Zadanie 1.1.2

Zadanie 1.1.2
Zadanie sprawdzające

Polecenie

Znajdź zaprzeczenia zdań logicznych. Oceń prawdziwość powstałych zaprzeczeń.

Wskazówki

Definicje spójników zdaniowych. Prawa logiczne.

Definicja zaprzeczenia zdania – negacji

Zdanie „nieprawda, że

$p$ ” nazywamy negacją zdania logicznego

$p$ i oznaczamy ją symbolem

$\sim p$ . Negacja zdania

$p$ jest prawdziwa, gdy zdanie

$p$ jest fałszywe.

$p$	$\sim p$
1	0
0	1

Definicja koniunkcji

Zdanie „

$p$ i

$q$ ” nazywamy koniunkcją zdań logicznych

$p, q$ i oznaczamy ją symbolem „

$p\wedge q$ ”. Przyjmujemy, że koniunkcja jest prawdziwa, gdy oba zdania

$p, q$ są prawdziwe.

$p$	$q$	$p \wedge q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Definicja alternatywy

Zdanie „

$p$ lub

$q$ ” nazywamy alternatywą zdań logicznych

$p, q$ i oznaczamy ją symbolem

$p \vee q$ . Przyjmujemy, że alternatywa zdań

$p \vee q$ jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno ze zdań

$p,q$ jest prawdziwe.

$p$	$q$	$p \vee q$
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Definicja implikacji

Zdanie „Jeżeli

$p$ , to

$q$ ” nazywamy implikacją i oznaczamy symbolem

$p\Rightarrow q$ . Przyjmujemy, że implikacja jest prawdziwa, gdy zdania

$p$ oraz

$q$ są prawdziwe lub gdy zdanie

$p$ jest fałszywe a zdanie

$q$ jest prawdziwe lub fałszywe. W implikacji zdanie

$p$ nazywamy poprzednikiem a zdanie

$q$ nazywamy następnikiem. W skrócie implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.

$p$	$q$	$p\Rightarrow q$
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Definicja równoważności

Zdanie „

$p$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$q$ ” nazywamy równoważnością i oznaczamy

$p\Leftrightarrow q$ . Przyjmujemy, że równoważność jest prawdziwa, gdy zdania

$p$ i

$q$ mają taką samą wartość logiczną.

$p$	$q$	$p \Leftrightarrow q$
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Definicja prawa logicznego

Prawem logicznym nazywamy funkcję zdaniową, która bez względu na wartości logiczne zmiennych zdaniowych jest zawsze prawdziwa.

Prawa rachunku zdań

Prawo wyłączonego środka
$p\vee \sim p$
Prawo podwójnej negacji
$\sim \left ( \sim p\right )\Leftrightarrow p$
Prawo przemienności koniunkcji
$p\wedge q \Leftrightarrow q\wedge p$
Prawo łączności koniunkcji
$\left ( p\wedge q \right )\wedge r\Leftrightarrow p \wedge \left ( q\wedge r \right )$
Prawo przemienności alternatywy
$p\vee q \Leftrightarrow q\vee p$
Prawo łączności alternatywy
$\left ( p\vee q \right )\vee r\Leftrightarrow p \vee \left ( q \vee r \right )$
I prawo de Morgana - prawo zaprzeczenia koniunkcji
$\sim \left ( p\wedge q \right )\Leftrightarrow \left [ \left ( \sim p \right )\vee \left ( \sim q \right ) \right ]$
II prawo de Morgana - prawo zaprzeczenia alternatywy
$\sim \left ( p\vee q \right )\Leftrightarrow \left [ \left ( \sim p \right )\wedge \left ( \sim q \right ) \right ]$
Prawo przechodniości implikacji
$\left [ \left ( p\Rightarrow q \right ) \wedge \left ( q\Rightarrow r \right )\right ]\Rightarrow \left ( p\Rightarrow r \right )$
Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
$\left [ p\vee \left ( q\wedge r \right ) \right ]\Leftrightarrow \left [ \left ( p\vee q \right )\wedge \left ( p\vee r \right ) \right ]$
Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
$\left [ p\wedge \left ( q \vee r \right ) \right ]\Leftrightarrow \left [ \left ( p\wedge q \right )\vee \left ( p\wedge r \right ) \right ]$
Prawo odrywania
$\left [ \left ( p\Rightarrow q \right )\wedge p \right ]\Rightarrow q$
Prawo eliminacji implikacji
$\left ( p\Rightarrow q \right )\Leftrightarrow \left ( \left ( \sim p \right )\vee q \right )$
Prawo eliminacji równoważności
$\left ( p\Leftrightarrow q \right )\Leftrightarrow \left ( (p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p) \right )$

