Zadanie 7.3.1

 Polecenie

Określ przedziały wklęsłości, wypukłości oraz punkty przegięcia wskazanych funkcji.

 Wskazówki

Definicja funkcji wklęsłej i wypukłej

Definicja funkcji wklęsłej
Jeżeli odcinek siecznej przechodzącej przez dwa dowolne punkty wykresu funkcji \(f\) leży poniżej tego wykresu, to funkcję \(f\) nazywamy funkcją wklęsłą.
_rysunek_7.3.1.1
Definicja funkcji wypukłej
Jeżeli odcinek siecznej przechodzącej przez dwa dowolne punkty wykresu funkcji \(f\) leży powyżej tego wykresu, to funkcję \(f\) nazywamy funkcją wypukłą.
_rysunek_7.3.1.2

Twierdzenie (warunek wystarczający wklęsłości i wypukłości)

Jeżeli \(f''(x) \gt 0\) dla każdego \(x\in \left ( a;b \right ),\) to funkcja \(f\) jest ściśle wypukła na \(\left ( a;b \right ).\)
Jeżeli \(f''(x) \lt 0\) dla każdego \(x\in \left ( a;b \right ),\) to funkcja \(f\) jest ściśle wklęsła na \(\left ( a;b \right ).\)
Uwaga
Jeśli \(f''(x) \geqslant 0,\) przy czym druga pochodna jest równa zero (\(f''(x)=0\)) dla skończonej liczby punktów z odcinka \(\left ( a;b \right ),\) to funkcja \(f\) jest nadal funkcją ściśle wypukłą. Podobnie jest dla funkcji wklęsłej.

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający na istnienie punktu przegięcia)

Definicja punktu przegięcia
Punkt \(x_{0}\) jest punktem przegięcia funkcji \(f,\) jeżeli funkcja ma w tym punkcie styczną oraz zmienia w nim rodzaj wypukłości. (Wykres przechodzi w nim z jednej strony stycznej na drugą.)
_rysunek_7.3.1.3
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli w punkcie \((x_{0},f(x_{0}))\) jest punkt przegięcia, to \(f''(x_{0})=0.\)
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)
Niech funkcja \(f\) posiada pierwszą i drugą pochodną w punkcie \(x_{0}\) oraz \(f''(x_{0})=0.\) Wtedy prawdziwe są dwa twierdzenia.
\(I.\) Jeżeli \(f''(x)\) zmienia znak w otoczeniu punktu \(x_{0},\) to \((x_{0}, f(x_{0}))\) jest punktem przegięcia.
\(II.\) Jeżeli
  • \(f''(x_{0})=f'''(x_{0})= \cdots = f^{(n-1)}(x_{0})=0,\)
  • \(f^{(n)}(x_{0})\neq 0,\)
  • \(n\) - nieparzyste,
wówczas w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) jest punkt przegięcia.
(Jeżeli \(n\) jest parzyste, to w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) nie ma punktu przegięcia.)

 Funkcja 1

\(f(x)=x^{3}-1\)

 Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(f(x)=x^{3}-1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcja \(f\) ma pierwszą i drugą pochodną na zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczymy pierwszą i drugą pochodną funkcji \(f\) oraz przyrównujemy drugą pochodną do zera, wyznaczając punkty podejrzane o bycie punktami przegięcia.
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{3}-1\\
f'(x)=3x^{2}\\
f''(x)=6x\\
f''(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 6x=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0\\
\end{array}\]
Szkicujemy wykres drugiej pochodnej.
_rysunek_7.3.1.4
Wykres pokazuje, że:
  1. funkcja \(f\) jest wklęsła dla wszystkich \(x \in  \left ( -\infty; 0 \right ),\)
  2. funkcja \(f\) jest wypukła dla wszystkich \(x \in  \left ( 0; \infty \right ),\)
  3. w punkcie \((0,0)\) mamy punkt przegięcia, gdyż druga pochodna się zeruje oraz zmienia znak w tym punkcie.
Początek rozwiązania pozostaje taki sam.
Dziedziną funkcji \(f(x)=x^{3}-1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcja \(f\) ma pierwszą i drugą pochodną na zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczymy pierwszą i drugą pochodną funkcji \(f\) oraz przyrównujemy drugą pochodną do zera, wyznaczając punkty podejrzane o bycie punktami przegięcia.
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{3}-1\\
f'(x)=3x^{2}\\
f''(x)=6x\\
f''(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 6x=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0\\
\end{array}\]
W tym momencie rozwiązujemy nierówność aby wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest wklęsła/wypukła.
\[6x \gt 0 \ \  \Leftrightarrow \ \ x \gt 0,\]
zatem dla \(x \gt 0\) funkcja jest wypukła.
\[6x \lt 0 \ \  \Leftrightarrow \ \ x \lt 0,\]
zatem dla \(x \lt 0\) funkcja jest wklęsła.
Aby sprawdzić, czy w punkcie \((0,0)\) funkcja ma punkt przegięcia liczymy kolejne pochodne funkcji \(f,\) dla \(x=0.\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{3}-1\\
f'(0)=0\\
f''(0)=0\\
f'''(0)=6.
\end{array}\]
Zatem trzecia pochodna jest różna od zera w punkcie \(x=0\) oraz \(n=3\) jest nieparzyste, zatem w punkcie \((0,0)\) funkcja \(f\) ma punkt przegięcia.

