Zadanie 6.4.2

Zadanie 6.4.2
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange'a dla podanych funkcji

$f$ oraz

$x_{0}$ i

$n.$

Wskazówki

Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą Lagrange'a)

Jeżeli funkcja

$f$ ma:

ciągłą pochodną rzędu $n-1$ na przedziale $\left \langle x_{0};x \right \rangle$ ,
pochodną właściwą $f^{(n)}$ na przedziale $\left ( x_{0};x \right )$ ,

wtedy istnieje taki punkt

$c\in \left ( x_{0};x\right )$ taki, że

$f(x)=\underbrace{f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f'''(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}}_{\textrm{wielomian Taylora}}$

$\begin{multline} \shoveright{+\underbrace{ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}}_{R_{n}(x) - n-\textrm{ta reszta Lagrange'a }}.}\end{multline}$

Uwaga!

Dla

$x_{0}=0$ wzór Taylora przyjmuje postać

${\displaystyle f(x)=\underbrace{f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}}_{\textrm{ wielomian Maclaurina }}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n}, }$
gdzie

$c\in \left ( 0;x \right )$ dla

$x \gt 0$ lub

$c\in \left ( x;0 \right )$ dla

$x \lt 0.$ Równość tę nazywamy wzorem Maclaurina.

Funkcja 1

$f(x)=\ln(x+1), \ \ x_{0}=1, \ n=5$

Rozwiązanie

We wzorze Taylora z reszta Lagrange'a potrzebujemy pochodne funkcji

$f$ do

$5$ - rzędu włącznie oraz wartości tych pochodnych do

$4$ - tego rzędu w punkcie

$x_{0}=1.$

$\begin{align} \begin{array}{l} f(x)=\ln(x+1),&\ \ f(1)=\ln(1+1)=\ln 2\\ {\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}},& \ \ {\displaystyle f'(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}}\\ {\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{\left (x+1 \right )^{2}}},& \ \ {\displaystyle f''(1)=-\frac{1}{\left (1+1 \right )^{2}}=-\frac{1}{4}}\\ {\displaystyle f'''(x)=\frac{1\cdot 2(x+1)}{\left (x+1 \right )^{4}}=\frac{2}{\left (x+1 \right )^{3}}},& \ \ {\displaystyle f'''(1)=\frac{2}{\left (1+1 \right )^{3}}=\frac{1}{4}}\\ {\displaystyle f^{(4)}(x)=-\frac{2\cdot 3(x+1)^{2}}{\left (x+1 \right )^{6}}=-\frac{6}{\left (x+1 \right )^{4}}},& \ \ {\displaystyle f^{(4)}(1)=-\frac{6}{\left (1+1 \right )^{4}}=-\frac{3}{8}}\\ {\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{6\cdot 4(x+1)^{3}}{\left (x+1 \right )^{8}}=\frac{24}{\left (x+1 \right )^{5}}} \end{array} \end{align}$
Do wzoru Taylora podstawiamy wartości wyznaczonych pochodnych dla argumentu

$x_{0}=1$ oraz piątą pochodną w punkcie

$x=c.$
Zatem dla

$c \in \left ( 0;x \right ),$ gdzie

$x\gt 0$ mamy:

$\begin{array}{l} {\displaystyle \ln(x+1)\approx \ln 2+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-1)-\frac{\frac{1}{4}}{2!}(x-1)^{2}+\frac{\frac{1}{4}}{3!}(x-1)^{3}-\frac{\frac{3}{8}}{4!}(x-1)^{4}+\frac{\frac{24}{(c+1)^{5}}}{5!}(x-1)^{5}}\\ {\displaystyle \ln(x+1)\approx \ln 2+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{24}(x-1)^{3}-\frac{1}{64}(x-1)^{4}+\frac{1}{5(c+1)^{5}}(x-1)^{5}}. \end{array}$

Odpowiedź

$\ln(x+1)\approx \ln 2+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{24}(x-1)^{3}-\frac{1}{64}(x-1)^{4}+\frac{1}{5(c+1)^{5}}(x-1)^{5}$

Funkcja 2

$f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}, \ \ x_{0}=1, \ \ n=3$

Rozwiązanie

Liczymy wartość funkcji

$f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}$ dla argumentu

$x_{0}=1$

$f(1)=\displaystyle\frac{2}{1}=2.$
Liczymy pierwszą pochodną funkcji

$f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}$

$f'(x)=-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}$
oraz jej wartość dla

