Zadanie 6.4.2
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.4 Wzór Taylora. Reguła de L'Hospitala
  4. Zadanie 6.4.2

 Polecenie

Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange'a dla podanych funkcji \(f\) oraz \(x_{0}\) i \(n.\)

 Wskazówki

Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą Lagrange'a)

Jeżeli funkcja \(f\) ma:
  1. ciągłą pochodną rzędu \(n-1\) na przedziale \(\left \langle x_{0};x \right \rangle\),
  2. pochodną właściwą \(f^{(n)}\) na przedziale \(\left ( x_{0};x \right )\),

wtedy istnieje taki punkt \(c\in \left (  x_{0};x\right )\) taki, że

\[f(x)=\underbrace{f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f'''(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}}_{\textrm{wielomian Taylora}}\]
\[\begin{multline} \shoveright{+\underbrace{ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}}_{R_{n}(x) - n-\textrm{ta reszta Lagrange'a }}.}\end{multline}\]


Uwaga!
Dla \(x_{0}=0\) wzór Taylora przyjmuje postać
\[{\displaystyle 
f(x)=\underbrace{f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}}_{\textrm{ wielomian Maclaurina }}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n}, }\]
gdzie \(c\in \left ( 0;x \right )\) dla \(x \gt 0\) lub \(c\in \left ( x;0 \right )\) dla \(x \lt 0.\) Równość tę nazywamy wzorem Maclaurina.

 Funkcja 1

\(f(x)=\ln(x+1), \ \ x_{0}=1, \ n=5\)

 Rozwiązanie

We wzorze Taylora z reszta Lagrange'a potrzebujemy pochodne funkcji \(f\) do \(5\) - rzędu włącznie oraz wartości tych pochodnych do \(4\)- tego rzędu w punkcie \(x_{0}=1.\)
\[\begin{align}
\begin{array}{l}
f(x)=\ln(x+1),&\ \ f(1)=\ln(1+1)=\ln 2\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x+1}},& \ \ {\displaystyle f'(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}}\\
{\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{\left (x+1  \right )^{2}}},& \ \ {\displaystyle f''(1)=-\frac{1}{\left (1+1  \right )^{2}}=-\frac{1}{4}}\\
{\displaystyle f'''(x)=\frac{1\cdot 2(x+1)}{\left (x+1  \right )^{4}}=\frac{2}{\left (x+1  \right )^{3}}},& \ \ {\displaystyle f'''(1)=\frac{2}{\left (1+1  \right )^{3}}=\frac{1}{4}}\\
{\displaystyle f^{(4)}(x)=-\frac{2\cdot 3(x+1)^{2}}{\left (x+1  \right )^{6}}=-\frac{6}{\left (x+1  \right )^{4}}},& \ \ {\displaystyle f^{(4)}(1)=-\frac{6}{\left (1+1  \right )^{4}}=-\frac{3}{8}}\\
{\displaystyle f^{(5)}(x)=\frac{6\cdot 4(x+1)^{3}}{\left (x+1  \right )^{8}}=\frac{24}{\left (x+1  \right )^{5}}}
\end{array}
\end{align}\]
Do wzoru Taylora podstawiamy wartości wyznaczonych pochodnych dla argumentu \(x_{0}=1\) oraz piątą pochodną w punkcie \(x=c.\)
Zatem dla \(c \in \left ( 0;x \right ),\) gdzie \(x\gt 0\) mamy:
\[\begin{array}{l}
{\displaystyle \ln(x+1)\approx \ln 2+\frac{\frac{1}{2}}{1!}(x-1)-\frac{\frac{1}{4}}{2!}(x-1)^{2}+\frac{\frac{1}{4}}{3!}(x-1)^{3}-\frac{\frac{3}{8}}{4!}(x-1)^{4}+\frac{\frac{24}{(c+1)^{5}}}{5!}(x-1)^{5}}\\
{\displaystyle \ln(x+1)\approx \ln 2+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{24}(x-1)^{3}-\frac{1}{64}(x-1)^{4}+\frac{1}{5(c+1)^{5}}(x-1)^{5}}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

\({\displaystyle \ln(x+1)\approx \ln 2+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^{2}+\frac{1}{24}(x-1)^{3}-\frac{1}{64}(x-1)^{4}+\frac{1}{5(c+1)^{5}}(x-1)^{5}}\)

