Zadanie 6.4.3
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 6. Pochodne
  3. 6.4 Wzór Taylora. Reguła de L'Hospitala
  4. Zadanie 6.4.3

 Polecenie

Napisz wzory Maclaurina z \(n\) - tą resztą Lagrange'a dla podanych funkcji.

 Wskazówki

Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą Lagrange'a)

Jeżeli funkcja \(f\) ma:

    ciągłą pochodną rzędu \(n-1\) na przedziale \(\left \langle x_{0};x \right \rangle\),
    pochodną właściwą \(f^{(n)}\) na przedziale \(\left ( x_{0};x \right )\),


wtedy istnieje taki punkt \(c\in \left (  x_{0};x\right )\) taki, że

\[f(x)=\underbrace{f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\frac{f'''(x_{0})}{3!}(x-x_{0})^{3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}}_{\textrm{wielomian Taylora}}\]
\[\begin{multline} \shoveright{+\underbrace{ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}}_{R_{n}(x) - n-\textrm{ta reszta Lagrange'a }}.}\end{multline}\]
Uwaga!
Dla \(x_{0}=0\) wzór Taylora przyjmuje postać
\[{\displaystyle
f(x)=\underbrace{f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1}}_{\textrm{ wielomian Maclaurina }}+\frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n}, }\]
gdzie \(c\in \left ( 0;x \right )\) dla \(x \gt 0\) lub \(c\in \left ( x;0 \right )\) dla \(x \lt 0.\) Równość tę nazywamy wzorem Maclaurina.

 Funkcja 1

\(f(x)=\textrm{sh }x\)

 Rozwiązanie

Aby skorzystać ze wzoru Taylora z resztą Lagrange'a musimy wyznaczyć pochodne kilku pierwszych rzędów i znaleźć zależność między nimi.
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=\textrm{sh }x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}},& {\displaystyle f(0)=\frac{1-1}{2}=0}\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{e^{x}-(-1)e^{-x}}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\textrm{ch }x}, & {\displaystyle f'(0)=\frac{1+1}{2}=1}\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\textrm{sh }x}, & {\displaystyle f''(0)=\frac{1-1}{2}=0}\\
{\displaystyle f'''(x)=\textrm{ch }x}, & f'''(0)=1\\
{\displaystyle f^{(4)}(x)=\textrm{sh }x}, & f^{(4)}(0)=0\\
{\displaystyle f^{(5)}(x)=\textrm{ch }x}, & f^{(5)}(0)=1.
\end{array}\]
Ponieważ co druga pochodna wynosi \(\textrm{sh }x\) (dla \(n\) - parzystych), a co druga \(\textrm{ch }x\) (dla \(n\) - nieparzystych), zatem musimy przyjąć, że \(n\) jest liczbą parzystą lub nieparzystą.
Dla  \(n=2k+1,\) gdzie \(k\in \mathbb{N}\) (czyli dla \(n\) - nieparzystego) oraz dla \(0<\theta_{x}<x,\) gdy \(x >0\) lub \(x<\theta_{x}<0,\) gdy \(x <0\) mamy:
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=\textrm{sh }x\approx 0+\frac{1}{1!}x+0+\frac{1}{3!}x^{3}+0+\frac{1}{5!}x^{5}+\cdots+\frac{0}{(2k)!}x^{2k}+\frac{\textrm{ch }\theta _{x}}{(2k+1)!}x^{2k+1}}\\
{\displaystyle \textrm{sh }x\approx x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{\textrm{ch }\theta _{x}}{(2k+1)!}x^{2k+1}}.
\end{array}\]

 Odpowiedź

\({\displaystyle \textrm{sh }x\approx x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{\textrm{ch }\theta _{x}}{(2k+1)!}x^{2k+1}}\)

 Funkcja 2

\(f(x)=e^{-x}\)