Definicje dotyczące kwantyfikatorów

Definicja kwantyfikatora ogólnego

Zwrot „dla każdego

$x$ należącego do zbioru

$X$ ” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym wiążącym zmienną

$x$ ograniczoną do zbioru

$X$ i oznaczamy symbolem

$\underset{x\in \mathbb{X}}{\Huge \wedge} \textrm{ lub } \underset{x\in \mathbb{X}}{\huge \forall }$

Definicja kwantyfikatora szczegółowego

Zwrot „istnieje taki

$x$ należący do zbioru

$X$ , że…” nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym wiążącym zmienną

$x$ ograniczoną do zbioru

$X$ i oznaczamy symbolem

$\underset{x\in X}{\Huge \vee } \textrm{ lub } \underset{x\in X}{\huge \exists }$

Własności kwantyfikatorów

Poniżej

$p$ oznacza formę zdaniową zależną od zmiennej

$x\in X$ , a

$q$ formę zdaniową zależną od zmiennych

$x\in X$ i

$y\in Y$ .

Zapis symboliczny twierdzenia	Nazwa twierdzenia
$\sim \left (\Large\underset{x\in \mathbb{R}}{\forall} p(x)\right )\Leftrightarrow \Large\underset{x\in \mathbb{R}}{\exists }\left [ \sim p(x) \right ]$	Prawo de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego
$\sim \left ( \Large\underset{x\in \mathbb{R}}{\exists} p(x)\right )\Leftrightarrow \Large\underset{x\in \mathbb{R}}{\forall }\left [ \sim p(x) \right ]$	Prawo de Morgana dla kwantyfikatora szczegółowego
$\Large\underset{x\in X}{\forall }\underset{y\in Y}{\forall }\ q(x,y)\Leftrightarrow \Large\underset{y\in Y}{\forall }\underset{x\in X}{\forall }\ q(x,y)$	Prawo przestawiania dla kwantyfikatorów ogólnych
$\Large\underset{x\in X}{\exists}\underset{y\in Y}{\exists}\ q(x,y)\Leftrightarrow \Large\underset{y\in Y}{\exists}\underset{x\in X}{\exists}\ q(x,y)$	Prawo przestawiania dla kwantyfikatorów szczegółowych
$\Large\underset{x\in X}{\exists}\underset{y\in Y}{\forall}\ q(x,y)\Leftrightarrow \Large\underset{y\in Y}{\forall}\underset{x\in X}{\exists}\ q(x,y)$	Prawo przestawiania kwantyfikatora ogólnego ze szczegółowym

Definicja formy zdaniowej

Formą zdaniową zmiennej

$x$ nazywamy wyrażenie

$T(x)$ , które będzie zdaniem logicznym po podstawieniu w miejsce

$x$ dowolnego elementu zbioru

$X$ . Zbiór ten nazywamy dziedziną formy zdaniowej

$T$ . Przykładami form zdaniowych są równania i nierówności.

Zdanie logiczne 1

Jeżeli funkcja

$f(x)= \textrm{tg} x$ jest okresowa, to funkcja

$f(x)= x^{3}$ jest nieparzysta.

Podpowiedź

Skorzystaj z prawa eliminacji implikacji oraz prawa de Morgana.

Rozwiązanie

Jest to zaprzeczenie implikacji:

$\sim (f(x)=\textrm{tg} x$ jest okresowa

$\Rightarrow f(x)= x^{3}$ jest nieparzysta).
Korzystając z prawa eliminacji implikacji mamy:

$\sim\left (\sim\left (f(x)=\textrm{tg} x \textrm{ jest okresowa }\right )\vee f(x)=x^{3}\textrm{ jest nieparzysta }\right )$
Teraz skorzystamy z prawa de Morgana (zaprzeczenia alternatywy), mamy zatem:

$\sim (\sim f(x)=\textrm{tg} x \textrm{ jest okresowa }) \wedge$

$\sim f(x)= x^{3} \textrm{ jest nieparzysta }$ .
Korzystając z prawa podwójnej negacji dostaniemy:

$f(x)=\textrm{tg} x \textrm{ jest okresowa } \wedge$

$f(x)= x^{3} \textrm{ jest parzysta }$ .
Koniunkcja ta jest prawdziwa tylko, jeśli oba zdania są prawdziwe. Wiemy, że funkcja

$f(x)=\textrm{tg}x$ jest funkcją okresową, ale wiemy również, że funkcja

$f(x)= x^{3}$ jest funkcją nieparzystą, zatem jest to zdanie fałszywe.

