Zadanie 6.2.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.2 Interpretacja geometryczna pochodnej
  4. Zadanie 6.2.3

 Polecenie

Oblicz miarę kąta, pod jakim przecinają się wykresy funkcji \(f\) i \(g.\)

 Wskazówki

Definicja kąta przecięcia się wykresów funkcji

Niech funkcje \(f\) i \(g\) przecinają się w punkcie \((x_{0}, y_{0})\) i mają pochodne właściwe w punkcie \(x_{0}.\) Kątem przecięcia się wykresów funkcji \(f\) i \(g\) nazywamy kąt ostry \(\varphi \) miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.
rysunek_6.2.3.1

Fakt (o mierze kąta między wykresami funkcji)

Miara kąta przecięcia wykresów funkcji \(f\) i \(g\) wyraża się wzorem
\[\varphi =\textrm{arctg }\left | \frac{f'(x_{0})-g'(x_{0})}{1+f'(x_{0})g'(x_{0})} \right |,\]
gdzie \(x_{0}\) jest rzędną punktu przecięcia się wykresów.
Jeżeli \(f'(x_{0})g'(x_{0})=-1,\) to przyjmujemy, że \(\varphi =\displaystyle\frac{\pi}{2}.\)

 Kąt 1

\(f(x)=e^{2x}, \ \ g(x)=e^{\sqrt{x}}, \ \ x \gt 0\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy miejsce przecięcia się wykresów funkcji \(f(x)=e^{2x}\) i \( g(x)=e^{\sqrt{x}},\) dla \( x>0\) tworząc równanie 
\[ \begin{array}{l}
e^{2x}=e^{\sqrt{x}}\\
2x=\sqrt{x}\ \ /()^{2}\\
4x^{2}=x\\
4x^{2}-x=0\\
x(4x-1)=0\\
x=0 \ \ \vee \ \ {\displaystyle x=\frac{1}{4}}
\end{array}\]
Ponieważ \(x>0\) zatem odrzucamy pierwsze rozwiązanie \(x=0\). 
Liczymy zatem pochodne funkcji \(f\) i \(g\) w punkcie \({\displaystyle x=\frac{1}{4}}.\)
\[\begin{align}
\begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=2e^{2x}} && {\displaystyle g'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}\\
{\displaystyle f'(\frac{1}{4})=2e^{2\cdot \frac{1}{4}}} && {\displaystyle g'(\frac{1}{4})=\frac{e^{\sqrt{\frac{1}{4}}}}{2\sqrt{\frac{1}{4}}}}\\
{\displaystyle f'(\frac{1}{4})=2e^{\frac{1}{2}}} && {\displaystyle g'(\frac{1}{4})=\frac{e^{\frac{1}{2}}}{1}}\\
{\displaystyle f'(\frac{1}{4})=2\sqrt{e}} && {\displaystyle g'(\frac{1}{4})=\sqrt{e}}\\
\end{array}
\end{align}\]
Liczymy wartość kąta między stycznymi do wykresów funkcji \(f\) i \(g\) w punkcie \(x_{0}={\displaystyle\frac{1}{4}}\)
\[\varphi =\textrm{arctg }\left | \frac{2\sqrt{e}-\sqrt{e}}{1+2\sqrt{e}\cdot \sqrt{e}} \right |=\\
=\textrm{arctg }\left | \frac{\sqrt{e}}{1+2e} \right |\approx \textrm{arctg }0,256 \approx 14,37^{\circ } .\]
Aby wyznaczyć \(\textrm{arctg }0,256\) odczytujemy dla jakiego kąta \(\varphi:\) \(\textrm{ tg }\varphi =0,256.\) Możemy skorzystać z kalkulatora lub .
α sinα cosα tgα ctgα
0° 0 1 0 -
1° 0.0175 0.9998 0.0175 57.29
2° 0.0349 0.9994 0.0349 28.6363
3° 0.0523 0.9986 0.0524 19.0811
4° 0.0698 0.9976 0.0699 14.3007
5° 0.0872 0.9962 0.0875 11.4301
6° 0.1045 0.9945 0.1051 9.5144
7° 0.1219 0.9925 0.1228 8.1443
8° 0.1392 0.9903 0.1405 7.1154
9° 0.1564 0.9877 0.1584 6.3138
