Zadanie 7.3.1

Zadanie 7.3.1
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Określ przedziały wklęsłości, wypukłości oraz punkty przegięcia wskazanych funkcji.

Wskazówki

Definicja funkcji wklęsłej i wypukłej

Definicja funkcji wklęsłej

Jeżeli odcinek siecznej przechodzącej przez dwa dowolne punkty wykresu funkcji \(f\) leży poniżej tego wykresu, to funkcję \(f\) nazywamy funkcją wklęsłą.

Definicja funkcji wypukłej

Jeżeli odcinek siecznej przechodzącej przez dwa dowolne punkty wykresu funkcji \(f\) leży powyżej tego wykresu, to funkcję \(f\) nazywamy funkcją wypukłą.

Twierdzenie (warunek wystarczający wklęsłości i wypukłości)

Jeżeli \(f''(x) \gt 0\) dla każdego \(x\in \left ( a;b \right ),\) to funkcja \(f\) jest ściśle wypukła na \(\left ( a;b \right ).\)
Jeżeli \(f''(x) \lt 0\) dla każdego \(x\in \left ( a;b \right ),\) to funkcja \(f\) jest ściśle wklęsła na \(\left ( a;b \right ).\)

Uwaga

Jeśli \(f''(x) \geqslant 0,\) przy czym druga pochodna jest równa zero (\(f''(x)=0\)) dla skończonej liczby punktów z odcinka \(\left ( a;b \right ),\) to funkcja \(f\) jest nadal funkcją ściśle wypukłą. Podobnie jest dla funkcji wklęsłej.

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający na istnienie punktu przegięcia)

Definicja punktu przegięcia

Punkt \(x_{0}\) jest punktem przegięcia funkcji \(f,\) jeżeli funkcja ma w tym punkcie styczną oraz zmienia w nim rodzaj wypukłości. (Wykres przechodzi w nim z jednej strony stycznej na drugą.)

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli w punkcie \((x_{0},f(x_{0}))\) jest punkt przegięcia, to \(f''(x_{0})=0.\)

Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Niech funkcja \(f\) posiada pierwszą i drugą pochodną w punkcie \(x_{0}\) oraz \(f''(x_{0})=0.\) Wtedy prawdziwe są dwa twierdzenia.
\(I.\) Jeżeli \(f''(x)\) zmienia znak w otoczeniu punktu \(x_{0},\) to \((x_{0}, f(x_{0}))\) jest punktem przegięcia.
\(II.\) Jeżeli

\(f''(x_{0})=f'''(x_{0})= \cdots = f^{(n-1)}(x_{0})=0,\)
\(f^{(n)}(x_{0})\neq 0,\)
\(n\) - nieparzyste,

wówczas w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) jest punkt przegięcia.
(Jeżeli \(n\) jest parzyste, to w punkcie \((x_{0}, f(x_{0}))\) nie ma punktu przegięcia.)

Funkcja 1

\(f(x)=x^{3}-1\)

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji \(f(x)=x^{3}-1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcja \(f\) ma pierwszą i drugą pochodną na zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczymy pierwszą i drugą pochodną funkcji \(f\) oraz przyrównujemy drugą pochodną do zera, wyznaczając punkty podejrzane o bycie punktami przegięcia.
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{3}-1\\
f'(x)=3x^{2}\\
f''(x)=6x\\
f''(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 6x=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0\\
\end{array}\]
Szkicujemy wykres drugiej pochodnej.

Wykres pokazuje, że:

funkcja \(f\) jest wklęsła dla wszystkich \(x \in \left ( -\infty; 0 \right ),\)
funkcja \(f\) jest wypukła dla wszystkich \(x \in \left ( 0; \infty \right ),\)
w punkcie \((0,0)\) mamy punkt przegięcia, gdyż druga pochodna się zeruje oraz zmienia znak w tym punkcie.

Początek rozwiązania pozostaje taki sam.
Dziedziną funkcji \(f(x)=x^{3}-1\) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcja \(f\) ma pierwszą i drugą pochodną na zbiorze liczb rzeczywistych.
Liczymy pierwszą i drugą pochodną funkcji \(f\) oraz przyrównujemy drugą pochodną do zera, wyznaczając punkty podejrzane o bycie punktami przegięcia.
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{3}-1\\
f'(x)=3x^{2}\\
f''(x)=6x\\
f''(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 6x=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=0\\
\end{array}\]
W tym momencie rozwiązujemy nierówność aby wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest wklęsła/wypukła.
\[6x \gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \gt 0,\]
zatem dla \(x \gt 0\) funkcja jest wypukła.
\[6x \lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \lt 0,\]
zatem dla \(x \lt 0\) funkcja jest wklęsła.
Aby sprawdzić, czy w punkcie \((0,0)\) funkcja ma punkt przegięcia liczymy kolejne pochodne funkcji \(f,\) dla \(x=0.\)
\[ \begin{array}{l}
f(x)=x^{3}-1\\
f'(0)=0\\
f''(0)=0\\
f'''(0)=6.
\end{array}\]
Zatem trzecia pochodna jest różna od zera w punkcie \(x=0\) oraz \(n=3\) jest nieparzyste, zatem w punkcie \((0,0)\) funkcja \(f\) ma punkt przegięcia.