 Funkcja 2

\(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}, \ \ x_{0}=1, \ \ n=3\)

 Rozwiązanie

Liczymy wartość funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}\) dla argumentu \(x_{0}=1\)
\[ f(1)=\displaystyle\frac{2}{1}=2.\]
Liczymy pierwszą pochodną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x}\)
\[f'(x)=-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}\]
oraz jej wartość dla \(x_{0}=1\)
\[f'(1)=-2.\]
Liczymy drugą pochodną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x},\) czyli pochodną funkcji \(f'(x)=-\displaystyle\frac{2}{x^{2}}\)
\[f''(x)={\displaystyle\frac{2\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{4}{x^{3}}}\]
oraz jej wartość dla \(x_{0}=1\)
\[f''(1)=4.\]
Liczymy trzecią pochodną funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x},\) czyli pochodną funkcji \(f''(x)={\displaystyle\frac{4}{x^{3}}}\)
\[f'''(x)={\displaystyle-\frac{4\cdot 3x^{2}}{x^{6}}=-\frac{12}{x^{4}}}.\]
Kończymy wyznaczanie pochodnych i ich wartości dla \(x_{0},\) gdyż \(n=3.\)
Wyznaczamy wzór przybliżony dla funkcji \(f(x)=\displaystyle\frac{2}{x},\) korzystając ze wzoru Taylora z resztą Lagrange'a
Dla \(c\in \left ( 0;x \right ), \ \ x\gt 0\) mamy:
\[{\displaystyle\frac{2}{x}\approx 2-\frac{2}{1!}(x-1)+\frac{4}{2!}(x-1)^{2}-\frac{\frac{12}{c^{4}}}{3!}(x-1)^{3}=4-2x+2(x-1)^{2}-\frac{2}{c^{4}}(x-1)^{3}}.\]

 Odpowiedź

\({\displaystyle\frac{2}{x}\approx 4-2x+2(x-1)^{2}-\frac{2}{c^{4}}(x-1)^{3}}\)

 Funkcja 3

\(f(x)=\sin x, \ \ x_{0}=0, \ \  n=5\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku wyznacz pochodne, do rzędu \(5\) - tego włącznie, funkcji \(f(x)=\sin x.\) Wybierz właściwą odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź".

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\sin x\\
f'(x)=\cos x\\
f''(x)=-\sin x\\
f'''(x)=-\cos x\\
f^{(4)}(x)=\sin x\\
f^{(5)}(x)=\cos x
\end{array}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\sin x\\
f'(x)=-\cos x\\
f''(x)=\sin x\\
f'''(x)=-\cos x\\
f^{(4)}(x)=\sin x\\
f^{(5)}(x)=-\cos x
\end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\sin x\\
f'(x)=\cos x\\
f''(x)=-\cos x\\
f'''(x)=-\sin x\\
f^{(4)}(x)=\cos x\\
f^{(5)}(x)=\sin x
\end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

Mając wyznaczone pochodne wyższych rzędów (do \(5\) - tego włącznie), wyznacz ich wartość dla argumentu \(x_{0}=0.\)

\[ \begin{array}{l}
f(0)=\sin 0=0\\
f'(0)=\cos 0=0\\
f''(0)=-\sin 0=-1\\
f'''(0)=-\cos 0=-1\\
f^{(4)}(0)=\sin 0=0\\
f^{(5)}(0)=\cos 0=0
\end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[ \begin{array}{l}
f(0)=\sin 0=0\\
f'(0)=\cos 0=1\\
f''(0)=-\sin 0=0\\
f'''(0)=-\cos 0=-1\\
f^{(4)}(0)=\sin 0=0\\
f^{(5)}(0)=\cos 0=1
\end{array}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[ \begin{array}{l}
f(0)=\sin 0=0\\
f'(0)=\cos 0=-1\\
f''(0)=-\sin 0=0\\
f'''(0)=-\cos 0=1\\
f^{(4)}(0)=\sin 0=0\\
f^{(5)}(0)=\cos 0=-1
\end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Wyznacz wzór przybliżony, korzystając ze wzoru Taylora z resztą Lagrange'a, podstawiając wyznaczone wartości pochodnych oraz zakładając, że \(c\in \left ( 0;x \right ), \ \ x\gt 0.\)

\[\sin x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{1}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+\frac{\cos c}{5!}(x-0)^{5}=x+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{\cos c}{120}x^{5}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[\sin x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{-1}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+\frac{\cos c}{5!}(x-0)^{5}=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{\cos c}{120}x^{5}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[\sin x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{-1}{3!}(x-0)^{3}+\frac{0}{4!}(x-0)^{4}+\frac{\cos c}{5!}(x-0)^{5}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{\cos c}{5}x^{5}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Odpowiedź