Odpowiedź

Zaprzeczeniem wyjściowego zdania jest zdanie:

$f(x)=\textrm{tg} x \textrm{ jest okresowa } \wedge$

$f(x)= x^{3} \textrm{ jest parzysta }$ . Wartość logiczna tego zdania wynosi

$0$ .

Zdanie logiczne 2

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\forall } x^{2}+4\geq 0$ .

Podpowiedź

Skorzystaj z Prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego.

Rozwiązanie

Tworzymy zaprzeczenie wyjściowego zdania

$\sim \left ( \underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\forall } x^{2}+4\geq 0\right )\quad\Leftrightarrow$ (korzystamy z prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego)

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\exists } x^{2}+4< 0.$
Jeśli

$x$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, to jesteśmy w stanie ocenić, że jest to zdanie fałszywe. Jeśli dowolną liczbę rzeczywistą podniesiemy do kwadratu dostaniemy zawsze liczbę nieujemną, a taka liczba powiększona o 4 jest zawsze liczbą dodatnią. Zatem nie istnieje taka liczba rzeczywista, dla której wartość wyrażenia

$x^{2}+4$ będzie liczbą ujemną.

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\exists } x^{2}+4< 0$ . Wartość logiczna tego zaprzeczenia wynosi

$0$ .

Zdanie logiczne 3

$\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1$ .

Podpowiedź

Zastosuj prawa eliminacji równoważności oraz eliminacji implikacji.

Rozwiązanie

Oceńmy na początek, z jakimi zdaniami mamy do czynienia.
Zatem zdanie

$\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}$ jest fałszywe (możemy policzyć w przybliżeniu

$2,64 - 2,23\approx 0,41\neq \sqrt{2})$ .
Z drugiej strony

$\displaystyle\frac{3^{2}}{10}=\displaystyle\frac{9}{10}=0,9< 1$ więc jest to zdanie prawdziwe.

Szukamy zaprzeczenia zdania

$\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1.$

$\sim (\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1) \quad \Leftrightarrow$
Korzystamy z prawa eliminacji równoważności.

$\sim \left [ (\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\Rightarrow \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1) \wedge (\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1 \Rightarrow \sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}) \right ] \quad \Leftrightarrow$
Korzystamy z pierwszego prawa de Morgana (dla koniunkcji).

$\Leftrightarrow \ \ \sim (\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\Rightarrow \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1) \vee \sim(\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1 \Rightarrow \sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}) \quad \Leftrightarrow$
Korzystamy z prawa eliminacji implikacji w obu składnikach alternatywy.

$\Leftrightarrow \ \ \sim (\sim(\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2})\vee \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1) \vee \sim(\sim(\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1)\vee \sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}) \quad \Leftrightarrow$
Ponownie skorzystamy z prawa de Morgana, tym razem dla alternatywy,

$\Leftrightarrow \ \ \left [ \sim (\sim\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2})\wedge \sim (\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1)\right ] \vee \left [\sim(\sim\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1)\wedge \sim ( \sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2})\right ] \quad \Leftrightarrow$
oraz z prawa podwójnej negacji, negując jednocześnie odpowiednie zdania

$\Leftrightarrow \ \ \left [ \sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\wedge \displaystyle\frac{3^{2}}{10}\geq 1 \right ] \vee \left [\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1 \wedge \sqrt{7}-\sqrt{5}\neq \sqrt{2}\right ].$
Na tym etapie możemy okreslić wartość logiczną zdania.
Koniunkcja

$\left [ \sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\wedge \displaystyle\frac{3^{2}}{10}\geq 1 \right ]$ jest fałszywa, gdyż żadne ze zdań składowych nie jest prawdziwe, natomiast koniunkcja

$\left [\displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1 \wedge \sqrt{7}-\sqrt{5}\neq \sqrt{2}\right ]$ jest prawdziwa, gdyż oba zdania są prawdziwe. Alternatywa jest zatem prawdziwa, czyli zaprzeczenie całego zdania wyjściowego okazuje się zdaniem prawdziwym (wartość logiczna 1).

Odpowiedź

Zaprzeczenie

$\sim (\sqrt{7}-\sqrt{5}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3^{2}}{10}< 1)$ jest zdaniem prawdziwym, ma wartość logiczną

$1$ .

