Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Zadanie 7.1.1

 Polecenie

Znajdź przedziały monotoniczności podanych funkcji.

 Wskazówki

Twierdzenie (warunki wystarczające monotoniczności funkcji)

Jeżeli funkcja f, dla dowolnego x z przedziału I, spełnia warunek:
  • f(x)=0, to jest stała na przedziale I,
  • f(x)>0, to jest rosnąca (ściśle rosnąca) na przedziale I,
  • f(x)0, to jest niemalejąca (słabo rosnąca) na przedziale I,
  • f(x)<0, to jest malejąca (ściśle malejąca) na przedziale I,
  • f(x)0, to jest nierosnąca (słabo malejąca) na przedziale I.
Uwaga
Jeżeli f(x)0 dla każdego xI, przy czym ta pochodna jest równa zero tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja f jest rosnąca na I. Podobnie jest dla pozostałych warunków.

 Funkcja 1

f(x)=2x5+x2

 Rozwiązanie

Algorytm
Wyznaczanie przedziałów monotoniczności odbywa się w trzech krokach:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji f.
2. Obliczenie pochodnej funkcji f.
3. Wyznaczenie podzbiorów dziedziny funkcji f, w których pierwsza pochodna jest dodatnia/ujemna.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji f(x)=2x5+x2. Ponieważ w mianowniku mamy wyrażenie zawsze różne od zera, zatem dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych Df=R.
Liczymy pochodną funkcji f:
f(x)=2(5+x2)2x2x(5+x2)2=102x2(5+x2)2
Rozwiązujemy nierówność 102x2(5+x2)2>0, aby wyznaczyć przedziały monotoniczności. Oczywiście dostaniemy w ten sposób przedziały argumentów, dla których pochodna przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, więc znak >, < w nierówności nie ma znaczenia.
102x2(5+x2)2>0(102x2)(5+x2)2>0102x2=0    (5+x2)2=02(5x2)=0,  xR(5+x2)2>0(5x)(5+x)=0x=5  x=5
Rysujemy wykres wielomianu, aby odczytać przedziały monotoniczności. (Wykresy pomocnicze wielomianów oraz sposób rozwiązywania nierówności wymiernych omówione są w rozdziale 3. Funkcje)
_rysunek_7.1.1.2
Jak widać na rysunku funkcja f:
  • jest malejąca dla x(;5), gdyż f(x)<0,
  • jest rosnąca dla x(5;5), gdyż f(x)>0,
  • jest malejąca dla x(5;), gdyż f(x)<0.

 Odpowiedź

Funkcja f jest
  • malejąca dla x(;5),
  • rosnąca dla x(5;5),
  • malejąca dla x(5;).

 Funkcja 2

g(x)=ln(x21)

 Rozwiązanie

Ponieważ w funkcji g(x)=ln(x21) argumentem logarytmu jest x21, zatem przy wyznaczaniu dziedziny musimy założyć, że x21 jest liczbą dodatnią. Rozwiązujemy zatem nierówność x21>0.
x21>0(x1)(x+1)>0x=1 x=1
Szkicujemy wykres 
_rysunek_7.1.1.3
i wyznaczamy dziedzinę.
x(;1)(1;)
Zatem Df=(;1)(1;).
Wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=ln(x21).
f(x)=12xx21=2xx21,
oraz wyznaczamy przedziały monotoniczności rozwiązując nierówność
12xx21>02x(x21)>02x(x+1)(x1)>0x=0  x=1  x=1
i odczytując z wykresu
_rysunek_7.1.1.5
uwzględniając dziedzinę, czyli sumę zbiorów (;1)(1;).
  • f jest funkcją rosnącą, jeśli x(1;),
  • f jest funkcją malejącą, jeśli x(;1).

 Odpowiedź

f    x(1;)f    x(;1)

 Funkcja 3

f(x)=x2e2x

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku wyznaczamy dziedzinę funkcji f(x)=x2e2x. Wybierz właściwą odpowiedź.

Df=R{0}

Odpowiedź nieprawidłowa

Df=R

Odpowiedź prawidłowa

Df=R+

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

W kolejnym kroku, dla xR, wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=x2e2x. Wybierz właściwą odpowiedź.

f(x)=(2x2x2)e2x

Odpowiedź prawidłowa

f(x)=2x2e2x

Odpowiedź nieprawidłowa

f(x)=(4x2x2)e2x

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Rozwiązujemy nierówność f(x)>0 i wyznaczamy przedziały monotoniczności. Wybierz właściwy wykres.

_rysunek_7.1.1.6

Odpowiedź nieprawidłowa

_rysunek_7.1.1.7

Odpowiedź prawidłowa

_rysunek_7.1.1.8

Odpowiedź nieprawidłowa
Obliczenia
Pochodna: f(x)=2xe2x+x2e2x(2)=(2x2x2)e2x.
Rozwiązanie nierówności:
(2x2x2)e2x>02x(1x)e2x>0x=0  x=1,  xRe2x>0
_rysunek_7.1.1.7

f(x)>0  x(0;1)f(x)<0  x(;0)f(x)<0  x(1;)

 Odpowiedź

f  x(0;1)f  x(;0)f  x(1;)

 Polecenie

Znajdź przedziały monotoniczności podanych funkcji.

 Funkcja 1

f(x)=xlnx

 Odpowiedź

f  x(0;1)f  x(1;e2)f  x(e2;)

 Rozwiązanie

Dziedzina funkcji f:
x0,  x>0,  lnx0  x1
Zatem Df=R+{1}.
f(x)=xlnxf(x)=12xlnxx1xln2x=lnx2x1xln2x=lnx21xln2xf(x)>0  lnx21xln2x>0xln2x(lnx21)>0x=0    ln2x=0    lnx2=1x=0    lnx=0    lnx=2x=0    x=1- p. 2-kr.    lnx=2x=0    x=1- p. 2-kr.    x=e2
_rysunek_7.1.1.9

Zatem uwzględniając dziedzinę x>0, x1 mamy:
f  x(0;1)f  x(1;e2)f  x(e2;)

 Funkcja 2

f(x)=x22x

 Odpowiedź

f  x(;0)f  x(0;2)f  x(2;4)f  x(4;)

 Rozwiązanie

Dziedziną funkcji f jest zbiór Df=R{2}.
Liczymy pochodną, rozwiązujemy nierówność wymierną i wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji f.
f(x)=x22xf(x)=2x(2x)x2(1)(2x)2=4x2x2+x2(2x)2=4xx2(2x)24xx2(2x)2>0(4xx2)(2x)2>0x(4x)(2x)2>0x=0    x=4    x=2 - p. 2-kr.
_rysunek_7.1.1.10

Zatem
f  x(;0)f  x(0;2)f  x(2;4)f  x(4;)