{3x-2}{x^{2}+1}}\) dla \(x=1.\)

\({\displaystyle f(1)=\frac{3\cdot 1-2}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}}\)
W kolejnym kroku musimy obliczyć pochodną funkcji \(f\) oraz wartość tej pochodnej w punkcie \(x_{0}=1.\)

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^{2}+1)-(3x-2)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{3x^{2}+3-6x^{2}+4x}{(x^{2}+1)^{2}}=
\frac{-3x^{2}+4x+3}{(x^{2}+1)^{2}}}
\\
{\displaystyle f'(1)=\frac{-3\cdot 1^{2}+4\cdot 1+3}{(1^{2}+1)^{2}}=\frac{4}{4}=1}
\end{array}\]
Wyznacz \({\displaystyle y-\frac{1}{2}=1(x-1)} \\ {\displaystyle y=x-1+\frac{1}{2}} \\ {\displaystyle y=x-\frac{1}{2}}\) do wykresu funkcji \(f\) i zapisz odpowiedź.

Odpowiedź

Styczna do wykresu funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{3x-2}{x^{2}+1}\) w punkcie \((1,f(1))\) ma równanie:
\[y=x-\frac{1}{2}.\]

Funkcja 2

\(f(x)=\ln (2e^{x}+x),\) \((0,f(0))\)

Rozwiązanie

Wyznaczamy wartość funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=0.\)
\[f(x)=\ln(2e^{x}+x)\\
f(0)=\ln(2e^{0}+0)=\ln 2\]
Liczymy pochodną funkcji \(f,\) korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.
\[f'(x)=\frac{1}{2e^{x}+x}\cdot (2e^{x}+1)=\frac{2e^{x}+1}{2e^{x}+x}\]
oraz wartość pochodnej dla \(x_{0}=0\)
\[f'(0)=\frac{2e^{0}+1}{2e^{0}+0}=\frac{3}{2}.\]
Podstawiamy do wzoru na \(y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})\) w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\).
Zatem
\[y-\ln 2=\frac{3}{2}(x-0)\\
y=\frac{3}{2}x+\ln 2.\]

Odpowiedź

Prosta styczna do funkcji \(f(x)=\ln (2e^{x}+x)\) w punkcie \((0,f(0))\) ma równanie \(y=\frac{3}{2}x+\ln 2.\)

Funkcja 3

\( f(x)=e^{{\large \sin 2x}},\) \((\pi, f(\pi))\)

Rozwiązanie

Liczymy wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x_{0}=\pi.\)
\[f(\pi)=e^{{\large \sin 2\pi}}=e^{0}=1\]
Liczymy pochodną funkcji \(f\)
\[f'(x)=e^{{\large \sin 2x}}\cdot \cos 2x\cdot 2=2\cos 2x \cdot e^{{\large \sin 2x}}\]
oraz jej wartość w punkcie \(x_{0}=\pi\)
\[f'(\pi)=2\cos 2\pi \cdot e^{{\large \sin 2\pi}}=2\cdot 1\cdot e^{0}=2.\]
Zapisujemy równanie stycznej do wykresu funkcji \( f(x)=e^{{\large \sin 2x}}\) w punkcie \((\pi, f(\pi))\)
\[y-1=2(x-\pi)\\
y=2x-2\pi+1.\]

Odpowiedź

Styczna do wykresu funkcji \( f(x)=e^{{\large \sin 2x}}\) w punkcie \((\pi, f(\pi))\) ma równanie \(y=2x-2\pi+1.\)

Funkcja 4

\({\displaystyle f(x)=\frac{4\ln x}{x^{2}}},\) \((\sqrt{e}, f(\sqrt{e}))\)

Rozwiązanie

Krok 1

Na początku wyznaczamy wartość funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{4\ln x}{x^{2}}}\) w punkcie \((\sqrt{e}, f(\sqrt{e})).\) Wybierz właściwą odpowiedź.

\[f(\sqrt{e})=\frac{\ln 2}{e}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(\sqrt{e})=\frac{2}{e^{2}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(\sqrt{e})=\frac{2}{e}\]

Odpowiedź prawidłowa

\(f(\sqrt{e})={\displaystyle \frac{4\ln \sqrt{e}}{\sqrt{e}^{2}}=\frac{4\cdot \frac{1}{2}}{e}=\frac{2}{e}}\)

Krok 2

Pochodna funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{4\ln x}{x^{2}}}\) wynosi:

\[f'(x)=\frac{4x-8x\ln x}{x^{4}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f'(x)=\frac{4x-8x\ln x}{x^{2}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f'(x)=\frac{4x-8\ln x^{2}}{x^{4}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{4}{x}\cdot x^{2}-4\ln x\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{4x-8x\ln x}{x^{4}}}\)

