Jeżeli funkcja f, dla dowolnego x z przedziału I, spełnia warunek:
f′(x)=0, to jest stała na przedziale I,
f′(x)>0, to jest rosnąca (ściśle rosnąca) na przedziale I,
f′(x)⩾0, to jest niemalejąca (słabo rosnąca) na przedziale I,
f′(x)<0, to jest malejąca (ściśle malejąca) na przedziale I,
f′(x)⩽0, to jest nierosnąca (słabo malejąca) na przedziale I.
Uwaga
Jeżeli f′(x)⩾0 dla każdego x∈I, przy czym ta pochodna jest równa zero tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to funkcja f jest rosnąca na I. Podobnie jest dla pozostałych warunków.
Funkcja 1
f(x)=2x5+x2
Rozwiązanie
Algorytm
Wyznaczanie przedziałów monotoniczności odbywa się w trzech krokach: 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji f. 2. Obliczenie pochodnej funkcji f. 3. Wyznaczenie podzbiorów dziedziny funkcji f, w których pierwsza pochodna jest dodatnia/ujemna.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny funkcji f(x)=2x5+x2. Ponieważ w mianowniku mamy wyrażenie zawsze różne od zera, zatem dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych Df=R. Liczymy pochodną funkcji f: f′(x)=2(5+x2)−2x⋅2x(5+x2)2=10−2x2(5+x2)2 Rozwiązujemy nierówność 10−2x2(5+x2)2>0, aby wyznaczyć przedziały monotoniczności. Oczywiście dostaniemy w ten sposób przedziały argumentów, dla których pochodna przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, więc znak >,< w nierówności nie ma znaczenia. 10−2x2(5+x2)2>0(10−2x2)(5+x2)2>010−2x2=0∨(5+x2)2=02(5−x2)=0,∀x∈R(5+x2)2>0(√5−x)(√5+x)=0x=√5∨x=−√5 Rysujemy wykres wielomianu, aby odczytać przedziały monotoniczności. (Wykresy pomocnicze wielomianów oraz sposób rozwiązywania nierówności wymiernych omówione są w rozdziale 3. Funkcje)
Jak widać na rysunku funkcja f:
jest malejąca dla x∈(−∞;−√5), gdyż f′(x)<0,
jest rosnąca dla x∈(−√5;√5), gdyż f′(x)>0,
jest malejąca dla x∈(√5;∞), gdyż f′(x)<0.
Odpowiedź
Funkcja f jest
malejąca dla x∈(−∞;−√5),
rosnąca dla x∈(−√5;√5),
malejąca dla x∈(√5;∞).
Funkcja 2
g(x)=ln(x2−1)
Rozwiązanie
Ponieważ w funkcji g(x)=ln(x2−1) argumentem logarytmu jest x2−1, zatem przy wyznaczaniu dziedziny musimy założyć, że x2−1 jest liczbą dodatnią. Rozwiązujemy zatem nierówność x2−1>0.
x2−1>0(x−1)(x+1)>0x=1∨x=−1 Szkicujemy wykres
i wyznaczamy dziedzinę. x∈(−∞;−1)∪(1;∞) Zatem Df=(−∞;−1)∪(1;∞). Wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=ln(x2−1).
f′(x)=1⋅2xx2−1=2xx2−1, oraz wyznaczamy przedziały monotoniczności rozwiązując nierówność 1⋅2xx2−1>02x(x2−1)>02x(x+1)(x−1)>0x=0∨x=−1∨x=1 i odczytując z wykresu
uwzględniając dziedzinę, czyli sumę zbiorów (−∞;−1)∪(1;∞).
f jest funkcją rosnącą, jeśli x∈(1;∞),
f jest funkcją malejącą, jeśli x∈(−∞;−1).
Odpowiedź
f↗⇔x∈(1;∞)f↘⇔x∈(−∞;−1)
Funkcja 3
f(x)=x2e−2x
Rozwiązanie
Krok 1
W pierwszym kroku wyznaczamy dziedzinę funkcji f(x)=x2e−2x. Wybierz właściwą odpowiedź.
Df=R∖{0}
Odpowiedź nieprawidłowa
Df=R
Odpowiedź prawidłowa
Df=R+
Odpowiedź nieprawidłowa
Krok 2
W kolejnym kroku, dla x∈R, wyznaczamy pochodną funkcji f(x)=x2e−2x. Wybierz właściwą odpowiedź.
f′(x)=(2x−2x2)e−2x
Odpowiedź prawidłowa
f′(x)=2x2e−2x
Odpowiedź nieprawidłowa
f′(x)=(4x−2x2)e−2x
Odpowiedź nieprawidłowa
Krok 3
Rozwiązujemy nierówność f′(x)>0 i wyznaczamy przedziały monotoniczności. Wybierz właściwy wykres.
Dziedzina funkcji f: x⩾0,x>0,lnx≠0⇔x≠1 Zatem Df=R+∖{1}. f(x)=√xlnxf′(x)=12√xlnx−√x⋅1xln2x=lnx2√x−1√xln2x=lnx2−1√xln2xf′(x)>0⇔lnx2−1√xln2x>0√xln2x(lnx2−1)>0√x=0∨ln2x=0∨lnx2=1x=0∨lnx=0∨lnx=2x=0∨x=1- p. 2-kr.∨lnx=2x=0∨x=1- p. 2-kr.∨x=e2
Zatem uwzględniając dziedzinę x>0,x≠1 mamy: f↘⇔x∈(0;1)f↘⇔x∈(1;e2)f↗⇔x∈(e2;∞)
Funkcja 2
f(x)=x22−x
Odpowiedź
f↘⇔x∈(−∞;0)f↗⇔x∈(0;2)f↗⇔x∈(2;4)f↘⇔x∈(4;∞)
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji f jest zbiór Df=R∖{2}. Liczymy pochodną, rozwiązujemy nierówność wymierną i wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji f. f(x)=x22−xf′(x)=2x(2−x)−x2⋅(−1)(2−x)2=4x−2x2+x2(2−x)2=4x−x2(2−x)24x−x2(2−x)2>0(4x−x2)(2−x)2>0x(4−x)(2−x)2>0x=0∨x=4∨x=2 - p. 2-kr.
Drogi użytkowniku, czytelniku, kursancie, jeśli masz pomysł, by udoskonalić e-kurs, chcesz zadać pytanie, natrafiłeś/aś na jakiś problem lub chcesz wyrazić słowa uznania dla naszej pracy, napisz do nas a jeśli chcesz pozostaw swój adres e-mail, byśmy mogli Ci odpowiedzieć.