10° 0.1736 0.9848 0.1763 5.6713
11° 0.1908 0.9816 0.1944 5.1446
12° 0.2079 0.9781 0.2126 4.7046
13° 0.225 0.9744 0.2309 4.3315
14° 0.2419 0.9703 0.2493 4.0108
15° 0.2588 0.9659 0.2679 3.7321
16° 0.2756 0.9613 0.2867 3.4874
17° 0.2924 0.9563 0.3057 3.2709
18° 0.309 0.9511 0.3249 3.0777
19° 0.3256 0.9455 0.3443 2.9042
20° 0.342 0.9397 0.364 2.7475
21° 0.3584 0.9336 0.3839 2.6051
22° 0.3746 0.9272 0.404 2.4751
23° 0.3907 0.9205 0.4245 2.3559
24° 0.4067 0.9135 0.4452 2.246
25° 0.4226 0.9063 0.4663 2.1445
26° 0.4384 0.8988 0.4877 2.0503
27° 0.454 0.891 0.5095 1.9626
28° 0.4695 0.8829 0.5317 1.8807
29° 0.4848 0.8746 0.5543 1.804
30° 0.5 0.866 0.5774 1.7321
31° 0.515 0.8572 0.6009 1.6643
32° 0.5299 0.848 0.6249 1.6003
33° 0.5446 0.8387 0.6494 1.5399
34° 0.5592 0.829 0.6745 1.4826
35° 0.5736 0.8192 0.7002 1.4281
36° 0.5878 0.809 0.7265 1.3764
37° 0.6018 0.7986 0.7536 1.327
38° 0.6157 0.788 0.7813 1.2799
39° 0.6293 0.7771 0.8098 1.2349
40° 0.6428 0.766 0.8391 1.1918
41° 0.6561 0.7547 0.8693 1.1504
42° 0.6691 0.7431 0.9004 1.1106
43° 0.682 0.7314 0.9325 1.0724
44° 0.6947 0.7193 0.9657 1.0355
45° 0.7071 0.7071 1 1
α sinα cosα tgα ctgα
45° 0.7071 0.7071 1 1
46° 0.7193 0.6947 1.0355 0.9657
47° 0.7314 0.682 1.0724 0.9325
48° 0.7431 0.6691 1.1106 0.9004
49° 0.7547 0.6561 1.1504 0.8693
50° 0.766 0.6428 1.1918 0.8391
51° 0.7771 0.6293 1.2349 0.8098
52° 0.788 0.6157 1.2799 0.7813
53° 0.7986 0.6018 1.327 0.7536
54° 0.809 0.5878 1.3764 0.7265
55° 0.8192 0.5736 1.4281 0.7002
56° 0.829 0.5592 1.4826 0.6745
57° 0.8387 0.5446 1.5399 0.6494
58° 0.848 0.5299 1.6003 0.6249
59° 0.8572 0.515 1.6643 0.6009
60° 0.866 0.5 1.7321 0.5774
61° 0.8746 0.4848 1.804 0.5543
62° 0.8829 0.4695 1.8807 0.5317
63° 0.891 0.454 1.9626 0.5095
64° 0.8988 0.4384 2.0503 0.4877
65° 0.9063 0.4226 2.1445 0.4663
66° 0.9135 0.4067 2.246 0.4452
67° 0.9205 0.3907 2.3559 0.4245
68° 0.9272 0.3746 2.4751 0.404
69° 0.9336 0.3584 2.6051 0.3839
70° 0.9397 0.342 2.7475 0.364
71° 0.9455 0.3256 2.9042 0.3443
72° 0.9511 0.309 3.0777 0.3249
73° 0.9563 0.2924 3.2709 0.3057
74° 0.9613 0.2756 3.4874 0.2867
75° 0.9659 0.2588 3.7321 0.2679
76° 0.9703 0.2419 4.0108 0.2493
77° 0.9744 0.225 4.3315 0.2309
78° 0.9781 0.2079 4.7046 0.2126
79° 0.9816 0.1908 5.1446 0.1944
80° 0.9848 0.1736 5.6713 0.1763
81° 0.9877 0.1564 6.3138 0.1584
82° 0.9903 0.1392 7.1154 0.1405
83° 0.9925 0.1219 8.1443 0.1228
84° 0.9945 0.1045 9.5144 0.1051
85° 0.9962 0.0872 11.4301 0.0875
86° 0.9976 0.0698 14.3007 0.0699
87° 0.9986 0.0523 19.0811 0.0524
88° 0.9994 0.0349 28.6363 0.0349
89° 0.9998 0.0175 57.29 0.0175
90° 1 0 - 0
Tabela przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych
rysunek_6.2.3.2

 Odpowiedź

Kąt przecięcia się wykresów funkcji \(f(x)=e^{2x}\) i \(g(x)=e^{\sqrt{x}},\) dla \(x \gt 0\) ma miarę \(14,37^{\circ }.\)