Zdanie logiczne 4

Stolicą Polski jest Warszawa lub Gdańsk.

Podpowiedź

Znajdź zaprzeczenie i oceń wartość logiczną powstałej formuły zdaniowej.

Rozwiązanie

Zdanie "Stolicą Polski jest Warszawa lub Gdańsk" jest alternatywą zdań: "Stolicą Polski jest Warszawa", "Stolicą Polski jest Gdańsk". Alternatywa jest prawdziwa, jeśli co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe, a takim zdaniem jest "Stolicą Polski jest Warszawa". Zatem jest to zdanie prawdziwe.
Zaprzeczeniem jest zdanie: „Nieprawda, że stolicą Polski jest Warszawa lub Gdańsk”. Korzystając z prawa de Morgana dla alternatywy zdanie "Stolicą Polski nie jest Warszawa i stolicą Polski nie jest Gdańsk" jest zdaniem fałszywym (jako zaprzeczenie zdania prawdziwego).

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie "Stolicą Polski nie jest Warszawa i stolicą Polski nie jest Gdańsk". Wartość logiczna tego zdania wynosi

$0$ .

Zdanie logiczne 5

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\forall }x^{2}+4x+4\leq 0$ .

Podpowiedź

Tworząc zaprzeczenie skorzystaj z prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego.

Rozwiązanie

Szukamy zaprzeczenia zdania wyjściowego

$\sim \left ( \underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\forall }x^{2}+4x+4\leq 0 \right )$
Korzystamy z prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\exists}x^{2}+4x+4>0$

Aby rozwiązać nierówność kwadratową należy wyznaczyć miejsca zerowe (jeśli istnieją) oraz narysować wykres funkcji

$f(x)= x^{2}+4x+4.$
Liczymy

$\Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 1\cdot 4=0.$ Istnieje zatem tylko jedno miejsce zerowe

$x_{0}=\Large{-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}}\normalsize{=-2}.$ Wiemy, że parabola ma ramiona skierowane „do góry”, gdyż

$a>0$ .

Zdanie to będzie zdaniem prawdziwym, gdyż istnieje taka liczba rzeczywista, która spełnia nierówność

$x^{2}+4x+4>0$ , na dodatek spełnia je każda liczba rzeczywista różna od

$-2$ (dla tego argumentu funkcja przyjmuje wartość

$0$ ).

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\exists}x^{2}+4x+4>0$ . Wartość logiczna tego zdania wynosi

$1$ .

Zdanie logiczne 6

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\exists}\ \textrm{cos}x=2$ .

Podpowiedź

Tworząc zaprzeczenie zdania skorzystaj z prawa de Morgana dla kwantyfikatora szczegółowego.

Rozwiązanie

Zaprzeczenie powyższego zdania ma postać:

$\sim \underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\exists} \ \textrm{cos}x=2$ czyli (korzystając z prawa de Morgana dla kwantyfikatora szczegółowego):

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\forall }\ \textrm{ cos}x\neq 2.$ Jest to zdanie prawdziwe ponieważ funkcja

$f(x)=\textrm{cos} x$ przyjmuje tylko wartości z przedziału

$[-1,1]$ , zatem dla każdego

$x\in \mathbb{R}$ będzie przyjmowała wartości różne od

$2$ .

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge\forall } \ \textrm{cos}x\neq 2.$ Wartość logiczna tego zaprzeczenia wynosi

$1$ .

Zadanie 1.1.1

Polecenie

Znajdź zaprzeczenia zdań logicznych lub form zdaniowych z kwantyfikatorami. Oceń prawdziwość powstałych zaprzeczeń. Pamiętaj, aby oceniać wartość logiczną utworzonego zaprzeczenia zdania.

Uwaga

Możesz porównać swoją odpowiedź z naszą, klikając przycisk "Odpowiedź". Jeśli chcesz z nami rozwiązać zadanie, kliknij przycisk "Rozwiązanie".

Zdanie logiczne 1

$3\cdot 5= 8$ .

Odpowiedź

Powstałe zaprzeczenie "

$3\cdot 5\neq 8$ " jest zdaniem prawdziwym więc jego wartość logiczna wynosi 1.

