Zadanie 6.2.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.2 Interpretacja geometryczna pochodnej
  4. Zadanie 6.2.2

 Polecenie

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) spełniającej dodatkowo podany warunek:

 Wskazówki

Definicja stycznej funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\)

Styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_{0},f(x_{0}))\) nazywamy graniczną sieczną dla \(A \to S\) \((x \to x_{0}\) oraz \(f(x) \to f(x_{0})).\)
(\(A,S\) - punkty wykresu - patrz rysunek)
rysunek_6.2.1.1
Fakt (równanie stycznej do wykresu funkcji)
Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) ma postać:
\[y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).\]

  • Jeśli pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) jest pochodną niewłaściwą, wówczas styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}\) jest prosta   \(x=x_{0}.\)
  • Jeśli styczna jest jednostronna, to pochodna jest granicą jednostronną ilorazu różnicowego.
  • Styczna nie zawsze istnieje, np. nie istnieje styczna do wykresu funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_{0}=0.\)

Interpretacja geometryczna pochodnej

Niech \(\alpha\) oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) i dodatnią częścią osi \(Ox\). Wtedy \[f'(x_{0})=\textrm{tg }\alpha.\]
rysunek_6.2.1.2

 Warunek 1

\(f(x)=3x^{3}-2x-11\) oraz styczna jest równoległa do prostej \(2x-y+2=0.\)

 Rozwiązanie

Ponieważ w równaniu stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=3x^{3}-2x-11\) współczynnikiem kierunkowym jest pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0},\) zatem odczytujemy współczynnik kierunkowy z równania prostej, do której ma być równoległa \[2x-y+2=0 \ \ \Rightarrow \ \ y=2x+2.\] Współczynnik kierunkowy wynosi \(2\) zatem \[f'(x_{0})=2.\]
Liczymy pochodną funkcji \(f\) dla argumentu \(x_{0}\) i porównujemy do \(2.\) Z powstałego równania wyznaczamy \(x_{0}.\)
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=9x^{2}-2\\
f'(x_{0})=9x^{2}_{0}-2\\
9x_{0}^{2}-2=2\\
9x_{0}^{2}-4=0\\
(3x_{0}-2)(3x_{0}+2)=0\\
{\displaystyle x_{0}=\frac{2}{3} \ \ \vee \ \ x_{0}=-\frac{2}{3}}
\end{array}\]
Widać, że istnieją dwie proste styczne do wykresu funkcji \(f\) jednocześnie równoległe do prostej \( y=2x+2\) (patrz rysunek).
rysunek_6.2.2.1
Wyznaczamy równania stycznych.
Dla \(x=\displaystyle\frac{2}{3}:\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f \Big (\frac{2}{3}\Big )=3\cdot \left ( \frac{2}{3} \right )^{3}-2\cdot \frac{2}{3}-11=-11\frac{4}{9}}\\
{\displaystyle f'\Big (\frac{2}{3}\Big )=2}\\
{\displaystyle k: \ y+11\frac{4}{9}=2\left (x-\frac{2}{3}\right )}\\
{\displaystyle k: \ y=2x-\frac{4}{3}-11\frac{4}{9}}\\
{\displaystyle k: \ y=2x-12\frac{7}{9}}
\end{array}\]
oraz dla \(x=-\displaystyle\frac{2}{3}:\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f\Big (-\frac{2}{3}\Big )=3\cdot \left ( -\frac{2}{3} \right )^{3}+2\cdot \frac{2}{3}-11=-10\frac{5}{9}}\\
{\displaystyle f'\Big (-\frac{2}{3}\Big )=2}\\
{\displaystyle l: \ y+10\frac{5}{9}=2\left ( x+\frac{2}{3}\right )}\\
{\displaystyle l: \ y=2x+\frac{4}{3}-10\frac{5}{9}}\\
{\displaystyle l: \ y=2x-9\frac{2}{9}.}
\end{array}\]

 Odpowiedź

Równania stycznych do wykresu funkcji \(f(x)=3x^{3}-2x-11\) mają postać \({\displaystyle k: \ y=2x-12\frac{7}{9}, \ \  l: \ y=2x-9\frac{2}{9}.}\)

