Zadanie 7.2.1
  1. Analiza matematyczna 1
  2. 7. Badanie przebiegu zmienności funkcji
  3. 7.2 Wartość największa i najmniejsza
  4. Zadanie 7.2.1

 Polecenie

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą podanych funkcji we wskazanych przedziałach domkniętych.

 Wskazówki

Algorytm wyznaczania wartości największej i najmniejszej funkcji

Aby wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji \(f\) na przedziale domkniętym \(\left \langle a;b \right \rangle,\) należy wybrać najmniejszą i największą wartość funkcji z wcześniej wyznaczonych:
  • wartości funkcji \(f\) na końcach przedziału, czyli \(f(a)\) oraz \(f(b),\)
  • wartości funkcji \(f\) dla argumentów, będących punktami stacjonarnymi (bez względu na to czy są, czy też nie ekstremum lokalnym funkcji - w ogóle tego nie sprawdzamy), czyli \(f(x_{1}), \ f(x_{2}), \cdots.\) (Musimy zatem policzyć pierwszą pochodną, przyrównać ją do zera i wyznaczyć punkty stacjonarne oraz sprawdzić, które z nich mieszczą się w przedziale \(\left \langle a;b \right \rangle\).)

Wśród wartości \(f(a), \ f(b), \ f(x_{1}), \ f(x_{2}), \cdots\) wybieramy wartość (liczbę) największą i najmniejszą, oznaczając je np. \(f_{\textrm{ najw }}, \ f_{\textrm{ najmn }}.\)

 Funkcja 1

\({\displaystyle f(x)=(2-x)e^{x},}\) na przedziale  \(\left \langle 0;2 \right \rangle\)

 Rozwiązanie

Zgodnie z algorytmem wyznaczania wartości największej i najmniejszej funkcji, wyznaczamy wartości funkcji \(f(x)=(2-x)e^{x}\) na końcach przedziału \(\left \langle 0;2 \right \rangle.\)
\[ \begin{array}{l}
f(0)=(2-0)e^{0}=\color{#F57C00}{2}\\
f(2)=(2-2)e^{2}=\color{#F57C00}{0}\\
\end{array}\]
Liczymy pierwszą pochodną funkcji \(f\) oraz przyrównujemy ją do zera, aby wyznaczyć punkty stacjonarne. Nie musimy sprawdzać, czy w wyznaczonych punktach stacjonarnych funkcja ma ekstremum. Wyznaczamy po prostu wartości funkcji \(f\) dla wyznaczonych argumentów.
\[ \begin{array}{l}
f'(x)=-1e^{x}+(2-x)e^{x}=(-1+2-x)e^{x}=(1-x)e^{x}\\
(1-x)e^{x}=0\\
1-x=0\\
x=1 \in \left \langle 0;2 \right \rangle
\end{array}\]
Sprawdzamy, czy wyznaczony punkt stacjonarny należy do przedziału \(\left \langle 0;2 \right \rangle,\) gdyby nie należał, nie bierzemy go pod uwagę.
W naszej sytuacji należy, zatem wyznaczamy wartość funkcji dla tego argumentu.
\[f(1)=(2-1)e^{1}=\color{#F57C00}{e}\]
Spośród wyznaczonych wartości, \(\color{#F57C00}{\textrm{ zaznaczonych na pomarańczowo}}\), wybieramy wartość największą i najmniejszą.
\[ \begin{array}{l}
f_{\textrm{najmn}}=0\\
f_{\textrm{najw}}=e
\end{array}\]

 Odpowiedź

Wartość najmniejsza i największa funkcji \(f(x)=(2-x)e^{x}\) w przedziale \(\left \langle 0;2 \right \rangle,\) to:
\[f_{\textrm{najmn}}=0,\\
f_{\textrm{najw}}=e.\]

 Funkcja 2

\(f(x)=\sqrt{x}-4x,\) na przedziale  \(\left \langle 0;0,2 \right \rangle\)

