Wyznaczamy dziedzinę funkcji \(f(x)=4x^{3}-3x.\) Ponieważ jest to wielomian, zatem \(D=\mathbb{R}.\)
Liczymy pochodną funkcji \(f\) i przyrównujemy ją do zera, aby wyznaczyć punkty stacjonarne (czyli podejrzane o bycie ekstremum lokalnym).
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=12x^{2}-3\\
12x^{2}-3=0\\
4x^{2}-1=0\\
(2x-1)(2x+1)=0\\
{\displaystyle x=\frac{1}{2} \ \vee \ x=-\frac{1}{2}}
\end{array}\]
Stosujemy regułę \(I,\) zatem szkicujemy wykres pomocniczy pochodnej \( f'(x)=12x^{2}-3.\)

Z wykresu odczytujemy, że w punkcie \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\) pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną (czyli funkcja zmienia się z rosnącej na malejącą), zatem w tym punkcie funkcja \(f\) ma maksimum lokalne właściwe. W punkcie \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\) pochodna zmienia znak z ujemnej na dodatnią, czyli funkcja \(f\) zmienia się z malejącej na rosnącą. Funkcja ma więc w tym punkcie minimum lokalne.
Należałoby jeszcze wyznaczyć drugą współrzędną punktów, będących ekstremum funkcji.
Dla \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\[y=f\left (\frac{1}{2}  \right )=4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}-3\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{8}-\frac{3}{2}=-1.\]
Dla \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
\[y=f\left (-\frac{1}{2}  \right )=4\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )^{3}-3\cdot \left (-\frac{1}{2}  \right )=-\frac{4}{8}+\frac{3}{2}=1\]
Zatem punkt \( (\displaystyle\frac{1}{2}, -1)\) jest maksimum lokalnym funkcji \(f\) oraz punkt \((-\displaystyle\frac{1}{2},1)\) jest minimum lokalnym funkcji \(f.\)

Dziedziną funkcji \(f(x)=x^{2}\ln x\) jest zbiór \(D_{f}=\mathbb{R}_{+}.\)
Liczymy pierwszą pochodną funkcji \(f(x)=x^{2}\ln x.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=2x\ln x+x^{2}\cdot \frac{1}{x}=x(2\ln x+1)}\\
x(2\ln x+1)=0 \\
{\displaystyle x=0\notin D_{f} \ \ \vee \ \ 2\ln x+1=0\ \Leftrightarrow  \ x=e^{-\frac{1}{2}}}
\end{array}\]
Zatem punktem stacjonarnym (czyli tym, który może ale nie musi być ekstremum lokalnym) jest \(x=e^{-\displaystyle\frac{1}{2}}.\)
Stosujemy regułę 2 do badania, czy w danym punkcie znajduje się ekstremum funkcji \(f.\)
Liczymy drugą pochodną tej funkcji w punkcie \(e^{-\frac{1}{2}}.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f''(x)=2\ln x+1+x\cdot 2\cdot \frac{1}{x}=2\ln x+3}\\
{\displaystyle f''(e^{-\frac{1}{2}})=2\ln (e^{-\frac{1}{2}})+3=2\cdot (-\frac{1}{2})+3=2}
\end{array}\]
Ponieważ już druga pochodna jest różna od zera, zatem \(n=2\) - parzyste. Wnioskujemy zatem, że w tym punkcie istnieje ekstremum funkcji.
Ponieważ \(f''(e^{-\frac{1}{2}})=2 \gt 0,\) zatem jest to minimum lokalne funkcji \(f(x)=x^{2}\ln x.\)
Liczymy jeszcze wartość funkcji \(f\) dla argumentu będącego minimum lokalnym.
\[{\displaystyle y=f(e^{-\frac{1}{2}})=\left ( e^{-\frac{1}{2}} \right )^{2}\ln e^{-\frac{1}{2}}=e^{-1}\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{2e}}\]
Zatem punkt o współrzędnych \({\displaystyle \left (  e^{-\frac{1}{2}},-\frac{1}{2e} \right )=\left ( \frac{1}{\sqrt{e}},-\frac{1}{2e} \right )}\) jest minimum lokalnym funkcji \(f(x)=x^{2}\ln x\).

Rozwiąż zadanie w siedmiu krokach, wybierając poprawne odpowiedzi.
(Poprawność udzielonej odpowiedzi możesz sprawdzić klikając przycisk "Sprawdź" lub na końcu klikając "Sprawdź poprawność odpowiedzi".)