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=x^{3}-1:\)

jest wklęsła dla wszystkich \(x \in \left ( -\infty; 0 \right ),\)
jest wypukła dla wszystkich \(x \in \left ( 0; \infty \right ),\)
ma w punkcie \((0,0)\) mamy punkt przegięcia.

Funkcja 2

\(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right )\)

Rozwiązanie

Wyznaczamy dziedzinę funkcji \(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right ).\) Zakładamy, że
\[ \begin{array}{l}
x^{2}-9 \gt 0\\
(x-3)(x+3)\gt 0\\
x=3 \ \vee \ x=-3\\
\end{array}\]

Zatem \(D_{f}=\left ( -\infty;-3 \right )\cup \left ( 3;\infty \right ).\)
Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x^{2}-9}\cdot 2x= \frac{2x}{x^{2}-9}}\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{2(x^{2}-9)-2x\cdot 2x}{\left ( x^{2}-9 \right )^{2}}=}\\
{\displaystyle =\frac{2x^{2}-18-4x^{2}}{\left ( x^{2}-9 \right )^{2}}=}\\
{\displaystyle =\frac{-2x^{2}-18}{\left ( x^{2}-9 \right )^{2}}}
\end{array}\]
Drugą pochodną porównujemy do zera i wyznaczamy argumenty, dla których jest ona równa zero.
\[ \begin{array}{l}
-2x^{2}-18=0\\
-2(x^{2}+9)=0\\
\underset{x\in D}{\huge \forall }(x^{2}+9)\gt 0
\end{array}\]
Ponieważ nie istnieją takie argumenty, dla których druga pochodna jest równa zero, zatem nie ma punktów przegięcia.
\(\underset{x\in D}{\huge \forall } f''(x) \lt 0 \) zatem funkcja \(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right )\) jest wklęsła na całej swojej dziedzinie.

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=\ln \left ( x^{2}-9 \right )\) jest wklęsła na całej swojej dziedzinie. W związku z tym nie posiada punktów przegięcia.

Funkcja 3

OBLICZENIA

\[x \gt 0\]
\[ \begin{array}{l}
f''(x)\gt 0 & f''(x)\lt 0\\
6\ln x+5 \gt 0 & 6\ln x+5 \lt 0\\
6\ln x\gt -5 & 6\ln x\lt -5\\
\ln x\gt -\frac{5}{6} & \ln x\lt -\frac{5}{6}\\
x \gt e^{-\frac{5}{6}}& x \lt e^{-\frac{5}{6}}\\
\end{array}\]
Zatem
\[ \begin{array}{l}
f''(x)\gt 0\ \ \Leftrightarrow \ \ x \gt e^{-\frac{5}{6}}\\
f''(x)\lt 0\ \ \Leftrightarrow \ \ 0 \lt x \lt e^{-\frac{5}{6}}
\end{array}\]

Odpowiedź

Funkcja \(f(x)=x^{3}\ln x\) jest wypukła dla \( x \gt e^{-\frac{5}{6}}.\)
Funkcja \(f(x)=x^{3}\ln x\) jest wklęsła dla \(0 \lt x \lt e^{-\frac{5}{6}}.\)
Punkt \((e^{-\frac{5}{6}},-\frac{5e^{-\frac{5}{6}}}{6})\) jest punktem przegięcia funkcji \(f(x)=x^{3}\ln x.\)

7.3 Wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia

Polecenie

Określ przedziały wklęsłości, wypukłości oraz punkty przegięcia wskazanych funkcji.

Funkcja 1

\(f(x)=\ln \left | x \right |+x^{2}-7\)

Odpowiedź

Funkcja \(f\):

jest wypukła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\) oraz dla \({\displaystyle x \in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\infty \right )},\)
jest wklęsła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right )},\)
ma punkty przegięcia w punktach \( {\displaystyle \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}\) oraz \({\displaystyle \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}.\)

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
f(x)=\ln\left | x \right |+x^{2}-7, \ \ x\neq 0\\
f(x)=
\begin{cases}
\ln x+x^{2}-7, & x\gt 0\\
\ln (-x)+x^{2}-7, & x\lt 0\\
\end{cases}
\\
f'(x)=
\begin{cases}
{\displaystyle \frac{1}{x}+2x}, & x\gt 0\\
{\displaystyle \frac{1\cdot (-1)}{-x}+2x=\frac{1}{x}+2x}, & x\gt 0\\
\end{cases}={\displaystyle \frac{1}{x}+2x}
\\
{\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}+2}\\
{\displaystyle -\frac{1}{x^{2}}+2\gt 0}\\
{\displaystyle \frac{-1+2x^{2}}{x^{2}}\gt 0}\\
{\displaystyle x^{2}\left ( 2x^{2}-1 \right )\gt 0}\\
{\displaystyle x^{2}\left ( \sqrt{2}x-1 \right )\left ( \sqrt{2}x+1 \right ) \gt 0}\\
{\displaystyle x=0 - \textrm{ p.2-krotny} \ \vee \ x=\frac{\sqrt{2}}{2} \ \vee \ x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{array}\]