Rozwiązanie

Musimy znaleźć zaprzeczenie zdania "

$3\cdot 5 = 8$ ". Brzmi ono "Nieprawda, że

$3\cdot 5 = 8$ " a to oznacza, że "

$3\cdot 5\neq 8$ " co jest akurat prawdą, gdyż

$3\cdot 5 = 15$ a nie

$8$ .
Powstałe zaprzeczenie jest zdaniem prawdziwym, więc wartość logiczna powstałego zaprzeczenia wynosi 1.

Zdanie logiczne 2

$4$ jest dzielnikiem

$25$ i

$6$ jest wielokrotnością liczby

$2$ .

Odpowiedź

Zdanie

$4\nmid 25\vee 2\nmid 6$ . jest zaprzeczeniem wyjściowego zdania logicznego.Wartość logiczna tego zaprzeczenia wynosi 1.

Rozwiązanie

Zdanie to jest koniunkcją zdań:

$4\mid 25$ oraz

$2\mid 6$ , zatem zaprzeczenie tego zdania to

$\sim \left ( 4\mid 25\wedge 2\mid 6 \right )$ .
Korzystamy z I prawa de Morgana (prawa zaprzeczenia koniunkcji). Wówczas zdanie

$\sim (4\mid 25\wedge 2\mid 6)$ można zapisać w postaci alternatywy zaprzeczeń:

$\sim (4\mid 25)\vee \sim (2\mid 6)$ co jest równoważne ze zdaniem

$4\nmid 25\vee 2\nmid 6$ .
Analizując prawdziwość poszczególnych zdań prostych tak jak wcześniej dostaniemy alternatywę zdania prawdziwego i zdania fałszywego. Taka alternatywa jest prawdziwa zatem zaprzeczenie zdania wyjściowego ma wartość logiczną

$1.$

Zdanie logiczne 3

$2> 4\Leftrightarrow 3< 4$ .

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie:

$\left ( 2> 4 \wedge 3\geq 4 \right )\vee \left (3< 4 \wedge 2 \leq 4 \right )$ a jego wartość logiczna wynosi

$1$ .

Rozwiązanie

Mamy tutaj do czynienia z równoważnością zdań „

$2>4$ ” i „

$3<4$ ”.
Budujemy zaprzeczenie tego zdania.

$\sim \left ( 2> 4\Leftrightarrow 3< 4 \right ) \quad\Leftrightarrow$ (korzystamy z prawa eliminacji równoważności)

$\sim \left ( 2> 4\Rightarrow 3< 4 \wedge 3< 4\Rightarrow 2> 4 \right ) \quad\Leftrightarrow$ (korzystamy teraz z I prawa de Morgana - zaprzeczenia koniunkcji)

$\sim \left ( 2> 4\Rightarrow 3< 4 \right )\vee \sim \left (3< 4\Rightarrow 2> 4 \right ) \quad\Leftrightarrow$ (możemy skorzystać z prawa eliminacji implikacji)

$\sim \left ( \sim 2> 4 \vee 3< 4 \right )\vee \sim \left (\sim 3< 4 \vee 2> 4 \right ) \quad\Leftrightarrow$ (oraz z I prawa de Morgana)

$\left ( 2> 4 \wedge 3\geq 4 \right )\vee \left (3< 4 \wedge 2 \leq 4 \right ).$
Teraz oceniamy wartość logiczną poszczególnych zdań. Koniunkcja

$\left ( 2> 4 \wedge 3\geq 4 \right )$ jest fałszywa, gdyż oba zdania są fałszywe. Koniunkcja

$\left (3< 4 \wedge 2 \leq 4 \right )$ jest prawdziwa, gdyż oba zdania są prawdziwe. Alternatywa zdania fałszywego i prawdziwego jest prawdziwa. Zatem zaprzeczeniem zdania wyjściowego jest zdanie prawdziwe

$\left ( 2> 4 \wedge 3\geq 4 \right )\vee \left (3< 4 \wedge 2 \leq 4 \right ).$ Zdanie to ma wartość logiczną

$1.$

Zdanie logiczne 4

Jeżeli liczba

$50$ jest podzielna przez

$2$ i

$5$ , to jest podzielna przez

$10$ .