\({\displaystyle \sin x\approx x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{\cos c}{120}x^{5}},\) dla \(c\in \left ( 0;x \right ), \ \ x\gt 0.\)

 Polecenie

Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange'a dla podanych funkcji \(f\) oraz \(x_{0}\) i \(n.\)

 Funkcja 1

\(f(x)=e^{-2x}, \ \ x_{0}=0, \ \ n=5\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle e^{-2x}\approx 1-2x+2x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{4}-\frac{4e^{-2c}}{15}x^{5}}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=e^{-2x}, \ f(0)=1}\\
{\displaystyle f'(x)=-2e^{-2x}, \ f'(0)=-2}\\
{\displaystyle f''(x)=4e^{-2x}, \ f''(0)=4}\\
{\displaystyle f'''(x)=-8e^{-2x}, \ f'''(0)=-8}\\
{\displaystyle f^{(4)}(x)=16e^{-2x}, \ f^{(4)}(0)=16}\\
{\displaystyle f^{(5)}(x)=-32e^{-2x}}\\
{\displaystyle e^{-2x}\approx 1-\frac{2}{1!}(x-0)+\frac{4}{2!}(x-0)^{2}-\frac{8}{3!}(x-0)^{3}+\frac{16}{4!}(x-0)^{4}-\frac{32e^{-2c}}{5!}(x-0)^{5}}\\
{\displaystyle e^{-2x}\approx 1-2x+2x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{4}-\frac{4e^{-2c}}{15}x^{5}}
\end{array}\]

 Funkcja 2

\(f(x)=x^{2}, \ \ x_{0}=1, \ \ n=5\)

 Odpowiedź

\(x^{2}=x^{2}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{2}, \ f(1)=1\\
f'(x)=2x, \ f'(1)=2\\
f''(x)=2, \ f''(1)=2\\
f'''(x)=0, \ f'''(1)=0\\
f^{(4)}(x)=0, \ f^{(4)}(1)=0\\
f^{(5)}(x)=0\\
{\displaystyle x^{2}\approx 1+\frac{2}{1!}(x-1)+\frac{2}{2!}(x-1)^{2}+\frac{0}{3!}(x-1)^{3}+\frac{0}{4!}(x-1)^{4}-\frac{0}{5!}(x-1)^{5}}\\
x^{2}\approx 1+2x-2+x^{2}-2x+1=x^{2}
\end{array}\]
Uwaga
W przypadku, gdy funkcja jest wielomianem, wzór Taylora jest dokładnie tym samym wielomianem.

 Funkcja 3

\(f(x)=\textrm{arctg }x,\ \ x_{0}=0, \ \ n=3\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \textrm{arctg }x\approx x+\frac{c^{4}+\frac{2}{3}c^{2}-\frac{1}{3}}{(1+c^{2})^{4}}x^{3}}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\textrm{arctg }x,\ f(0)=0\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}}, \ f'(0)=1\\
{\displaystyle f''(x)=-\frac{1\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}}, \ f''(0)=0\\
{\displaystyle f'''(x)=\frac{-2(1+x^{2})^{2}-(-2x)\cdot 2(1+x^{2})\cdot 2x}{(1+x^{2})^{4}}=\frac{-2(1+2x^{2}+x^{4})+8x^{2}(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{4}} =\frac{-2-4x^{2}-2x^{4}+8x^{2}+8x^{4}}{(1+x^{2})^{4}}=\frac{6x^{4}+4x^{2}-2}{(1+x^{2})^{4}}}\\
{\displaystyle \textrm{arctg }x\approx 0+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{0}{2!}(x-0)^{2}+\frac{\frac{6c^{4}+4c^{2}-2}{(1+c^{2})^{4}}}{3!}(x-0)^{3}}\\
{\displaystyle \textrm{arctg }x\approx x+\frac{c^{4}+\frac{2}{3}c^{2}-\frac{1}{3}}{(1+c^{2})^{4}}x^{3}}
\end{array}\]