Krok 3

Wartość pochodnej dla argumentu \(x_{0}=\sqrt{e}\) wynosi:

\[f'(\sqrt{e})=0\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f'(\sqrt{e})=\frac{4\sqrt{e}-8e}{e^{2}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f'(\sqrt{e})=-\frac{4\sqrt{e}}{e^{2}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle f'(\sqrt{e})=\frac{4\sqrt{e}-8\sqrt{e}\ln \sqrt{e}}{\sqrt{e}^{4}}=\frac{4\sqrt{e}-4\sqrt{e}}{e^{2}}=0}\)

Krok 4

W czwartym kroku należy zapisać równanie stycznej do wykresu funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{4\ln x}{x^{2}}}\) w punkcie \((\sqrt{e}, f(\sqrt{e})).\) Wybierz jedną prawidłową odpowiedź.

\[y=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[y=\frac{2}{e}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[y=e\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\( y-\displaystyle\frac{2}{e}=0(x-\sqrt{e})\\ y-\displaystyle\frac{2}{e}=0\\ y=\displaystyle\frac{2}{e}\)

Odpowiedź

Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{4\ln x}{x^{2}}\) w punkcie \((\sqrt{e}, f(\sqrt{e}))\) ma postać \(y=\displaystyle\frac{2}{e}.\)

6.2 Interpretacja geometryczna pochodnej

Polecenie

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) we wskazanym punkcie.

Funkcja 1

\(f(x)=\sqrt{x^{2}-4}, \ \ (3,f(3))\)

Odpowiedź

Prostą styczną do wykresu funkcji \(f(x)=\sqrt{x^{2}-4}\) w punkcie \((3,f(3))\) jest prosta o równaniu \({\displaystyle y=\frac{3\sqrt{5}}{5}x-\frac{4\sqrt{5}}{5}}.\)

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}-4}}
\\
{\displaystyle f(3)=\sqrt{3^{2}-4}=\sqrt{5}}
\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}-4}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}}
\\
{\displaystyle f'(3)=\frac{3}{\sqrt{3^{2}-4}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}}
\end{array}\]
Zatem prosta styczna do funkcji \(f\) w punkcie \((3,\sqrt{5})\) ma równanie:
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle y-\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{5}(x-3)}\\
{\displaystyle y=\frac{3\sqrt{5}}{5}x-\frac{9\sqrt{5}}{5}+\sqrt{5}}\\
{\displaystyle y=\frac{3\sqrt{5}}{5}x-\frac{4\sqrt{5}}{5}}
\end{array}\]

Funkcja 2

\(f(x)=x^{e^{x}},\ \ (1, f(1))\)

Odpowiedź

Prosta styczna do wykresu funkcji \(f(x)=x^{e^{x}}\) w punkcie \((1, f(1))\) ma równanie \(y=ex-e+1.\)

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{e^{x}}\\
f(1)=1^{e^{1}}=1^{e}=1\\
f(x)=x^{e^{x}}=e^{e^{x}\ln x}\\
f'(x)=e^{e^{x}\ln x}\left ( e^{x}\cdot \frac{1}{x}+e^{x}\ln x \right )\\
f'(1)=e^{e^{1}\ln 1}\left ( e^{1}\cdot \frac{1}{1}+e^{1}\ln 1 \right )=e^{0}\left ( e+0 \right )=e\\
\\
y-1=e(x-1)\\
y=ex-e+1.
\end{array}\]

Funkcja 3

\({\displaystyle f(x)=\textrm{arctg }\frac{x}{3}}, \ \ (3,f(3))\)

Odpowiedź

Równanie prostej stycznej do wykresu funkcji \({\displaystyle f(x)=\textrm{arctg }\frac{x}{3}}\) w punkcie \((3,f(3))\) ma postać \({\displaystyle y=\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}}.\)

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=\textrm{arctg }\frac{x}{3}}\\
{\displaystyle f(3)=\textrm{arctg }\frac{3}{3}=\textrm{arctg }1=\frac{\pi}{4}}\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+\left ( \frac{\pi}{3} \right )^{2}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3+\frac{x^{2}}{3}}=\frac{3}{9+x^{2}}}\\
{\displaystyle f'(3)=\frac{3}{9+9}=\frac{1}{6}}\\
\\
{\displaystyle y-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{6}(x-3)}\\
{\displaystyle y=\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}}
\end{array}\]

Zadanie 6.2.2