Polecenie
Znajdź przedziały monotoniczności podanych funkcji.
Wskazówki
Twierdzenie (warunki wystarczające monotoniczności funkcji)
Jeżeli funkcja f, dla dowolnego x z przedziału I, spełnia warunek:
- f′(x)=0, to jest stała na przedziale I,
- f′(x)>0, to jest rosnąca (ściśle rosnąca) na przedziale I,
- f′(x)⩾ to jest niemalejąca (słabo rosnąca) na przedziale I,
- f'(x)\lt 0, to jest malejąca (ściśle malejąca) na przedziale I,
- f'(x) \leqslant 0, to jest nierosnąca (słabo malejąca) na przedziale I.
Uwaga
Jeżeli f'(x)\geqslant 0 dla każdego x\in I, przy czym ta pochodna jest równa zero tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja f jest rosnąca na I. Podobnie jest dla pozostałych warunków.
Funkcja 1
{\displaystyle f(x)=\frac{2x}{5+x^{2}}}
Rozwiązanie
Algorytm
Wyznaczanie przedziałów monotoniczności odbywa się w trzech krokach:
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji f.
2. Obliczenie pochodnej funkcji f.
3. Wyznaczenie podzbiorów dziedziny funkcji f, w których pierwsza pochodna jest dodatnia/ujemna.
1. Wyznaczenie dziedziny funkcji f.
2. Obliczenie pochodnej funkcji f.
3. Wyznaczenie podzbiorów dziedziny funkcji f, w których pierwsza pochodna jest dodatnia/ujemna.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji {\displaystyle f(x)=\frac{2x}{5+x^{2}}}. Ponieważ w mianowniku mamy wyrażenie zawsze różne od zera, zatem dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych D_{f}=\mathbb{R}.
Liczymy pochodną funkcji f:
f'(x)=\frac{2(5+x^{2})-2x\cdot 2x}{(5+x^{2})^{2}}=\frac{10-2x^{2}}{(5+x^{2})^{2}}
Rozwiązujemy nierówność {\displaystyle \frac{10-2x^{2}}{(5+x^{2})^{2}}\gt 0}, aby wyznaczyć przedziały monotoniczności. Oczywiście dostaniemy w ten sposób przedziały argumentów, dla których pochodna przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, więc znak \gt, \ \lt w nierówności nie ma znaczenia.
\begin{array}{l} {\displaystyle \frac{10-2x^{2}}{(5+x^{2})^{2}} \gt 0}\\ (10-2x^{2})(5+x^{2})^{2} \gt 0\\ 10-2x^{2}=0 \ \ \vee \ \ (5+x^{2})^{2}=0\\ 2(5-x^{2})=0, \ \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } (5+x^{2})^{2} \gt 0\\ (\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)=0\\ x=\sqrt{5} \ \vee \ x=-\sqrt{5} \end{array}
Rysujemy wykres wielomianu, aby odczytać przedziały monotoniczności. (Wykresy pomocnicze wielomianów oraz sposób rozwiązywania nierówności wymiernych omówione są w rozdziale 3. Funkcje)
Liczymy pochodną funkcji f:
f'(x)=\frac{2(5+x^{2})-2x\cdot 2x}{(5+x^{2})^{2}}=\frac{10-2x^{2}}{(5+x^{2})^{2}}
Rozwiązujemy nierówność {\displaystyle \frac{10-2x^{2}}{(5+x^{2})^{2}}\gt 0}, aby wyznaczyć przedziały monotoniczności. Oczywiście dostaniemy w ten sposób przedziały argumentów, dla których pochodna przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, więc znak \gt, \ \lt w nierówności nie ma znaczenia.