 Warunek 2

\(f(x)=e^{x}-x\) oraz styczna tworzy z dodatnią częścią osi \(Ox\) kąt \(\displaystyle\frac{\pi}{4}.\)

 Rozwiązanie

Korzystamy z geometrycznej interpretacji pochodnej, tj. \(f'(x_{0})=\textrm{ tg }\alpha.\)
Wyznaczamy taki argument, dla którego wartość pierwszej pochodnej jest równa tangensowi kąta \(\displaystyle\frac{\pi}{4}.\)
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=e^{x}-1\\
f'(x_{0})=\textrm{ tg }\alpha\\
e^{x_{0}}-1=\textrm{ tg }\frac{\pi}{4}\\
e^{x_{0}}-1=1\\
e^{x_{0}}=2\\
\ln e^{x_{0}}=\ln 2\\
x_{0}=\ln 2\\
\end{array}\]
Zatem dla \(x_{0}=\ln 2\) styczna do wykresu funkcji \(f(x)=e^{x}-x\) będzie przecinać oś \(Ox\) pod kątem \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) (patrz rysunek).
rysunek_6.2.2.2
Liczymy wartość funkcji \(f(x)=e^{x}-x\) oraz jej pierwszej pochodnej dla argumentu \(x=\ln 2.\)
\[ \begin{array}{l}
f(\ln 2)=e^{\ln 2}-\ln 2 = 2-\ln 2\\
f'(\ln 2)=1
\end{array}\]
Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=e^{x}-x\) w punkcie \((\ln 2, f(\ln 2))\)
\[ \begin{array}{l}
y-(2-\ln 2)=1\cdot \left ( x-\ln 2 \right )\\
y=x-\ln 2+2\ln 2\\
y=x+2-2\ln 2.
\end{array}\]

 Odpowiedź

Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=e^{x}-x,\) tworzącej z dodatnią częścią osi \(Ox\) kąt \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) ma postać \(y=x+2-2\ln 2.\)

 Warunek 3

\(f(x)=\ln x\) oraz jednocześnie jest to styczna do wykresu funkcji \(g(x)=\ln(x-3)+4.\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

Prosta styczna do wykresów dwóch funkcji \(f\) i \(g\)  jednocześnie, to prosta, która jest styczna do wykresu funkcji \(f\) w pewnym punkcie \((x_{1}, f(x_{1}))\) oraz do wykresu funkcji \(g\) w pewnym punkcie \((x_{2}, g(x_{2})).\)
Dla ułatwienia przedstawimy sytuację na rysunku.
rysunek_6.2.2.3
Aby napisać równania stycznych do obu tych funkcji wyznacz wartości funkcji i ich pochodnych dla danych argumentów.

 Krok 2

\[\begin{align}
\begin{array}{l}
f(x)=\ln x &g(x)=\ln(x-3)+4\\
f'(x)=\displaystyle\frac{1}{x} &g'(x)=\displaystyle\frac{1}{x-3}\\
f'(x_{1})=\displaystyle\frac{1}{x_{1}} &g'(x_{2})=\displaystyle\frac{1}{x_{2}-3}
\end{array}
\end{align}\]

Mając już wyznaczone powyższe równości, podstawiamy kolejno do  \(y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})\) .
Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=\ln x\) w punkcie \((x_{1}, f(x_{1}))\) oraz równanie stycznej do wykresu funkcji \(g(x)=\ln(x-3)+4\) w punkcie \((x_{2}, g(x_{2})).\)

 Krok 3

\[l:  \begin{cases}
y-\ln x_{1}=\displaystyle\frac{1}{x_{1}}(x-x_{1})& \textrm{ - równanie stycznej do wykresu funkcji } f(x)=\ln x \textrm{ w punkcie } (x_{1}, f(x_{1}))\\
y-\ln (x_{2}-3)-4=\displaystyle\frac{1}{x_{2}-3}(x-x_{2})& \textrm{ - równanie stycznej do wykresu funkcji } g(x)=\ln(x-3)+4  \textrm{ w punkcie  }(x_{2}, g(x_{2}))
\end{cases}\]
Przekształcamy równania stycznych do postaci \(y=ax+b.\)
Ponieważ w układzie mamy dwa równania, które opisują tą samą prostą (styczną), zatem wystarczy porównać współczynniki. Stwórz kolejny układ równań, porównując współczynniki.