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\\
{\displaystyle f''(x)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}\\
{\displaystyle f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\infty \right )}\\
{\displaystyle f''(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \vee \ \ x=\frac{\sqrt{2}}{2}}
\end{array}\]
Liczymy jeszcze wartości funkcji dla argumentów \({\displaystyle x=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \ x=\frac{\sqrt{2}}{2}}.\)
\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\ln\left |-\frac{\sqrt{2}}{2}\right |+\left (-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2}}\\
{\displaystyle f(\frac{\sqrt{2}}{2})=\ln\left |\frac{\sqrt{2}}{2}\right |+\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{4}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}-7=\ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2}}
\end{array}\]
Zatem funkcja \(f\):

jest wypukła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\infty;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} \) oraz dla \({\displaystyle x \in \left ( \frac{\sqrt{2}}{2};\infty \right )},\)
jest wklęsła dla \({\displaystyle x \in \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right )},\)
ma punkty przegięcia w punktach \({\displaystyle \left ( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}\) oraz \({\displaystyle \left ( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\frac{\sqrt{2}}{2}-6\frac{1}{2} \right )}.\)

Funkcja 2

\({\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}}\)

Odpowiedź

Funkcja \(f\):

jest wypukła dla \(x \in \left ( -\sqrt{6};0 \right )\) oraz dla \(x \in \left ( 0;\sqrt{6} \right ),\)
jest wklęsła dla \(x \in \left ( \infty;-\sqrt{6} \right )\) oraz dla \(x \in \left ( \sqrt{6};\infty \right ),\)
w punktach \({\displaystyle (\sqrt{6},\frac{5\sqrt{6}}{36})}\) oraz \({\displaystyle (-\sqrt{6},-\frac{5\sqrt{6}}{36})}\) ma punkty przegięcia.

Rozwiązanie

\[ \begin{array}{l}
{\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}}}, \textrm{ gdzie }
{\displaystyle D=\mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}}\\
{\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot x^{3}-(x^{2}-1)\cdot 3x^{2}}{x^{6}}=\frac{2x^{4}-3x^{4}+3x^{2}}{x^{6}}=\frac{3x^{2}-x^{4}}{x^{6}}=\frac{x^{2}\left (3-x^{2} \right )}{x^{6}}=\frac{3-x^{2}}{x^{4}}}\\
{\displaystyle f''(x)=\frac{-2x\cdot x^{4}-(3-x^{2})\cdot 4x^{3}}{x^{8}}=\frac{-2x^{5}-12x^{3}+4x^{5}}{x^{8}}=
\frac{2x^{5}-12x^{3}}{x^{8}}=\frac{2\left (x^{2}-6 \right )}{x^{5}}}\\
{\displaystyle \frac{2\left (x^{2}-6 \right )}{x^{5}}\gt 0}\\
{\displaystyle 2x^{5}\left (x^{2}-6 \right )\gt 0}\\
{\displaystyle x=0 -\textrm{ p.5-krotny}\ \ \left (x-\sqrt{6} \right )\left (x+\sqrt{6} \right )=0}\\
{\displaystyle x=0 -\textrm{ p.5-krotny}\ \ x=\sqrt{6} \ \ x=-\sqrt{6}}\\
\end{array}\]

Zatem
\[ \begin{array}{l}
f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( -\sqrt{6};0 \right )
f''(x)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( \infty;-\sqrt{6} \right )\\
f''(x)\gt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( 0;\sqrt{6} \right )\\
f''(x)\lt 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \left ( \sqrt{6};\infty \right )
\end{array}\]
Dla \(x=\sqrt{6}\) oraz \(x=-\sqrt{6}\) funkcja ma punkty przegięcia.
Wyznaczamy jeszcze wartości funkcji \(f\) dla tych argumentów.
\({\displaystyle f(\sqrt{6})=\frac{\sqrt{6}^{2}-1}{\sqrt{6}^{3}}=\frac{5}{6\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{36}}\\
{\displaystyle f(-\sqrt{6})=\frac{\left (-\sqrt{6} \right )^{2}-1}{\left (-\sqrt{6} \right )^{3}}=-\frac{5}{6\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{36}}\)

Quiz

1. Logika

2. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

3. Funkcje

4. Ciągi

5. Granice. Ciągłość funkcji

6. Pochodne

7. Badanie przebiegu zmienności funkcji

8. Całka nieoznaczona

9. Całka oznaczona

10. Zastosowanie całek

Ankieta

Polecenie

Wskazówki

Definicja funkcji wklęsłej i wypukłej

Twierdzenie (warunek wystarczający wklęsłości i wypukłości)

Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający na istnienie punktu przegięcia)

Funkcja 1

Rozwiązanie

Odpowiedź

Funkcja 2

Rozwiązanie

Odpowiedź

Funkcja 3

Rozwiązanie

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Krok 5

Krok 6

Krok 7

Odpowiedź

Polecenie

Funkcja 1

Odpowiedź

Rozwiązanie

Funkcja 2

Odpowiedź

Rozwiązanie