\begin{array}{l} {\displaystyle \frac{10-2x^{2}}{(5+x^{2})^{2}} \gt 0}\\ (10-2x^{2})(5+x^{2})^{2} \gt 0\\ 10-2x^{2}=0 \ \ \vee \ \ (5+x^{2})^{2}=0\\ 2(5-x^{2})=0, \ \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } (5+x^{2})^{2} \gt 0\\ (\sqrt{5}-x)(\sqrt{5}+x)=0\\ x=\sqrt{5} \ \vee \ x=-\sqrt{5} \end{array}
Rysujemy wykres wielomianu, aby odczytać przedziały monotoniczności. (Wykresy pomocnicze wielomianów oraz sposób rozwiązywania nierówności wymiernych omówione są w rozdziale 3. Funkcje)
Jak widać na rysunku funkcja f:
- jest malejąca dla x\in \left ( -\infty ;-\sqrt{5} \right ), gdyż f'(x) \lt 0,
- jest rosnąca dla x\in \left (-\sqrt{5};\sqrt{5} \right ), gdyż f'(x) \gt 0,
- jest malejąca dla x\in \left ( \sqrt{5}; \infty \right ), gdyż f'(x) \lt 0.
Odpowiedź
Funkcja f jest
- malejąca dla x\in \left ( -\infty ;-\sqrt{5} \right ),
- rosnąca dla x\in \left (-\sqrt{5};\sqrt{5} \right ),
- malejąca dla x\in \left ( \sqrt{5}; \infty \right ).
Funkcja 2
g(x)=\ln(x^{2}-1)
Rozwiązanie
Ponieważ w funkcji g(x)=\ln(x^{2}-1) argumentem logarytmu jest x^{2}-1, zatem przy wyznaczaniu dziedziny musimy założyć, że x^{2}-1 jest liczbą dodatnią. Rozwiązujemy zatem nierówność x^{2}-1\gt 0.
\begin{array}{l} x^{2}-1 \gt 0\\ (x-1)(x+1)\gt 0\\ x=1 \ \vee x=-1 \end{array}
Szkicujemy wykres
x\in \left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;\infty \right )
Zatem D_{f}=\left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;\infty \right ).
Wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=\ln(x^{2}-1).
Szkicujemy wykres
x\in \left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;\infty \right )
Zatem D_{f}=\left ( -\infty;-1 \right )\cup \left ( 1;\infty \right ).
Wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=\ln(x^{2}-1).
{\displaystyle f'(x)= \frac{1\cdot 2x}{x^{2}-1}=\frac{2x}{x^{2}-1}},
oraz wyznaczamy przedziały monotoniczności rozwiązując nierówność
\begin{array}{l} {\displaystyle \frac{1\cdot 2x}{x^{2}-1}\gt 0}\\ 2x(x^{2}-1)\gt 0\\ 2x(x+1)(x-1)\gt 0\\ x=0 \ \vee \ x=-1 \ \vee \ x=1 \end{array}
i odczytując z wykresu
oraz wyznaczamy przedziały monotoniczności rozwiązując nierówność
\begin{array}{l} {\displaystyle \frac{1\cdot 2x}{x^{2}-1}\gt 0}\\ 2x(x^{2}-1)\gt 0\\ 2x(x+1)(x-1)\gt 0\\ x=0 \ \vee \ x=-1 \ \vee \ x=1 \end{array}
i odczytując z wykresu
- f jest funkcją rosnącą, jeśli x\in \left ( 1;\infty \right ),
- f jest funkcją malejącą, jeśli x\in \left ( -\infty;-1 \right ).
Odpowiedź
\begin{array}{l} f \nearrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( 1;\infty \right )\\ f \searrow \ \ \Leftrightarrow \ \ x\in \left ( -\infty;-1 \right ) \end{array}
Funkcja 3
f(x)=x^{2}e^{-2x}
Rozwiązanie
Krok 1
W pierwszym kroku wyznaczamy dziedzinę funkcji f(x)=x^{2}e^{-2x}. Wybierz właściwą odpowiedź.