 Rozwiązanie

Na początku wyznaczamy wartości funkcji \(f(x)=\sqrt{x}-4x\) na końcach przedziału \(\left \langle 0;0,2 \right \rangle,\) czyli \(f(0)\) oraz \(f(0,2).\)
\[f(0)=0\\
f(0,2)=\sqrt{0,2}-0,8\approx -0,35\]
Dalej wyznaczamy pochodną funkcji \(f(x)=\sqrt{x}-4x\) oraz punkty stacjonarne.
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-4}\\
{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}-4=0}\\
{\displaystyle 1-8\sqrt{x}=0}\\
{\displaystyle \sqrt{x}=\frac{1}{8}}\\
{\displaystyle x=\frac{1}{64}}
\end{array}\]
Dla wyznaczonego punktu liczymy wartość funkcji.
\[f\left (\frac{1}{64}  \right )=\sqrt{\frac{1}{64}}-4\cdot \frac{1}{64}=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\approx 0,06.\]
Wybieramy wartość największą i najmniejszą z wyznaczonych wartości.
Funkcja przyjmuje największą wartość równą \(f_{\textrm{najw}}={\displaystyle f\left (\frac{1}{64}  \right )=\frac{1}{16}}\) i najmniejsza równą \(f_{\textrm{najmn}} =f(0,2)=\sqrt{0,2}-0,8.\)

 Odpowiedź

  • \({\displaystyle f_{\textrm{najw}}=\frac{1}{16},}\)
  • \({\displaystyle f_{\textrm{najmn}} =\sqrt{0,2}-0,8.}\)

 Funkcja 3

\({\displaystyle f(x)=\textrm{ arctg }\frac{x}{2}},\) na przedziale \(\left \langle -1;1 \right \rangle.\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku należy wyznaczyć wartości funkcji \({\displaystyle f(x)=\textrm{ arctg }\frac{x}{2}}\) na końcach przedziału \(\left \langle -1;1 \right \rangle.\) Wybierz prawidłową odpowiedź i kliknij przycisk "Sprawdź".

\({\displaystyle f(-1)=\textrm{ arctg }\left (-\frac{1}{2}  \right )=}\\
{\displaystyle -\textrm{ arctg }\frac{1}{2}=-\frac{\pi}{6}}\\
{\displaystyle f(1)=\textrm{ arctg }\left (\frac{1}{2}  \right )=\frac{\pi}{6}}\)

Odpowiedź prawidłowa

\({\displaystyle f(-1)=\textrm{ arctg }\left (-\frac{1}{2}  \right )=-\frac{1}{2}}\\
{\displaystyle f(1)=\textrm{ arctg }\left (\frac{1}{2}\right )=\frac{1}{2}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\({\displaystyle f(-1)=\textrm{ arctg }\left (-\frac{1}{2}  \right )=}\\
{\displaystyle -\textrm{ arctg }\frac{1}{2}=-\frac{\pi}{3}}\\
{\displaystyle f(1)=\textrm{ arctg }\left (\frac{1}{2}  \right )=\frac{\pi}{3}}\)

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 2

W kolejnym kroku wyznaczamy pochodną funkcji \({\displaystyle f(x)=\textrm{ arctg }\frac{x}{2}}\) i punkty stacjonarne. Wybierz właściwą odpowiedź.

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{2}{4+x^{2}}}\\
{\displaystyle f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{2}{4+x^{2}}=0} \\ \Leftrightarrow \ \ x=-2 \ \vee \ x=2
\end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{2}{4+x^{2}}}\\
{\displaystyle f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{2}{4+x^{2}}=0} \\ \Leftrightarrow \ \ x\in \varnothing
\end{array}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{4+x^{2}}}\\
{\displaystyle f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ \frac{2}{4+x^{2}}=0}\\ \Leftrightarrow \ \ x=0
\end{array}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

 Krok 3

Zatem nie ma punktów stacjonarnych. Wybierając wartość największą i najmniejszą z wcześniej wyznaczonych wartości możemy udzielić odpowiedzi. Wybierz właściwą odpowiedź.

\[f_{\textrm{najw}}=-\frac{\pi}{6}\\
f_{\textrm{najmn}}=\frac{\pi}{6}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f_{\textrm{najw}}=\frac{\pi}{6}\\
f_{\textrm{najmn}}=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f_{\textrm{najw}}=\frac{\pi}{6}\\
f_{\textrm{najmn}}=-\frac{\pi}{6}\]

Odpowiedź prawidłowa

Podsumowanie

Wszystkie etapy zadania 7.2.1.3 zostały wykonane prawidłowo.

 Polecenie

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą podanych funkcji we wskazanych przedziałach domkniętych.