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie: „

$2\mid 50 \wedge 5\mid 50\wedge 10\nmid 50.$ ” Wartość logiczna wynosi

$0.$

Rozwiązanie

Jeżeli liczba

$50$ jest podzielna przez

$2$ i

$5$ , to jest podzielna przez

$10$ . Zdanie to jest implikacją.
Tworzymy zaprzeczenie implikacji:

$\sim \left ( 2\mid 50 \wedge 5\mid 50\Rightarrow 10\mid 50\right ) \quad\Leftrightarrow$ (korzystamy z prawa eliminacji implikacji)

$\sim \left [ \sim \left ( 2\mid 50 \wedge 5\mid 50\right ) \vee 10\mid 50\right ] \quad\Leftrightarrow$ (teraz skorzystamy z II prawa de Morgana)

$\sim \left [ \sim \left ( 2\mid 50 \wedge 5\mid 50\right )\right ]\wedge \sim \left ( 10\mid 50\right ) \quad\Leftrightarrow$ (i prawa podwójnej negacji)

$2\mid 50 \wedge 5\mid 50\wedge 10\nmid 50.$
Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania są prawdziwe. Wiemy, że

$10$ dzieli

$50,$ zatem zdanie

$10\nmid 50$ jest fałszywe. Co oznacza, że całe zaprzeczenie ma wartość logiczną

$0.$

Zdanie logiczne 5

$(-1)^{55}=-1$ lub

$11$ jest liczbą pierwszą.

Odpowiedź

Zaprzeczenie danego zdania logicznego to:

$\left ( -1 \right )^{55}\neq -1 \wedge 11$ nie jest liczbą pierwszą. Podane zdanie jest fałszywe, czyli jego wartość logiczna wynosi

$0.$

Rozwiązanie

Dwa zdania proste "

$\left ( -1 \right )^{55}=-1$ " oraz „

$11$ jest liczbą pierwszą” są połączone spójnikiem „lub”, zatem mamy do czynienia z alternatywą zdań.
Tworzymy zaprzeczenie tego zdania:

$\sim \left (\left ( -1 \right )^{55}=-1 \vee 11 \textrm{ jest liczbą pierwszą } \right )$

$\Leftrightarrow$ (korzystamy z I prawa de Morgana)

$\sim\left ( -1 \right )^{55}=-1\quad \wedge\quad \sim 11$ jest liczbą pierwszą

$\Leftrightarrow$

$\left ( -1 \right )^{55}\neq -1 \quad \wedge \quad11$ nie jest liczbą pierwszą.
Ponieważ oba zdania proste są fałszywe, zatem koniunkcja tych zdań ma również wartość logiczną

$0.$

Zdanie logiczne 6

$\underset{x\in \mathbb{R}}{\huge\forall } \underset{y\in \mathbb{R}}{\huge\exists }\left | 2x-4y \right |<0$ .

Odpowiedź

Zaprzeczeniem jest zdanie

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \exists } \underset{y\in \mathbb{R}}{\huge\forall } \left | 2x-4y \right |\geq 0.$ Wartość logiczna tego zdania wynosi

$1.$

Rozwiązanie

Tworzymy zaprzeczenie zdania

$\sim \left ( \underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \forall } \underset{y\in \mathbb{R}}{\huge \exists }\left | 2x-4y \right |< 0 \right )$
Aby uprościć podane wyrażenie, spróbuj dwukrotnie skorzystać z praw de Morgana dla kwantyfikatorów (najpierw ogólnego, później szczegółowego).

Korzystając z prawa de Morgana dla kwantyfikatora ogólnego mamy:

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \exists }\sim \left ( \underset{y\in \mathbb{R}}{\huge \exists }\left | 2x-4y \right |< 0 \right ) \quad\Leftrightarrow$ (ponownie korzystamy z prawa de Morgana, tym razem dla kwantyfikatora szczegółowego)

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \exists } \underset{y\in \mathbb{R}}{\huge\forall }\sim \left ( \left | 2x-4y \right |< 0 \right ) \quad\Leftrightarrow \quad$

$\underset{x\in \mathbb{\mathbb{R}}}{\huge \exists } \underset{y\in \mathbb{R}}{\huge\forall } \left | 2x-4y \right |\geq 0.$
Czytamy: „Istnieje taka liczba rzeczywista

$x$ , że dla każdej liczby rzeczywistej

$y$ wartość bezwzględna wyrażenia

$2x-4y$ jest liczbą nieujemną”. Spróbuj określić wartość logiczną tego zdania. Kiedy wartość bezwzględna przyjmuje wartości nieujemne?
Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje tylko wartości nieujemne, zatem istnieje taka liczba rzeczywista

$x$ , dla której dla każdego rzeczywistego

$y$ wartość bezwzględna z podanej wartości będzie liczbą nieujemną (większą lub równą 0). Wynika z tego, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

$x$ i

$y$ podana nierówność jest prawdziwa (wartość logiczna zdania wynosi 1).

Zadanie 1.1.3