 Rozwiązanie

Do wzoru Taylora z resztą Lagrange'a potrzebne są pochodne wyższych rzędów. Wyznaczamy kolejne pochodne funkcji \(f\) i ich wartości dla \(x_{0}=0.\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=e^{-x},& f(0)=1\\
f'(x)=-e^{-x},& f'(x)=-1\\
f''(x)=e^{-x},& f''(0)=1\\
f'''(x)=-e^{-x},& f'''(x)=-1\\
f^{(4)}(x)=e^{-x},& f^{(4)}(0)=1\\
f^{(5)}(x)=-e^{-x},& f^{(5)}(x)=-1
\end{array}\]
Widać, że dla \(n\) parzystych pochodna wynosi \(e^{-x},\) dla nieparzystych \(-e^{-x}.\) Zatem możemy zapisać ogólnie i za pomocą \(n\) pochodna dowolnego rzędu.
\[f^{(n)}=(-1)^{n}e^{-x}, n\in \mathbb{N}\]
Możemy zatem podstawić do wzoru wyznaczone pochodne oraz ich wartości dla \(x_{0}=0.\)
Zatem dla \(0<\theta_{x}<x,\) gdy \(x >0\) lub \(x<\theta_{x}<0,\) gdy \(x <0\) :
\[{\displaystyle e^{-x}=1-\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^{2}-\frac{1}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n}e^{-\theta _{x}}}{n!}x^{n}}\]
We wzorze możemy, zamiast zmiennej \(c,\) użyć zmienną \(\theta_{x},\) która wyraźniej pokazuje swoją zależność od \(x.\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}e^{-\theta_{x}}x^{n}}{n!} }\)

 Polecenie

Napisz wzory Maclaurina z \(n\) - tą resztą Lagrange'a dla podanych funkcji.

 Funkcja 1

\(f(x)=xe^{x}\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle xe^{x}=\frac{1}{1!}x+\frac{2}{2!}x^{2}+\frac{3}{3!}x^{3}+\frac{4}{4!}x^{4}+\cdots+\frac{e^{\theta _{x}}(\theta _{x}+n)}{n!}x^{n}}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=xe^{x}, & f(0)=0\\
f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}\left ( x+1 \right ), &f'(0)=1\\
f''(x)=e^{x}\left ( x+1 \right )+e^{x}\cdot 1=e^{x}\left ( x+2 \right ), &f''(0)=2\\
f'''(x)=e^{x}\left ( x+2 \right )+e^{x}\cdot 1=e^{x}\left ( x+3 \right ), &f'''(0)=3\\
f^{(4)}(x)=e^{x}\left ( x+3 \right )+e^{x}\cdot 1=e^{x}\left ( x+4 \right ), &f^{(4)}(0)=4\\
f^{(n)}(x)=e^{x}\left ( x+n \right ), &f^{(n)}(0)=n\\
\end{array}\]
Zatem korzystając ze wzoru Taylora dla \(x_{0}=0,\) (czyli ze wzoru Maclaurina) dla \(0<\theta_{x}<x,\) gdy \(x>0\) lub \(x<\theta_{x}<0,\) gdy \(x<0\) mamy:
\[xe^{x}=0+\frac{1}{1!}x+\frac{2}{2!}x^{2}+\frac{3}{3!}x^{3}+\frac{4}{4!}x^{4}+\cdots+\frac{e^{\theta _{x}}(\theta _{x}+n)}{n!}x^{n}.\]

 Funkcja 2

\(f(x)=\cos x\)

 Odpowiedź

\({\displaystyle \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{\cos(k\pi+\theta _{x})}{(2k)!}x^{2k}}\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\cos x, & f(0)=1\\
f'(x)=-\sin x, &f'(0)=0\\
f''(x)=-\cos x, &f''(0)=-1\\
f'''(x)=\sin x, &f'''(0)=0\\
f^{(4)}(x)=\cos x, &f^{(4)}(0)=1
\end{array}\]
\[{\displaystyle f^{(n)}(x)=(-1)^{k}\frac{\cos(k\pi +\theta _{x})}{(2k)!}x^{2n}}, \textrm{dla } n=2k,\ k\in \mathbb{N}\]
Zatem korzystając ze wzoru Maclaurina dla \(0<\theta_{x}<x,\) gdy \(x>0\) lub \(x<\theta_{x}<0,\) gdy \(x<0\) mamy:
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle \cos x=1+\frac{0}{1!}x-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{0}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\cdots+(-1)^{k}\frac{\cos(k\pi+\theta _{x})}{(2k)!}x^{2k}}\\
{\displaystyle \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots+(-1)^{k}\frac{\cos(k\pi+\theta _{x})}{(2k)!}x^{2k}.}
\end{array}\]