 Funkcja 1

\({\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-9x^{2}+40x},\) na przedziale \(\left \langle 3;6 \right \rangle\)

 Odpowiedź

\[ \begin{array}{l}
f_{\textrm{najw}}=60\\
f_{\textrm{najmn}}=57
\end{array}\]

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-9x^{2}+40x, \textrm{na przedziale } \left \langle 3;6 \right \rangle\\
\\
f(3)=57\\
f(6)=60\\
f'(x)=2x^{2}-18x+40\\
2x^{2}-18x+40=0\\
2\left ( x^{2}-9x+20 \right )=0\\
x^{2}-9x+20=0\\
\Delta =81-4\cdot 20=1\\
\sqrt{\Delta }=1\\
x_{1}=\frac{9-1}{2}=4 \in \left \langle 3;6 \right \rangle\\
x_{2}=\frac{9+1}{2}=5 \in \left \langle 3;6 \right \rangle\\
f(4)=58\frac{2}{3}\\
f(5)=58\frac{1}{3}\\
f_{\textrm{najw}}=60\\
f_{\textrm{najmn}}=57
\end{array}\]

 Funkcja 2

\(f(x)=\cos 2x-2\cos x,\) na przedziale  \(\left \langle 0;\pi \right \rangle\)

 Odpowiedź

\[ \begin{array}{l}
f_{\textrm{najw}}=3\\
{\displaystyle f_{\textrm{najmn}}=-\frac{3}{2}}.
\end{array}\]

 Rozwiązanie

Wyznaczamy wartość największą i najmniejszą funkcji \(f(x)=\cos 2x-2\cos x\) na przedziale \(\left \langle 0;\pi \right \rangle.\)
\[ \begin{array}{l}
f(0)=\cos 0-2\cos 0=1-2=-1\\
f(\pi)=\cos 2\pi-2\cos \pi=1+2=3\\
f'(x)=2(-\sin 2x)-2(-\sin x)=-2\sin 2x+2\sin x\\
-2\sin 2x+2\sin x=0\\
-2\cdot 2\sin x\cos x +2\sin x=0\\
-2\sin x \left ( 2\cos x -1 \right )=0\\
-2\sin x=0 \ \vee \ 2\cos x -1 = 0\\
\sin x=0 \ \vee \ \cos x=\frac{1}{2}\\
{\displaystyle x=0+k\pi, k\in \mathbb{C} \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi , k\in \mathbb{C}}\\
{\displaystyle f(\pi)=\cos (2\pi)-2\cos \pi=1-2\cdot (-1)=3}\\
{\displaystyle f(k\pi)=3, k\in \mathbb{C}}\\
{\displaystyle f\left (\frac{\pi}{3}  \right )= \cos \frac{2\pi}{3}-2\cos \frac{\pi}{3}=}\\
{\displaystyle =\cos \left (\pi -\frac{\pi}{3}  \right )-2\cdot \frac{1}{2}=-\cos \frac{\pi}{3}-1=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}}\\
{\displaystyle f\left (\frac{\pi}{3}+2k\pi  \right )=-\frac{3}{2}, \ k\in \mathbb{C}}\\
{\displaystyle f\left (-\frac{\pi}{3}  \right )= \cos \left (-\frac{2\pi}{3}  \right )-2\cos\left ( -\frac{\pi}{3}  \right )=}\\
{\displaystyle =\cos \left (\pi -\frac{\pi}{3}  \right )-2\cdot \frac{1}{2}=-\cos \frac{\pi}{3}-1=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}}\\
{\displaystyle f\left (-\frac{\pi}{3}+2k\pi  \right )=-\frac{3}{2}, \ k\in \mathbb{C}}
\end{array}\]
Zatem
\[ \begin{array}{l}
f_{\textrm{najw}}=3\\
{\displaystyle f_{\textrm{najmn}}=-\frac{3}{2}}.
\end{array}\]

 Funkcja 3

\({\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+4}},\) na przedziale \(\left \langle 0;1 \right \rangle\)

 Odpowiedź

\[ \begin{array}{l}
f_{\textrm{najw}}=0\\
{\displaystyle  f_{\textrm{najmn}}=-\frac{1}{4}}.
\end{array}\]

 Rozwiązanie

Wyznaczamy największą i najmniejszą wartość funkcji \({\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+4}}\) w przedziale \(\left \langle 0;1 \right \rangle.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(0)=-\frac{1}{4}}\\
f(1)=0\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot (x+4)-(x-1)\cdot 1}{(x+4)^{2}}=\frac{\cancel{x}+4\cancel{-x}+1}{(x+4)^{2}}=\frac{5}{(x+4)^{2}} \gt 0 \ \ 
\underset{x\in D_{f}}{\huge \forall } }
\end{array}\]
Brak punktów stacjonarnych.
Zatem
\[ \begin{array}{l}
f_{\textrm{najw}}=0\\
{\displaystyle f_{\textrm{najmn}}=-\frac{1}{4}}
\end{array}\]