 Krok 4

Upraszczając układ równań dostaniemy:
\[l:  \begin{cases}
y-\ln x_{1}=\displaystyle\frac{1}{x_{1}}(x-x_{1})\\
y-\ln (x_{2}-3)-4=\displaystyle\frac{1}{x_{2}-3}(x-x_{2})
\end{cases}\\
\begin{cases}
y=\displaystyle\frac{1}{x_{1}}x-1+\ln x_{1}\\
y={\displaystyle\frac{1}{x_{2}-3}x-\frac{x_{2}}{x_{2}-3}+\ln (x_{2}-3)+4}
\end{cases}\]
Porównując współczynniki w powyższym układzie równań dostaniemy zatem:
\[ \begin{array}{l}
\begin{cases}
{\displaystyle \frac{1}{x_{1}}=\frac{1}{x_{2}-3}}\\
{\displaystyle -1+\ln x_{1}=-\frac{x_{2}}{x_{2}-3} +\ln (x_{2}-3)+4}
\end{cases}\\
\begin{cases}
{\displaystyle x_{1}=x_{2}-3}\\
{\displaystyle -1+\cancel{\ln (x_{2}-3)}=-\frac{x_{2}}{x_{2}-3} +\cancel{\ln (x_{2}-3)}+4}
\end{cases}\\
\begin{cases}
{\displaystyle x_{1}=x_{2}-3}\\
{\displaystyle \frac{x_{2}}{x_{2}-3}=5}
\end{cases}\\
\begin{cases}
{\displaystyle x_{1}=x_{2}-3}\\
{\displaystyle x_{2}=5x_{2}-15}
\end{cases}\\
\begin{cases}
{\displaystyle x_{1}=x_{2}-3}\\
{\displaystyle x_{2}=\frac{15}{4}}
\end{cases}\\
\begin{cases}
{\displaystyle x_{1}=\frac{3}{4}}\\
{\displaystyle x_{2}=\frac{15}{4}}
\end{cases}
\end{array}\]  
Zapisujemy zatem równanie stycznej jednocześnie do wykresów funkcji \(f\) i \(g.\)

 Krok 5

Podstawiamy do dowolnego równania, np za \(x_{1}=\displaystyle\frac{3}{4}\) do równania \(y=\displaystyle\frac{1}{x_{1}}x-1+\ln x_{1}.\)
\[y=\frac{4}{3}x+\ln \frac{3}{4}-1\]

 Odpowiedź

Styczna jednocześnie do wykresów funkcji \(f(x)=\ln x\)i \(g(x)=\ln(x-3)+4\) ma postać \({\displaystyle y=\frac{4}{3}x+\ln \frac{3}{4}-1}.\)
\(1.\) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=\sqrt{x},\) która jest prostopadła do prostej o równaniu \(-2x-6y=3.\)

 Odpowiedź

Prostą styczną do wykresu funkcji \(f(x)=\sqrt{x}\) i prostopadłą do prostej \(-2x-6y=3\) jest prosta o równaniu \(y=3x+\displaystyle\frac{1}{12}.\)