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=x^{3}-1:\) 
  • jest wklęsła dla wszystkich \(x \in  \left ( -\infty; 0 \right ),\)
  • jest wypukła dla wszystkich \(x \in  \left ( 0; \infty \right ),\)
  • ma w punkcie \((0,0)\) mamy punkt przegięcia.

 Funkcja 2

\(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right )\)

 Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę funkcji \(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right ).\) Zakładamy, że
\[ \begin{array}{l}
x^{2}-9 \gt 0\\
(x-3)(x+3)\gt 0\\
x=3 \ \vee \ x=-3\\
\end{array}\]

_rysunek_7.2.2.19

Zatem \(D_{f}=\left ( -\infty;-3 \right )\cup \left ( 3;\infty \right ).\)
Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x^{2}-9}\cdot 2x= \frac{2x}{x^{2}-9}}\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{2(x^{2}-9)-2x\cdot 2x}{\left ( x^{2}-9 \right )^{2}}=}\\
{\displaystyle =\frac{2x^{2}-18-4x^{2}}{\left ( x^{2}-9 \right )^{2}}=}\\
{\displaystyle =\frac{-2x^{2}-18}{\left ( x^{2}-9 \right )^{2}}}
\end{array}\]
Drugą pochodną porównujemy do zera i wyznaczamy argumenty, dla których jest ona równa zero.
\[ \begin{array}{l}
-2x^{2}-18=0\\
-2(x^{2}+9)=0\\
\underset{x\in D}{\huge \forall }(x^{2}+9)\gt 0
\end{array}\]
Ponieważ nie istnieją takie argumenty, dla których druga pochodna jest równa zero, zatem nie ma punktów przegięcia.
\(\underset{x\in D}{\huge \forall } f''(x) \lt 0 \) zatem funkcja \(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right )\) jest wklęsła na całej swojej dziedzinie.

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right )\) jest wklęsła na całej swojej dziedzinie. W związku z tym nie posiada punktów przegięcia.

 Funkcja 3

\(f(x)=x^{3}\ln x\)

 Rozwiązanie

 Krok 1

W pierwszym kroku należy wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\) Wybierz właściwy zbiór i sprawdź.

\[D_{f}=\mathbb{R}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[D_{f}=\mathbb{R}_{+} \cup \left \{ 0 \right \}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[D_{f}=\mathbb{R}_{+} \]

Odpowiedź prawidłowa
OBLICZENIA
Wystarczy założyć, że \(x \gt 0\) ze względu na dziedzinę logarytmu naturalnego. Zatem \(D_{f}=\mathbb{R}_{+}.\)

 Krok 2

W kolejnym kroku wyznaczamy pierwszą pochodną funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\) Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź.

\[f'(x)=x^{2}\left ( \ln x+1 \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f'(x)=x^{2}\left ( 3\ln x+1 \right )\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f'(x)=3x^{2}\ln x+1\]

Odpowiedź nieprawidłowa
OBLICZENIA
\({\displaystyle f'(x)=3x^{2}\ln x+\frac{x^{3}}{x}=3x^{2}\ln x+x^{2}=x^{2}\left ( 3\ln x+1 \right )}\)