$x_{0}=1$

$f'(1)=-2.$
Liczymy drugą pochodną funkcji

$f(x)=\displaystyle\frac{2}{x},$ czyli pochodną funkcji

$f'(x)=-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}$

$f''(x)={\displaystyle\frac{2\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{4}{x^{3}}}$
oraz jej wartość dla

$x_{0}=1$

$f''(1)=4.$
Liczymy trzecią pochodną funkcji

$f(x)=\displaystyle\frac{2}{x},$ czyli pochodną funkcji

$f''(x)={\displaystyle\frac{4}{x^{3}}}$

$f'''(x)={\displaystyle-\frac{4\cdot 3x^{2}}{x^{6}}=-\frac{12}{x^{4}}}.$
Kończymy wyznaczanie pochodnych i ich wartości dla

$x_{0},$ gdyż

$n=3.$
Wyznaczamy wzór przybliżony dla funkcji

$f(x)=\displaystyle\frac{2}{x},$ korzystając ze wzoru Taylora z resztą Lagrange'a

Dla

$c\in \left ( 0;x \right ), \ \ x\gt 0$ mamy:

${\displaystyle\frac{2}{x}\approx 2-\frac{2}{1!}(x-1)+\frac{4}{2!}(x-1)^{2}-\frac{\frac{12}{c^{4}}}{3!}(x-1)^{3}=4-2x+2(x-1)^{2}-\frac{2}{c^{4}}(x-1)^{3}}.$

Odpowiedź

${\displaystyle\frac{2}{x}\approx 4-2x+2(x-1)^{2}-\frac{2}{c^{4}}(x-1)^{3}}$

Funkcja 3

$f(x)=\sin x, \ \ x_{0}=0, \ \ n=5$

Rozwiązanie

Krok 1

W pierwszym kroku wyznacz pochodne, do rzędu

$5$ - tego włącznie, funkcji

$f(x)=\sin x.$ Wybierz właściwą odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź".

$\begin{array}{l} f(x)=\sin x\\ f'(x)=\cos x\\ f''(x)=-\sin x\\ f'''(x)=-\cos x\\ f^{(4)}(x)=\sin x\\ f^{(5)}(x)=\cos x \end{array}$

Odpowiedź prawidłowa

$\begin{array}{l} f(x)=\sin x\\ f'(x)=-\cos x\\ f''(x)=\sin x\\ f'''(x)=-\cos x\\ f^{(4)}(x)=\sin x\\ f^{(5)}(x)=-\cos x \end{array}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\begin{array}{l} f(x)=\sin x\\ f'(x)=\cos x\\ f''(x)=-\cos x\\ f'''(x)=-\sin x\\ f^{(4)}(x)=\cos x\\ f^{(5)}(x)=\sin x \end{array}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 2

Mając wyznaczone pochodne wyższych rzędów (do

$5$ - tego włącznie), wyznacz ich wartość dla argumentu

$x_{0}=0.$

$\begin{array}{l} f(0)=\sin 0=0\\ f'(0)=\cos 0=0\\ f''(0)=-\sin 0=-1\\ f'''(0)=-\cos 0=-1\\ f^{(4)}(0)=\sin 0=0\\ f^{(5)}(0)=\cos 0=0 \end{array}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\begin{array}{l} f(0)=\sin 0=0\\ f'(0)=\cos 0=1\\ f''(0)=-\sin 0=0\\ f'''(0)=-\cos 0=-1\\ f^{(4)}(0)=\sin 0=0\\ f^{(5)}(0)=\cos 0=1 \end{array}$

Odpowiedź prawidłowa

$\begin{array}{l} f(0)=\sin 0=0\\ f'(0)=\cos 0=-1\\ f''(0)=-\sin 0=0\\ f'''(0)=-\cos 0=1\\ f^{(4)}(0)=\sin 0=0\\ f^{(5)}(0)=\cos 0=-1 \end{array}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Krok 3

Wyznacz wzór przybliżony, korzystając ze wzoru Taylora z resztą Lagrange'a, podstawiając wyznaczone wartości pochodnych oraz zakładając, że

$c\in \left ( 0;x \right ), \ \ x\gt 0.$

$\sin x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{1}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+\frac{\cos c}{5!}(x-0)^{5}=x+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{\cos c}{120}x^{5}$

Odpowiedź nieprawidłowa

$\sin x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{-1}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+\frac{\cos c}{5!}(x-0)^{5}=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{\cos c}{120}x^{5}$

Odpowiedź prawidłowa

$\sin x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{-1}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+\frac{\cos c}{5!}(x-0)^{5}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{\cos c}{5}x^{5}$