 Rozwiązanie

Prosta styczna do wykresu funkcji \(f(x)=\sqrt{x}\) i prostopadła do prostej \(-2x-6y=3\) będzie miała współczynnik kierunkowy \((f'(x_{0}))\) równy \(3,\) gdyż \[-2x-6y=3 \ \ \Rightarrow \ \ -6y=2x+3 \ \ \Rightarrow \ \ y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}.\]
Zatem \(f'(x_{0})=3.\) Liczymy pochodną funkcji \(f\) i tworzymy równanie, aby wyznaczyć argument, dla którego pochodna ma wartość \(3.\)
\[ \begin{array}{l}  
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}\\
{\displaystyle f'(x_{0})=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}}\\
{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=3}\\
{\displaystyle 6\sqrt{x_{0}}=1}\\
{\displaystyle \sqrt{x_{0}}=\frac{1}{6}}\\
{\displaystyle x_{0}=\frac{1}{36}}
\end{array}\]
Liczymy wartość funkcji dla wyznaczonego argumentu
\[{\displaystyle f\left (\frac{1}{36}\right )=\sqrt{\frac{1}{36}}=\frac{1}{6}}\]
i zapisujemy równanie stycznej
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle y-\frac{1}{6}=3\left ( x-\frac{1}{36} \right )}\\
{\displaystyle y=3x-\frac{3}{36}+\frac{1}{6}}\\
{\displaystyle y=3x-\frac{1}{12}+\frac{2}{12}}\\
{\displaystyle l:  y=3x+\frac{1}{12}}.
\end{array}\]
rysunek_6.2.2.5
\(2.\) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=5^{x}\) w punkcie jego przecięcia z prostą \(x+y=1.\)

 Odpowiedź

Styczna do wykresu funkcji \(f(x)=5^{x}\) w punkcie jego przecięcia się z prosta  \(x+y=1\) ma równanie \(y=x \ln 5 +1.\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy styczną do wykresu funkcji \(f(x)=5^{x}\) w punkcie jego przecięcia się z prosta  \(x+y=1.\)
Prosta \(y=-x+1\) przyjmuje tą samą wartość co funkcja \(f(x)=5^{x}\) tylko dla jednego argumentu (patrz rysunek).
rysunek_6.2.2.4
\[5^{x}=-x+1 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0\]
Liczymy wartość funkcji \(f\) i jej pochodnej dla \(x_{0}=0\)
\[ \begin{array}{l}
f(0)=1\\
f'(x)=5^{x}\ln 5\\
f'(0)=1\cdot \ln 5=\ln 5\\
\end{array}\]
Możemy już zapisać równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \((0, 1).\)
\[ \begin{array}{l}
y-1=\ln 5(x-0)\\
y=x \ln 5 +1.
\end{array}\]
\(3.\) Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(g,\) będącej obrazem wykresu funkcji \(f(x)=x^{2}-3\) w symetrii względem osi \(Ox\) w punkcie przecięcia się funkcji \(f\) i \(g.\)

 Odpowiedź

Stycznymi do wykresu funkcji \(g(x)=-x^{2}+3\) będącego obrazem wykresu funkcji \(f(x)=x^{2}-3\) w symetrii względem osi \(Ox,\) w punktach przecięcia się wykresów obu funkcji, są proste o równaniach:  \(y=-2\sqrt{3}x+6\) oraz \(y=2\sqrt{3}x+6.\)

 Rozwiązanie

Obrazem funkcji \(f(x)=x^{2}-3\) w symetrii względem osi \(Ox\) jest funkcja \(g(x)=-x^{2}+3.\) Funkcje te przecinają się w dwóch punktach. Wyznaczamy je porównując wartości obu funkcji.
\[ \begin{array}{l}
x^{2}-3=-x^{2}+3\\
2x^{2}-6=0\\
x^{2}-3=0\\
(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0\\
x=\sqrt{3} \ \vee \ x=-\sqrt{3}
\end{array}\]
Zatem funkcje mają dwa punkty przecięcia i w związku z tym istnieją dwie styczne do wykresu funkcji \(g\) (patrz rysunek).
rysunek_6.2.2.6
\[ \begin{array}{l}
g(x)=-x^{2}+3\\
g'(x)=-2x
\end{array}\]
Dla \(x=\sqrt{3}\)
\[ \begin{array}{l}
g(\sqrt{3})=0\\
g'(\sqrt{3})=-2\cdot \sqrt{3}=-2\sqrt{3}\\
y-0=-2\sqrt{3}(x-\sqrt{3})\\
y=-2\sqrt{3}x+6
\end{array}\]
Dla \(x=-\sqrt{3}\)
\[ \begin{array}{l}
g(-\sqrt{3})=0\\
g'(-\sqrt{3})=-2\cdot(- \sqrt{3})=2\sqrt{3}\\
y-0=2\sqrt{3}(x+\sqrt{3})\\
y=2\sqrt{3}x+6.
\end{array}\]