D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}
Odpowiedź nieprawidłowa
D_{f}=\mathbb{R}
Odpowiedź prawidłowa
D_{f}=\mathbb{R}_{+}
Odpowiedź nieprawidłowa
Krok 2
W kolejnym kroku, dla x \in \mathbb{R}, wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=x^{2}e^{-2x}. Wybierz właściwą odpowiedź.
f'(x)=(2x-2x^{2})e^{-2x}
Odpowiedź prawidłowa
f'(x)=2x^{2}e^{-2x}
Odpowiedź nieprawidłowa
f'(x)=(4x-2x^{2})e^{-2x}
Odpowiedź nieprawidłowa
Krok 3
Rozwiązujemy nierówność f'(x)\gt 0 i wyznaczamy przedziały monotoniczności. Wybierz właściwy wykres.
Odpowiedź nieprawidłowa
Odpowiedź prawidłowa
Odpowiedź nieprawidłowa
Obliczenia
Pochodna: f'(x)=2xe^{-2x}+x^{2}e^{-2x}\cdot (-2)=(2x-2x^{2})e^{-2x}.
Rozwiązanie nierówności:
\begin{array}{l} (2x-2x^{2})e^{-2x}\gt 0\\ 2x(1-x)e^{-2x} \gt 0\\ x=0 \ \vee \ x=1, \ \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } e^{-2x} \gt 0 \end{array}
\begin{array}{l} f'(x)\gt 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\ f'(x)\lt 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\infty; 0 \right )\\ f'(x)\lt 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1; \infty \right ) \end{array}
Rozwiązanie nierówności:
\begin{array}{l} (2x-2x^{2})e^{-2x}\gt 0\\ 2x(1-x)e^{-2x} \gt 0\\ x=0 \ \vee \ x=1, \ \ \underset{x\in \mathbb{R}}{\huge \forall } e^{-2x} \gt 0 \end{array}
\begin{array}{l} f'(x)\gt 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\ f'(x)\lt 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\infty; 0 \right )\\ f'(x)\lt 0 \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1; \infty \right ) \end{array}
Odpowiedź
\begin{array}{l} f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\infty; 0 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1; \infty \right ) \end{array}
Polecenie
Znajdź przedziały monotoniczności podanych funkcji.
Funkcja 1
{\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\ln x}}
Odpowiedź
\begin{array}{l} f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1;e^{2} \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( e^{2};\infty \right ) \end{array}
Rozwiązanie
Dziedzina funkcji f:
x\geqslant 0, \ \ x \gt 0, \ \ \ln x\neq 0 \ \Leftrightarrow \ x\neq 1
Zatem D_{f}=\mathbb{R}_{+}\setminus \left \{ 1 \right \}.
\begin{array}{l} {\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\ln x}}\\ {\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x-\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}}{\ln^{2}x}= \frac{\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\ln^{2}x}= \frac{\frac{\ln x}{2}-1}{\sqrt{x}\ln^{2}x}}\\ {\displaystyle f'(x)\gt 0 \ \Leftrightarrow \ \frac{\frac{\ln x}{2}-1}{\sqrt{x}\ln^{2}x}\gt 0}\\ {\displaystyle \sqrt{x}\ln^{2}x(\frac{\ln x}{2}-1) \gt 0}\\ {\displaystyle \sqrt{x} =0 \ \ \vee \ \ \ln^{2}x =0 \ \ \vee \ \ \frac{\ln x}{2}=1}\\ {\displaystyle x =0 \ \ \vee \ \ \ln x =0 \ \ \vee \ \ \ln x=2}\\ {\displaystyle x =0 \ \ \vee \ \ x =1 \textrm {- p. 2-kr.} \ \ \vee \ \ \ln x=2}\\ {\displaystyle x =0 \ \ \vee \ \ x =1 \textrm {- p. 2-kr.} \ \ \vee \ \ x=e^{2}}\\ \end{array}
Zatem uwzględniając dziedzinę x\gt 0,\ x\neq 1 mamy:
\begin{array}{l} f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1;e^{2} \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( e^{2};\infty \right ) \end{array}
x\geqslant 0, \ \ x \gt 0, \ \ \ln x\neq 0 \ \Leftrightarrow \ x\neq 1
Zatem D_{f}=\mathbb{R}_{+}\setminus \left \{ 1 \right \}.