 Krok 3

Następnie wyznaczamy drugą pochodną funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\) Wybierz właściwą funkcję i sprawdź.

\[f''(x)=x^{2}\left ( 6\ln x +5 \right )\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f''(x)=6\ln x +5x \]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f''(x)=x\left ( 6\ln x +5 \right )\]

Odpowiedź prawidłowa
OBLICZENIA
\({\displaystyle f''(x)=2x\left (3\ln x +1  \right )+\frac{x^{\cancel{2}}\cdot 3}{\cancel{x}}=x\left [2\left (3\ln x +1  \right )+ 3  \right ]=x\left ( 6\ln x +5 \right )}\)

 Krok 4

Porównujemy drugą pochodną do zera i wyznaczamy argumenty "podejrzane" o to, że są punktami przegięcia funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\) Wybierz właściwe argumenty uwzględniając dziedzinę funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x\) i sprawdź.

\[x=e^{-\frac{5}{6}}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[x=0 \ \ \vee \ \  x=e^{-\frac{5}{6}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[x=0\]

Odpowiedź nieprawidłowa
OBLICZENIA
\[\begin{matrix}
\begin{array}{l}
x\left ( 6\ln x +5 \right )=0\\
x=0 \ \ \ \ \vee  & 6\ln x+5 =0\\
x=0 \notin D_{f} & {\displaystyle \ln x=-\frac{5}{6}}\\
& {\displaystyle x=e^{-\frac{5}{6}}}
\end{array}
\end{matrix}\]

 Krok 5

Ponieważ \(x=0\) nie należy do dziedziny, nie może być punktem przegięcia funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\) Musimy sprawdzić czy punkt \({\displaystyle x=e^{-\frac{5}{6}}}\) jest punktem przegięcia funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\) W tym celu liczymy trzecią pochodną funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x\) w punkcie \({\displaystyle x=e^{-\frac{5}{6}}}.\) Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź.

\[f'''(e^{-\frac{5}{6}})=0 \]
Liczymy czwartą pochodną funkcji \(f.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f'''(e^{-\frac{5}{6}})=5 \neq 0 \] \[ \wedge \ \ n=2  \textrm{ - parzyste}\]
Zatem dla \(x=e^{-\frac{5}{6}}\) funkcja nie ma punktu przegięcia.

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f'''(e^{-\frac{5}{6}})=6 \neq 0 \] \[ \wedge \ \ n=3  \textrm{ - nieparzyste}\]
Zatem dla \(x=e^{-\frac{5}{6}}\) funkcja ma punkt przegięcia.

Odpowiedź prawidłowa
OBLICZENIA
\[ \begin{array}{l}
f'''(x)=1\cdot \left ( 6\ln x +5 \right )+x\cdot 6\cdot \frac{1}{x}= 6\ln x+5+6 =6\ln x+11\\
f'''(e^{-\frac{5}{6}})=6\ln \left ( e^{-\frac{5}{6}} \right )+11=6\cdot \left (  -\frac{5}{6}\right )+11=-5+11=6 \neq 0
\end{array}\]
Ponieważ \(n=3\) - liczba nieparzysta, zatem na mocy twierdzenia \(II.\) (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia) dla \(x=e^{-\frac{5}{6}}\) funkcja \(f(x)=x^{3}\ln x\) ma punkt przegięcia.

 Krok 6

Należy jeszcze wyznaczyć drugą współrzędną punktu przegięcia (czyli wartość funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x\) dla argumentu \(x=e^{-\frac{5}{6}}\)). Wybierz właściwą odpowiedź.

\[f(e^{-\frac{5}{6}})=-\frac{5e^{-\frac{5}{6}}}{6}\]

Odpowiedź prawidłowa

\[f(e^{-\frac{5}{6}})=-\frac{5}{6}\]

Odpowiedź nieprawidłowa

\[f(e^{-\frac{5}{6}})=-e^{-\frac{5}{6}}\]