 Kąt 2

\(f(x)=\ln x,\ \ g(x)=\sqrt{x}-1\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy punkt przecięcia się wykresów funkcji \(f(x)=\ln x\) i \(g(x)=\sqrt{x}-1.\)
Spróbuj wyznaczyć argument, dla którego obie funkcje przyjmują tę samą wartość.
\[f(x)=g(x) \ \Leftrightarrow \ \ln x=\sqrt{x}-1=0 \ \Leftrightarrow  \ x=1\]
rysunek_6.2.3.3
Zatem liczymy pochodne funkcji \(f\) i \(g\) w punkcie \(x_{0}=1.\)
Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_{0}=1.\)
\[f(x)=\ln x\\
f'(x)=\frac{1}{x}\\
f'(1)=\frac{1}{1}=1\]
Pochodna funkcji \(g\) w punkcie \(x_{0}=1.\)
\[g(x)=\sqrt{x}-1\\
g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\
g'(1)=\frac{1}{2}\]
Podstawiamy do wzoru na miarę kąta przecięcia się wykresów funkcji \(f\) i \(g.\)
\[\varphi =\textrm{ arctg }\left | \frac{1-\frac{1}{2}}{1+1\cdot \frac{1}{2}} \right |=
\textrm{ arctg }\left | \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} \right |=\\
=\textrm{ arctg }\left |\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\right |=
\textrm{ arctg }\left |\frac{1}{3}\right |=\textrm{ arctg }\frac{1}{3}\]
\[\varphi =\textrm{ arctg }\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow \ \
\textrm{tg }\varphi  =\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow  \ \
\varphi \approx 18,43^{\circ }\]

 Odpowiedź

Miara kąta przecięcia się wykresów funkcji \(f(x)=\ln x\) i \(g(x)=\sqrt{x}-1\) wynosi \(\varphi \approx 18,43^{\circ }.\)

 Polecenie

Oblicz miarę kąta, pod jakim przecinają się wykresy funkcji \(f\) i \(g.\)

 Kąt 1

\(f(x)=-2x^{2}-4x+6, \ \  g(x)=x+3, \ \  x \lt 0\)

 Odpowiedź

Miara kąta przecięcia się wykresów funkcji \(f(x)=-2x^{2}-4x+6\) i \(g(x)=x+3\) dla \(x \lt 0\) wynosi \(\varphi \approx 37,87^{\circ }.\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy punkt przecięcia się wykresów funkcji \(f\) i \(g.\)
\[ \begin{array}{l}
-2x^{2}-4x+6=x+3\\
-2x^{2}-5x+3=0\\
\Delta =49, \ \sqrt{\Delta }=7\\
{\displaystyle x_{1}=\frac{5-7}{-4}=\frac{1}{2}}\\
{\displaystyle x_{2}=\frac{5+7}{-4}=-3}\\
x \lt 0 \ \ \Rightarrow \ \ x=-3
\end{array}\]
Wyznaczamy wartości funkcji i ich pochodnych dla argumentu \(x_{0}=-3.\)
\[\begin{array}{l}
f(x)=-2x^{2}-4x+6\\
f'(x)=-4x-4\\
f'(-3)=8\\
g(x)=x+3\\
g'(x)=1\\
g'(-3)=1
\end{array}\]
Zatem
\[\varphi =\textrm{ arctg }\left | \frac{8-1}{1+8\cdot 1} \right |=\textrm{ arctg }\frac{7}{9}\\
\varphi =\textrm{ arctg }\frac{7}{9}\ \ \Leftrightarrow \ \
\textrm{tg }\varphi  =\frac{7}{9}\ \ \Leftrightarrow  \ \
\varphi \approx 37,87^{\circ }\]
rysunek_6.2.3.4

 Kąt 2

\(f(x)=\sin x, \ \ g(x)=\cos x,\) dla \(0 \lt x \lt \pi\)

 Odpowiedź

Miara kąta przecięcia się wykresów funkcji \(f(x)=\sin x, \ \ g(x)=\cos x,\) dla \(0 \lt x \lt \pi\) wynosi \(\varphi\approx 70,53^{\circ }.\)

 Rozwiązanie

\(f(x)=\sin x, \ \ g(x)=\cos x,\) dla \(0 \lt x \lt \pi\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=g(x)\\
\sin x=\cos x, \ \ x\in \left ( 0;\pi \right )\\
{\displaystyle x=\frac{\pi}{4}}
 \end{array}\]
rysunek_6.2.3.6
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=\cos x\\
{\displaystyle f'(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
\\
g'(x)=-\sin x\\
{\displaystyle g'(\frac{\pi}{4})=-\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
\end{array}\]
Zatem
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle \varphi =\textrm{ arctg }\left | \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} \right |}=\\
{\displaystyle \textrm{ arctg }\left | \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} \right |=}\\
{\displaystyle \textrm{ arctg }\left |\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}} \right |=\textrm{ arctg }(2\sqrt{2})\approx 70,53^{\circ }}
\end{array}\]