Odpowiedź nieprawidłowa

Odpowiedź

${\displaystyle \sin x\approx x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{\cos c}{120}x^{5}},$ dla

$c\in \left ( 0;x \right ), \ \ x\gt 0.$

Zadanie 6.4.1

Polecenie

Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange'a dla podanych funkcji

$f$ oraz

$x_{0}$ i

$n.$

Funkcja 1

$f(x)=e^{-2x}, \ \ x_{0}=0, \ \ n=5$

Odpowiedź

$e^{-2x}\approx 1-2x+2x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{4}-\frac{4e^{-2c}}{15}x^{5}$

Rozwiązanie

$\begin{array}{l} {\displaystyle f(x)=e^{-2x}, \ f(0)=1}\\ {\displaystyle f'(x)=-2e^{-2x}, \ f'(0)=-2}\\ {\displaystyle f''(x)=4e^{-2x}, \ f''(0)=4}\\ {\displaystyle f'''(x)=-8e^{-2x}, \ f'''(0)=-8}\\ {\displaystyle f^{(4)}(x)=16e^{-2x}, \ f^{(4)}(0)=16}\\ {\displaystyle f^{(5)}(x)=-32e^{-2x}}\\ {\displaystyle e^{-2x}\approx 1-\frac{2}{1!}(x-0)+\frac{4}{2!}(x-0)^{2}-\frac{8}{3!}(x-0)^{3}+\frac{16}{4!}(x-0)^{4}-\frac{32e^{-2c}}{5!}(x-0)^{5}}\\ {\displaystyle e^{-2x}\approx 1-2x+2x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{4}-\frac{4e^{-2c}}{15}x^{5}} \end{array}$

Funkcja 2

$f(x)=x^{2}, \ \ x_{0}=1, \ \ n=5$

Odpowiedź

$x^{2}=x^{2}$

Rozwiązanie

$\begin{array}{l} f(x)=x^{2}, \ f(1)=1\\ f'(x)=2x, \ f'(1)=2\\ f''(x)=2, \ f''(1)=2\\ f'''(x)=0, \ f'''(1)=0\\ f^{(4)}(x)=0, \ f^{(4)}(1)=0\\ f^{(5)}(x)=0\\ {\displaystyle x^{2}\approx 1+\frac{2}{1!}(x-1)+\frac{2}{2!}(x-1)^{2}+\frac{0}{3!}(x-1)^{3}+\frac{0}{4!}(x-1)^{4}-\frac{0}{5!}(x-1)^{5}}\\ x^{2}\approx 1+2x-2+x^{2}-2x+1=x^{2} \end{array}$

Uwaga

W przypadku, gdy funkcja jest wielomianem, wzór Taylora jest dokładnie tym samym wielomianem.

Funkcja 3

$f(x)=\textrm{arctg }x,\ \ x_{0}=0, \ \ n=3$

Odpowiedź

$\textrm{arctg }x\approx x+\frac{c^{4}+\frac{2}{3}c^{2}-\frac{1}{3}}{(1+c^{2})^{4}}x^{3}$

Rozwiązanie

$\begin{array}{l} f(x)=\textrm{arctg }x,\ f(0)=0\\ {\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}}, \ f'(0)=1\\ {\displaystyle f''(x)=-\frac{1\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}}, \ f''(0)=0\\ {\displaystyle f'''(x)=\frac{-2(1+x^{2})^{2}-(-2x)\cdot 2(1+x^{2})\cdot 2x}{(1+x^{2})^{4}}=\frac{-2(1+2x^{2}+x^{4})+8x^{2}(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{4}} =\frac{-2-4x^{2}-2x^{4}+8x^{2}+8x^{4}}{(1+x^{2})^{4}}=\frac{6x^{4}+4x^{2}-2}{(1+x^{2})^{4}}}\\ {\displaystyle \textrm{arctg }x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{\frac{6c^{4}+4c^{2}-2}{(1+c^{2})^{4}}}{3!}(x-0)^{3}}\\ {\displaystyle \textrm{arctg }x\approx x+\frac{c^{4}+\frac{2}{3}c^{2}-\frac{1}{3}}{(1+c^{2})^{4}}x^{3}} \end{array}$

Zadanie 6.4.3

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą Lagrange'a)

Funkcja 1

Rozwiązanie

Odpowiedź

Funkcja 2

Rozwiązanie

Odpowiedź

Funkcja 3

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Odpowiedź

Polecenie

Funkcja 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Funkcja 2

Odpowiedź

Rozwiązanie

Funkcja 3

Odpowiedź

Rozwiązanie