\begin{array}{l} {\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\ln x}}\\ {\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x-\sqrt{x}\cdot \frac{1}{x}}{\ln^{2}x}= \frac{\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{\ln^{2}x}= \frac{\frac{\ln x}{2}-1}{\sqrt{x}\ln^{2}x}}\\ {\displaystyle f'(x)\gt 0 \ \Leftrightarrow \ \frac{\frac{\ln x}{2}-1}{\sqrt{x}\ln^{2}x}\gt 0}\\ {\displaystyle \sqrt{x}\ln^{2}x(\frac{\ln x}{2}-1) \gt 0}\\ {\displaystyle \sqrt{x} =0 \ \ \vee \ \ \ln^{2}x =0 \ \ \vee \ \ \frac{\ln x}{2}=1}\\ {\displaystyle x =0 \ \ \vee \ \ \ln x =0 \ \ \vee \ \ \ln x=2}\\ {\displaystyle x =0 \ \ \vee \ \ x =1 \textrm {- p. 2-kr.} \ \ \vee \ \ \ln x=2}\\ {\displaystyle x =0 \ \ \vee \ \ x =1 \textrm {- p. 2-kr.} \ \ \vee \ \ x=e^{2}}\\ \end{array}
Zatem uwzględniając dziedzinę x\gt 0,\ x\neq 1 mamy:
\begin{array}{l} f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;1 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 1;e^{2} \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( e^{2};\infty \right ) \end{array}
Funkcja 2
{\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{2-x}}
Odpowiedź
\begin{array}{l} f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\infty;0 \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;2 \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 2;4 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 4;\infty \right ) \end{array}
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji f jest zbiór D_{f}=\mathbb{R}\setminus \left \{ 2 \right \}.
Liczymy pochodną, rozwiązujemy nierówność wymierną i wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji f.
\begin{array}{l} {\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{2-x}}\\ {\displaystyle f'(x)=\frac{2x(2-x)-x^{2}\cdot (-1)}{(2-x)^{2}}=\frac{4x-2x^{2}+x^{2}}{(2-x)^{2}}= \frac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}}}\\ {\displaystyle \frac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}}\gt 0}\\ {\displaystyle \left (4x-x^{2} \right )(2-x)^{2}\gt 0}\\ x(4-x)(2-x)^{2} \gt 0\\ x=0 \ \ \vee \ \ x=4 \ \ \vee \ \ x=2 \textrm{ - p. 2-kr.} \\ \end{array}
Zatem
\begin{array}{l} f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\infty;0 \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;2 \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 2;4 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 4;\infty \right ) \end{array}
Liczymy pochodną, rozwiązujemy nierówność wymierną i wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji f.
\begin{array}{l} {\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{2-x}}\\ {\displaystyle f'(x)=\frac{2x(2-x)-x^{2}\cdot (-1)}{(2-x)^{2}}=\frac{4x-2x^{2}+x^{2}}{(2-x)^{2}}= \frac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}}}\\ {\displaystyle \frac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}}\gt 0}\\ {\displaystyle \left (4x-x^{2} \right )(2-x)^{2}\gt 0}\\ x(4-x)(2-x)^{2} \gt 0\\ x=0 \ \ \vee \ \ x=4 \ \ \vee \ \ x=2 \textrm{ - p. 2-kr.} \\ \end{array}
Zatem
\begin{array}{l} f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( -\infty;0 \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 0;2 \right )\\ f \nearrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 2;4 \right )\\ f \searrow \ \Leftrightarrow \ x\in \left ( 4;\infty \right ) \end{array}