Odpowiedź nieprawidłowa
OBLICZENIA
\[f(e^{-\frac{5}{6}})=\left ( e^{-\frac{5}{6}} \right )^{3}\ln \left (e^{-\frac{5}{6}}  \right )=e^{-\frac{5}{6}}\cdot \left ( -\frac{5}{6} \right )=-\frac{5e^{-\frac{5}{6}}}{6}\]

 Krok 7

W punkcie \((e^{-\frac{5}{6}},-\frac{5e^{-\frac{5}{6}}}{6})\) funkcja \(f(x)=x^{3}\ln x\) posiada punkt przegięcia. Aby wyznaczyć przedziały wklęsłości/wypukłości należy zbadać znak drugiej pochodnej w otoczeniu punktu przegięcia. Aby to zrobić wystarczy narysować wykres drugiej pochodnej (co często jest kłopotliwe lub czasochłonne) lub rozwiązać odpowiednie nierówności. Wybierz właściwą odpowiedź i sprawdź.

Funkcja \(f\) jest wypukła dla \( x \lt e^{-\frac{5}{6}},\)
Funkcja \(f\) jest wklęsła dla \(x \gt e^{-\frac{5}{6}}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Funkcja \(f\) jest wypukła dla \( x \gt e^{-\frac{5}{6}},\)
Funkcja \(f\) jest wklęsła dla \(x \lt e^{-\frac{5}{6}}.\)

Odpowiedź nieprawidłowa

Funkcja \(f\) jest wypukła dla \( x \gt e^{-\frac{5}{6}},\)
Funkcja \(f\) jest wklęsła dla \(0 \lt x \lt e^{-\frac{5}{6}}.\)

Odpowiedź prawidłowa
OBLICZENIA
\[x \gt 0\]
\[ \begin{array}{l}
f''(x)\gt 0 & f''(x)\lt 0\\
6\ln x+5 \gt 0 & 6\ln x+5 \lt 0\\
6\ln x\gt -5 & 6\ln x\lt -5\\
\ln x\gt -\frac{5}{6} & \ln x\lt -\frac{5}{6}\\
x \gt e^{-\frac{5}{6}}& x \lt e^{-\frac{5}{6}}\\
\end{array}\]
Zatem
\[ \begin{array}{l}
f''(x)\gt 0\ \ \Leftrightarrow \ \  x \gt e^{-\frac{5}{6}}\\
f''(x)\lt 0\ \ \Leftrightarrow \ \ 0 \lt x \lt e^{-\frac{5}{6}}
\end{array}\]

 Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=x^{3}\ln x\) jest wypukła dla \( x \gt e^{-\frac{5}{6}}.\)
Funkcja \(f(x)=x^{3}\ln x\) jest wklęsła dla \(0 \lt x \lt e^{-\frac{5}{6}}.\)
Punkt \((e^{-\frac{5}{6}},-\frac{5e^{-\frac{5}{6}}}{6})\) jest punktem przegięcia funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\)

 Polecenie

Określ przedziały wklęsłości, wypukłości oraz punkty przegięcia wskazanych funkcji.

 Funkcja 1

\(f(x)=\ln \left | x \right |+x^{2}-7\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f\):
  • jest wypukła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\) oraz dla \({\displaystyle x \in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\infty \right )},\)
  • jest wklęsła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right )},\)
  • ma punkty przegięcia w punktach \( {\displaystyle \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}\) oraz \({\displaystyle \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}.\)

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\ln\left | x \right |+x^{2}-7, \ \  x\neq  0\\
f(x)=
\begin{cases}
\ln x+x^{2}-7, & x\gt 0\\
\ln (-x)+x^{2}-7, & x\lt 0\\
\end{cases}
\\
f'(x)=
\begin{cases}
{\displaystyle \frac{1}{x}+2x}, & x\gt 0\\
{\displaystyle \frac{1\cdot (-1)}{-x}+2x=\frac{1}{x}+2x}, & x\gt 0\\
\end{cases}={\displaystyle \frac{1}{x}+2x}
\\
{\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}+2}\\
{\displaystyle -\frac{1}{x^{2}}+2\gt 0}\\
{\displaystyle \frac{-1+2x^{2}}{x^{2}}\gt 0}\\
{\displaystyle x^{2}\left ( 2x^{2}-1 \right )\gt 0}\\
{\displaystyle x^{2}\left ( \sqrt{2}x-1 \right )\left ( \sqrt{2}x+1 \right ) \gt 0}\\
{\displaystyle x=0 - \textrm{ p.2-krotny} \ \vee  \ x=\frac{\sqrt{2}}{2} \ \vee  \ x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{array}\]
_rysunek_7.3.1.6
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\\
{\displaystyle f''(x)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\\
{\displaystyle f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\infty \right )}\\
{\displaystyle f''(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \vee \ \ x=\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{array}\]
Liczymy jeszcze wartości funkcji dla argumentów \({\displaystyle x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \  x=\frac{\sqrt{2}}{2}}.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\ln\left |-\frac{\sqrt{2}}{2}\right |+\left (-\frac{\sqrt{2}}{2}  \right )^{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2}}\\
{\displaystyle f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\ln\left |\frac{\sqrt{2}}{2}\right |+\left (\frac{\sqrt{2}}{2}  \right )^{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2}}
\end{array}\]
Zatem funkcja \(f\):
  • jest wypukła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} \) oraz dla \({\displaystyle x \in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\infty \right )},\)
  • jest wklęsła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right )},\)
  • ma punkty przegięcia w punktach \({\displaystyle \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}\) oraz \({\displaystyle \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}.\)

 Funkcja 2

\({\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}}\)

 Odpowiedź

Funkcja \(f\):
  • jest wypukła dla \(x \in \left ( -\sqrt{6};0 \right )\) oraz dla \(x \in \left ( 0;\sqrt{6} \right ),\)
  • jest wklęsła dla \(x \in \left ( \infty;-\sqrt{6} \right )\) oraz dla \(x \in \left ( \sqrt{6};\infty \right ),\)
  • w punktach \({\displaystyle (\sqrt{6},\frac{5\sqrt{6}}{36})}\) oraz  \({\displaystyle (-\sqrt{6},-\frac{5\sqrt{6}}{36})}\) ma punkty przegięcia.

 Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}}, \textrm{ gdzie  }
{\displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}}\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot x^{3}-(x^{2}-1)\cdot 3x^{2}}{x^{6}}=\frac{2x^{4}-3x^{4}+3x^{2}}{x^{6}}=\frac{3x^{2}-x^{4}}{x^{6}}=\frac{x^{2}\left (3-x^{2}  \right )}{x^{6}}=\frac{3-x^{2}}{x^{4}}}\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{-2x\cdot x^{4}-(3-x^{2})\cdot 4x^{3}}{x^{8}}=\frac{-2x^{5}-12x^{3}+4x^{5}}{x^{8}}=
\frac{2x^{5}-12x^{3}}{x^{8}}=\frac{2\left (x^{2}-6  \right )}{x^{5}}}\\
{\displaystyle \frac{2\left (x^{2}-6  \right )}{x^{5}}\gt 0}\\
{\displaystyle 2x^{5}\left (x^{2}-6  \right )\gt 0}\\
{\displaystyle x=0 -\textrm{ p.5-krotny}\ \ \left (x-\sqrt{6}  \right )\left (x+\sqrt{6}  \right )=0}\\
{\displaystyle x=0 -\textrm{ p.5-krotny}\ \ x=\sqrt{6} \ \ x=-\sqrt{6}}\\
\end{array}\]
_rysunek_7.3.1.7
Zatem
\[ \begin{array}{l}
f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( -\sqrt{6};0 \right )
f''(x)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( \infty;-\sqrt{6} \right )\\
f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( 0;\sqrt{6} \right )\\
f''(x)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( \sqrt{6};\infty \right )
\end{array}\]
Dla \(x=\sqrt{6}\) oraz  \(x=-\sqrt{6}\) funkcja ma punkty przegięcia.
Wyznaczamy jeszcze wartości funkcji \(f\) dla tych argumentów.
\({\displaystyle f(\sqrt{6})=\frac{\sqrt{6}^{2}-1}{\sqrt{6}^{3}}=\frac{5}{6\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{36}}\\
{\displaystyle f(-\sqrt{6})=\frac{\left (-\sqrt{6}  \right )^{2}-1}{\left (-\sqrt{6}  \right )^{3}}=-\frac{5}{6\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{36}}\)